中学校数学 3年生-図形/円周角

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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。

円周角と中心角[編集]

円周角と中心角

中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB と(こAB)いい、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}と書く。\angle AOB を弧ABに対する 中心角(ちゅうしんかく、英:central angle) という。また、弧ABを中心角 \angle AOB に対する弧(こ、英:arc)という。

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、\angle APB を弧ABに対する 円周角(えんしゅうかく、英:inscribed angle) という。また、弧ABを円周角 \angle APB に対する弧という。

右の図のように、弧ABに対する円周角は \angle APB\  ,\  \angle AP'B\  ,\  \angle AP''B のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 \angle AOB は1つに決まる

円周角の定理[編集]

中心角と円周角には次の性質がある。

円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを \angle APB として、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB を示せばよい。

中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合[編集]

中心Oが \angle APB の辺上にある場合

Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。\angle AOB\triangle AOP の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので


\angle AOB = \angle APO + \angle PAO \cdots \cdots (1)

\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから


\angle APO = \angle PAO \cdots \cdots (2)

(1)、(2)より


\angle AOB = 2 \angle APO

したがって


\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB

よって、中心Oが 直線PB上にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。

中心Oが \angle APB の内部にある場合[編集]

中心Oが \angle APB の内部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC\triangle AOP の外角であるから


\angle AOC = \angle APO + \angle PAO

\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから


\angle APO = \angle PAO

したがって


\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)

\angle BOC\triangle BOP の外角であるから


\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO

\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから


\angle BPO = \angle PBO

したがって


\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると


\angle AOC + \angle BOC = 2 (\angle APO + \angle BPO)

したがって


\angle AOB = 2 \angle APB

すなわち


\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB

よって、中心Oが \angle APB の内部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。

中心Oが \angle APB の外部にある場合[編集]

中心Oが \angle APB の外部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC\triangle AOP の外角であるから


\angle AOC = \angle APO + \angle PAO

\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから


\angle APO = \angle PAO

したがって


\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)

\angle BOC\triangle BOP の外角であるから


\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO

\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから


\angle BPO = \angle PBO

したがって


\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと


\angle AOC - \angle BOC = 2 (\angle APO - \angle BPO)

したがって


\angle AOB = 2 \angle APB

すなわち


\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB

よって、中心Oが \angle APB の外部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。

半円の弧に対する円周角[編集]

半円の弧に対する中心角は 180{}^\circ であるから、円周角は 90{}^\circ である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。

直径と円周角(ターレスの定理)
円周角5.jpg

線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば


\angle APB = 90{}^\circ

である。

円周角と弧[編集]

円周角と弧

右の図の円Oで、円周角 \angle APB\  ,\  \angle CQD が等しい場合、円周角の定理により


\angle AOB = 2 \angle APB \cdots \cdots (1)

\angle COD = 2 \angle CQD  \cdots \cdots (2)

となる。

\angle APB = \angle CQD であるから、(1)、(2)より


\angle AOB = \angle COD

となる。

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、

\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array} = \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}

が成り立つ。


また、右の図の円Oで、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}\  ,\  \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので


\angle AOB = \angle COD

となる。

よって、円周角の定理により


\angle APB = \angle CQD

が成り立つ。


円周角と弧

1つの円において

  1.  等しい円周角に対する弧は等しい。
  2.  等しい弧に対する円周角は等しい。

円周角の定理の逆[編集]

円Oの周上の点をA,B,Cとし、\angle ACB = \angle a とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、\angle APB\angle a との大きさを比べる。

点Pが円Oの周上にある場合[編集]

点Pが円Oの周上にある場合

円周角の定理により


\angle APB = \angle a

点Pが円Oの内部にある場合[編集]

点Pが円Oの内部にある場合

APの延長と円周の交点をQとする。\angle APB\triangle PBQ における \angle P の外角であるから


\angle APB = \angle PQB + \angle PBQ

となる。 円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、


\angle APB = \angle a + \angle PBQ

よって


\angle APB > \angle a

点Pが円Oの外部にある場合[編集]

点Pが円Oの外部にある場合

APと円周の交点をQとする。\angle AQB\triangle QBP における \angle Q の外角であるから


\angle AQB = \angle QPB + \angle PBQ

となる。 円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、


\angle a = \angle APB + \angle PBQ

式を変形すると


\angle APB = \angle a - \angle PBQ

よって


\angle APB < \angle a

円周角の定理の逆[編集]

上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき


\angle APB = \angle a

ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。

円周角の定理の逆
円周角の定理の逆

4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき,


\angle APB = \angle AQB

ならば,この4点は1つの円周上にある。

円周角の定理の応用[編集]

円の接線[編集]

まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する(せっする)といい、この直線を円の 接線(せっせん、英:tangent) といい、出あう1点を 接点(せってん、英:point of contact) という。

円の接線
円の接線

円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

円外の点からの接線[編集]

円外の点からの接線

円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、


\angle APO = 90{}^\circ

\angle AP'O = 90{}^\circ

であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。


このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。

円外の点からの接線のひき方
  1.  点AとOを結ぶ。
  2.  線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
  3.  点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
  4.  直線AP,AP'をひく。

接線の長さ[編集]

接線の長さの証明

\triangle APO\triangle AP'O において

AP,AP'は接線だから


\angle APO = \angle AP'O = 90{}^\circ \cdots \cdots (1)

共通な辺だから


AO = AO = \cdots \cdots (2)

円Oの半径だから


OP = OP' \cdots \cdots (3)

(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから


\triangle APO \equiv \triangle AP'O

したがって、AP = AP'


線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。

上で調べたことから、次のようにまとめられる。

接線の長さ

円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。