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[編集] 挨拶

初めまして。受験勉強の補助になるかと思い、教科書の内容を自分なりに解釈して書き出しています(決して著作権違反はしておりません)。ご迷惑をお掛けするかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。カズ 2005年5月22日 (日) 09:43 (UTC)
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[編集] 執筆中

進捗状況の凡例

数行の文章か目次があります。

:本文が少しあります。

:本文が半分ほどあります。

: 間もなく完成します。

: 一応完成しています。

[編集] 書きさし

[編集] 解の公式

[編集] 3次方程式

まず、 $x 3 = a$ を解くことを考える。

$x 3 = a$

$x 3 - a = 0$

$(x- \sqrt[3]{a})(x^2+ \sqrt[3]{a} x+ \sqrt[3]{a} ^2)=0$

$x= \sqrt[3]{a},\sqrt[3]{a} \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$

a=1のときの虚数解のひとつ(どちらでもよい)を $ω$ とする。他方は $ω 2$ となるので

$x= \sqrt[3]{a},\sqrt[3]{a}\omega,\sqrt[3]\omega ^2$

次に、 $x 3 + a x + b = 0$ を考える。

$x = A + B$ とすると、

$x 3$	$= (A + B) 3$
	$= A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3$
	$= A 3 + B 3 + 3 A B (A + B)$
	$= (A 3 + B 3) + 3 A B x$

移項して、

$x 3 - 3 A B x - (A 3 + B 3) = 0$

ここで、元の式と比べると、

$a = - 3 A B, b = - (A 3 + B 3)$

である。

$a = - 3 A B$ を変形して、

$- \frac{a}{3}=AB$

$- \frac{a^3}{3^3}=A^3B^3$

また、 $A 3 + B 3 = - b$

なので、 $A 3, B 3$ を解とする二次方程式

$x^2+bx-\frac{a^3}{3^3}=0$

が立てられる。これを解くと、

$x= \frac{-3^2 b \pm \sqrt{3^4 b^2 + 2^2*3 a^3} }{2*3^2}$

となる。

$A^3= \frac{-3^2 b + \sqrt{3^4 b^2 + 2^2*3 a^3} }{2*3^2},$ $B^3= \frac{-3^2 b - \sqrt{3^4 b^2 + 2^2*3 a^3} }{2*3^2}$

とおく。A,Bの解のうち実数解をそれぞれ $A 0, B 0$ とする。つまり、

$A_0 = \sqrt[3]{ \frac{-3^2 b + \sqrt{3^4 b^2 + 2^2*3 a^3} }{2*3^2} },$ $B_0 = \sqrt[3]{ \frac{-3^2 b - \sqrt{3^4 b^2 + 2^2*3 a^3} }{2*3^2} }$

するとA,Bの解はそれぞれ

$A = A 0, A 0 ω, A 0 ω 2,$ $B = B 0, B 0 ω, B 0 ω 2$

で、x=A+Bなのでxは9つの解を持つことになる。しかし3次方程式の解は3つなので、残りの6つは無縁解である。

ところで、

$A_0^3+B_0^3$	$=\frac{-3^2 b + \sqrt{3^4 b^2 + 2^23 a^3} }{23^2} + \frac{-3^2 b - \sqrt{3^4 b^2 + 2^23 a^3} }{23^2}$
	$=2\frac{-3^2 b}{23^2}$
	$= - b$

$A 0 B 0$	$=\sqrt[3]{\frac{-3^2 b + \sqrt{3^4 b^2 + 2^23 a^3} }{23^2} * \frac{-3^2 b - \sqrt{3^4 b^2 + 2^23 a^3} }{23^2}}$
	$=\sqrt[3]{\frac{3^4 b^2 - (3^4 b^2 + 2^23 a^3)}{2^23^4}}$
	$=-\frac{a}{3}$

より、

$(A 0 + B 0) 3$	$=A_0^3+B_0^3+3A_0 B_0(A_0+B_0)$
	$= - b - a (A 0 + B 0)$

移項すると、

$(A 0 + B 0) 3 + a (A 0 + B 0) + b = 0$

これは元の方程式と合致するので $x = A 0 + B 0$ は解のひとつである。

すると、

$(A 0 ω + B 0 ω 2) 3$	$= A_0 ^3 \omega ^3 + 3 A_0 ^2 B_0 \omega ^4 + 3 A_0 B_0 ^2 \omega ^5 + B_0 ^3 \omega ^6$
	$= A_0 ^3 + 3 A_0 ^2 B_0 \omega + 3 A_0 B_0 ^2 \omega ^2 + B_0 ^3$
	$= A_0^3+B_0^3+3A_0 B_0(A_0 \omega +B_0 \omega ^2 )$
	$= - b - a (A 0 ω + B 0 ω 2)$

より

$(A 0 ω + B 0 ω 2) 3 + a (A 0 ω + B 0 ω 2) + b = 0$

で、 $x = A 0 ω + B 0 ω 2$ も解、

$(A 0 ω 2 + B 0 ω) 3$	$= A_0 ^3 \omega ^6 + 3 A_0 B_0 ^2 \omega ^5 + 3 A_0 ^2 B_0 \omega ^4 + B_0 ^3 \omega ^3$
	$= A_0 ^3 + 3 A_0 ^2 B_0 \omega ^2 + 3 A_0 B_0 \omega ^2 + B_0 ^3$
	$= A_0^3+B_0^3+3A_0 B_0(A_0 \omega ^2 +B_0 \omega )$
	$= - b - a (A 0 ω 2 + B 0 ω)$

より

$(A 0 ω 2 + B 0 ω) 3 + a (A 0 ω 2 + B 0 ω) + b = 0$

で、 $x = A 0 ω 2 + B 0 ω$ も解である。

よって $x = A 0 + B 0, A 0 ω + B 0 ω 2, A 0 ω 2 + B 0 ω$ が解である。

いよいよ一般の3次方程式 $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$ を解く。

まずaを消去して、

$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

次に、前の形にまとめるため、 $x=y-\frac{b}{3a}$ とおくと、

$\left(y-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$

$y^3-\frac{b}{a}y^2+\frac{b^2}{3a^2}y-\frac{b^3}{3^3a^3}+\frac{b}{a}y^2-\frac{2b^2}{3a^2}y+\frac{b^3}{3^2a^3}+\frac{c}{a}y-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0$