中学校数学 1年生-数量/比例・反比例

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[編集] 比例・反比例のグラフ

[編集] グラフの基礎

座標

座標上の点

数学では、グラフを書くときに、左の図のような格子状の平面を用います。これを座標といいます。小学校でも同じようなものを学んだと思いますが、中学校では負の数も考えるので、座標も大きくなります。座標の中心は、Oと書いてある点で、原点と呼びます。また、グラフの横軸をx軸、縦軸をy軸と呼びます。

右の図は、座標上に点を取った様子です。点Aは、原点から右に4つ、上に3つ進んだところにあります。そこで、この点の位置を表すときには、次のように表します。

A(4,3)

一般に、原点から右にx、上にy進んだところにある点を

(x,y)

と書きます。このとき、xをその点のx座標、yをy座標と呼びます。だから、点Aのx座標は4、y座標は3と言うことができます。

また、図の左下にある点の座標を表すことを考えてみると、これは原点から左に2つ、下に3つ進んだところにあります。これはつまり、「右に-2、上に-3進んだところ」と考えることができます。だから、この点の位置は(-2,-3)と表すことができ、x座標は-2、y座標は-3となります。

[編集] 関数

例えば、空の風呂に水を入れるとき、水の深さは水を入れ始めてからの時間にともなって変わる。 x 分後の水の深さを y cmとすると、x , y はいろいろな値をとる。

この x , y のように、いろいろな値をとる文字を変数という。

ある量とそれにともなって変わる他の量があり、それぞれを変数 x , y で表すとき、x の値を決めるとそれにつれて y の値も決まるならば、 y は x の関数であるという。例えば上の例のyはxの関数である。

[編集] 比例のグラフ

比例の式y=axのグラフ

y=2xやy=3xのような式が成り立つ時、x,yはあらゆる値をとります。
この変動する値を保持する文字を変数といいます。また、2,3のような決まった数を、変数に対して定数といいます。
先ほどの式のように、x,yの関係が、

y = ax (aは定数を表す)

にある場合、yはxに比例するといいます。
また、このときのaを比例定数といいます。

二つの変数が比例の関係にある場合、
片方の変数が2倍,3倍,……,n倍になると、もう片方の変数も2倍,3倍,……,n倍となります。

[編集] 比例になる例

時速6kmでx時間進んだ距離がykm　y=6x
1個100gのみかんがx個でyg　y=100x

[編集] 反比例のグラフ

反比例の式y=a/xのグラフ

比例は片方の変数が2倍,3倍,……,n倍になると、もう片方の変数も2倍,3倍,……,n倍になりましたが、
これに対し、片方の変数が2倍,3倍,……,n倍になると、もう片方の変数は $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$ 倍, $\begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$ 倍, ……, $\begin{matrix} \frac{1}{n} \end{matrix}$ 倍となる関係を、
反比例(はんぴれい)といいます。