中学校数学 3年生-数量/式の計算

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目次 1 式の乗法・除法 1.1 多項式と単項式の乗除 1.2 多項式の乗法 2 展開公式 2.1 (x + a)(x + b) の展開 2.2 (a + b)², (a - b)² の展開 2.3 (a + b)(a - b) の展開 3 因数分解 3.1 素因数分解 3.1.1 コラム・素数の見つけ方 3.2 因数分解 3.2.1 共通因数を取り出す 3.2.2 乗法公式を利用する 4 利用 4.1 数式の計算 4.2 文字式の計算 5 演習問題の解答

[編集] 式の乗法・除法

2 年までに式の加減や、単項式の乗除をやってきたわけであるが、3 年では式の乗除を学習する。はじめに、（単項式）×（多項式）や、（多項式）×（単項式）の形の計算をやってみよう。

[編集] 多項式と単項式の乗除

このような式は、分配法則を利用して計算することができる。

(a + b)c = ac + bc

c(a + b) = ca + cb

また、多項式 ÷ 単項式の計算も、多項式 ÷ 数の場合と同じように計算することができる。

[編集] 多項式の乗法

次に、多項式同士の積を考えてみよう。

(a + b)(c + d)

はどうなるだろうか。仮に、(c + d) = A と置き換えてみると、

(a + b)A = aA + bA

となるので、A をここで元に戻してみる。すると、

すなわち、(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd となるのである。このように、「積の形でかかれた式を計算し、和の形にすること」を、元の式を展開する、という。 展開した式が同類項を含むときは、2 年で学習したとおり、まとめて簡単にしなければならない。

[編集] 展開公式

[編集] (x + a)(x + b) の展開

(x + a)(x + b) を展開してみよう。

(x + a)(x + b)	= x2 + bx + ax + ab
	= x2 + (a + b)x + ab

となり、

x の係数は a と b の和、

定数項は a と bの積

になる。

(x+a)(x+b) の展開公式

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

[編集] (a + b)², (a - b)² の展開

(a + b)2	= (a + b)(a + b)
	= a2 + ab + ab + b2
	= a2 + 2ab + b2

同様に、

(a - b)2	= (a - b)(a - b)
	= a2 - ab - ab + b2
	= a2 - 2ab + b2

このような形の展開公式を、平方公式という。なぜなら式の 2 乗、すなわち平方の形の式を展開する公式になっているからである。

平方公式

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

[編集] (a + b)(a - b) の展開

(a + b)(a - b)	= a2 - ab + ab - b2
	= a2 - b2

このような、同じ数についての和と差との積を求めることができる公式を、和と差の積という。

和と差の積

(a + b)(a - b) = a2 - b2

[編集] 因数分解

[編集] 素因数分解

最初に、この問題を考えてみよう。

例題

48 を 1 より大きい 2 つの整数の積であらわしなさい。

これは例えば 48 = 8 × 6 とできるので、これが1つの答えである。

このように、「整数がいくつかの整数の積の形に表すことができるとき、その 1 つ 1 つの数」のことをその数の因数という。この問題は 8 と 6 が 48 の因数と言うことができる。また、48 はほかにも 4 × 12 とか、3 × 16 とあらわすことができるため、4 と 12 も因数といえるし、3 と 16 も因数といえる。

さらに、8 と 6 はどちらももっと小さい数の積に表すことができる。

8 = 2 × 2 × 2, 6 = 2 × 3

このことから、48 は次のようにもあらわすことができる。

2 × 2 × 2 × 2 × 3

この式で、2 や 3 はこれ以上小さい自然数の積であらわすことはできない。このような「その数自身と1以外に自然数の因数を持たない数」を、素数という。ただし、1 は素数には入らない。

また、上の式の 2 や 3 のような「素数の因数」を素因数、「自然数を素数の積として表すこと」を素因数分解という。例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、

と言うように表す。

[編集] コラム・素数の見つけ方

2けたの素数は次のようにしてすべて見つけることができる。まずは、2から99までの自然数をすべて書き出してみよう。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

まずこの中で、2以外の2の倍数は素数ではないので消してしまおう。

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

3は2では割り切れないので素数である。しかし、3以外の3の倍数は素数ではないから消してしまおう。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97

5は2でも3でも割り切れなかったので残っている。だから、5は素数だ。しかし、5以外の5の倍数は素数ではないから消してしまおう。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97

同じ考え方で、7以外の7の倍数を消してしまうとこうなる。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

残った数の中には、2と3と5と7で割り切れるものはない。そして、実は11や13や17や･･･で割り切れる数も、残っていない。なぜなら、さっきまでの消していく作業を自分でやったら気づいたかもしれないが、この時点でもし11で割り切れる数が残っているとしたら、その数は11×11=121より大きいものでなくてはならない（詳しい説明は下を見よ）。しかし、今は100以下の自然数で考えているので、11で割り切れる数は残っていない。だから、ここに残っている数は全部素数であり、また、100以下の素数はこれで全部である。

このようにして素数を見つける方法を、発見したギリシャの学者の名前を取って「エラトステネスのふるい」という。この方法を使えば理論上はどんなに大きな素数も見つけることができるが、数が大きくなればなるほど計算の手間は大きくなるので難しい。今知られている素数の中で最も大きいものは9808358けたの数で、もちろんこの数はこのようにして見つけられたわけではない。

• なぜ11で割り切れる数は残っていないか

注意：ここでは「平方根」・「二次方程式」を既知であることを前提としている。

nが素数でないものとするとnはpとq（どちらも自然数であり1＜p≦q＜n）という約数を持ち、

と表される。p≦qより

なので、

• 

となる。

つまり、nが素数でないならば、その約数のうちの小さいほうはより小さい、ということである。よって、2以上以下の約数がないことがわかれば、nは素数とわかる。

先ほどの例でいえば、なので、11について調べる必要はもうないのである。

[編集] 因数分解

たとえば、(x + 2)(x - 2) を展開すると x² - 4 となる。このことから、x² - 4 は、このように積の形に表すことができる。

x² - 4 = (x + 2)(x - 2)

このような文字の式の場合も整数の場合と同じように、x + 2 や x - 2 を x² - 4 の因数という。

一般に、「多項式をいくつかの因数の積の形に表すこと」を因数分解という。上の例から、因数分解は展開の逆の操作と言える。

それで、因数分解の仕方を学習しよう。

[編集] 共通因数を取り出す

次の数の因数分解を考えてみよう。

An + Am

この多項式には、どの項にも A という共通な因数がある。その共通な因数のことを共通因数という。その共通因数 A を取り出すことで、次のように因数分解をすることができる。

An + Am = A(n + m)

この式の右辺は分配法則を用いて展開すると元の式に戻るため、正しく因数分解されていることがわかる。

このように共通因数を取り出して因数分解することを「共通因数のくくりだし」ということがある。因数分解をするときには初めに共通因数のくくりだしができるかどうか考えることが重要である。

[編集] 乗法公式を利用する

それでは、共通因数がなかったらどうすればよいのだろうか。

ここで、因数分解とは何だったかを思い出してみよう。因数分解とは展開の逆の操作だったはずである。だから、乗法公式を逆に利用して、因数分解ができないか考えればよい。展開公式も乗法公式の一部である。

乗法公式

a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

この番号はあくまで便宜的に書いているだけなので覚える必要は無い。これらを使って、できるだけ細かく因数分解をする。

例

2x²-4xy+2y²

これは、まず共通因数の2でくくりだし、その後乗法公式の3.を利用して因数分解すればよい。

正解は

2x2 - 4xy + 2y2
	= 2(x - y)2

演習問題

次の式を、因数分解しなさい。

1. x ² - 4x + 3
2. x ² - 12x + 35
3. x ² + 3x - 10
4. x ² + 6x + 5
5. x ² + 11x + 18
6. x ² - 3x - 108
7. x ² - x - 12
8. x ² - 2x - 24
9. x ² - x - 72

（答えはこのページのいちばん下にあります）

[編集] 利用

展開や因数分解は非常に重要で、これから高校、大学と使用することになる。また、高校に入れば新たに習う乗法公式もある。しかし基本となるのは今までに学習した公式や、その考え方である。ここでは、ここまでの公式や考え方を用いて、ある形の計算を簡単に行う方法を学ぶ。

[編集] 数式の計算

例題

を計算せよ。

いままではこのような計算は、筆算でやっていたことだろう。しかし、展開や因数分解を使用することで非常に簡単に速く正確に解く事ができる。

この式をこのように変形してみるとどうでしょう。

これは、どこかで見た事があるはずです。そう、

(a + b)(a - b) = a² - b²

の形です。つまり、この答えは

	= (50 + 1)(50 - 1)
	= 502 - 12
	= 2500 - 1
	= 2499

嘘だと思うなら電卓でも計算してみよう。きっと、正解するはずである。

[編集] 文字式の計算

数の計算だけでなく、文字式の計算でも展開や因数分解の考え方を利用して楽に計算することができる。

例題

x = 11, y =7 のとき、4(3x + 2y ) - 2(x - y )の値を求めよ。

文字式に直接数を代入して、

を計算してもよいが、少し面倒である。そこで、先に展開や因数分解を利用して文字式を簡単な形に変形しておくと、代入の回数が減り、式の形も単純になって計算が簡単になる。

また、この考え方は単純な計算だけではなく、数や図形や関数の性質を調べるときにも利用することができる。

例題

「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことを示せ。

このような証明問題はどのように考えていけばいいのだろうか。

まず、「連続する3つの自然数」を文字をつかってあらわしてみよう。隣り合う自然数はちょうど1だけ大きいか、1だけ小さいので、たとえばnを自然数として、

n, n+1, n+2

と表すことができる。他にも、nを2より大きい整数として、

n-1, n, n+1

と表すこともできる。nを「2より大きい整数」にしたのは、n-1が自然数、すなわち1より大きい整数になるように調節するためである。

この3つの数の和は、展開や因数分解を用いて、

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)

(n − 1) + n + (n + 1) = 3n

と計算することができる。nやn+1は自然数だから、3(n +1)や3nはどちらも3の倍数であり、「連続する3つの自然数の和は、3の倍数になる」ことが示された。

[編集] 演習問題の解答

1. (x - 1)(x - 3)
2. (x - 5)(x - 7)
3. (x - 2)(x + 5)
4. (x + 1)(x + 5)
5. (x + 2)(x + 9)
6. (x + 9)(x - 12)
7. (x + 3)(x - 4)
8. (x + 4)(x - 6)
9. (x + 8)(x - 9)