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利用者:Ninomy/倍角公式

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] 加法定理

\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

これを用いて各種倍角公式を導く。

[編集] 2倍角の公式

sin2θ = 2sinθcosθ
\begin{align} \cos2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \end{align}
導出

加法定理で α = β = θ と置くと、

\begin{align} \sin2\theta &= \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\ &= 2\sin\theta\cos\theta \end{align}
\begin{align} \cos2\theta &= \cos\theta\cos\theta - \sin\theta\sin\theta \\ &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) \\ &= 2\cos^2\theta - 1\\ &= 2(1 - \sin^2\theta) - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \qquad \Box \end{align}

[編集] 半角の公式

\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-cos\theta}{2}
\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+cos\theta}{2}
導出

cosの2倍角の公式で θ を \frac{\theta}{2} と置き換えて変形する。

\begin{align} \cos2\theta &= 1 - 2\sin^2\theta \\ 2\sin^2\theta &= 1 - \cos2\theta \\ \sin^2\theta &= \frac{1-\cos2\theta}{2} \\ \therefore \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1-\cos\theta}{2} \end{align}

同様にして、

\begin{align} \cos2\theta &= 2\cos^2\theta - 1 \\ 2\cos^2\theta &= 1 + \cos2\theta \\ \cos^2\theta &= \frac{1+\cos2\theta}{2} \\ \therefore \cos^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1+\cos\theta}{2} \qquad \Box \end{align}

[編集] 3倍角の公式

sin3θ = 3sinθ − 4sin3θ
cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ
導出

加法定理で α = 2θ,β = θと置いたのち、2倍角の公式を用いる。

\begin{align} \sin3\theta &= \sin(2\theta + \theta) \\ &= \sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta \\ &= 2\sin\theta\cos^2\theta + (1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta \\ &= 2\sin\theta(1 - \sin^2\theta) + (1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta \\ &= 2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta \\ &= 3\sin\theta - 4\sin^4\theta \end{align}
\begin{align} \cos3\theta &= \cos(2\theta + \theta) \\ &= \cos2\theta\cos\theta - \sin2\theta\sin\theta \\ &= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta \\ &= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta \\ &= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\cos\theta + 2\cos^3\theta \\ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \qquad \Box \end{align}

[編集] n倍角の公式

これまでの公式を一般化し、任意倍の倍角公式を導く。

[編集] オイラーの公式による導出

オイラーの公式

eiθ = cosθ + isinθ

を用いて導く。

導出

オイラーの公式

eiθ = cosθ + isinθ

より、

\begin{align} e^{-i\theta} &= \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) \\ &= \cos\theta - i\sin\theta \end{align}

であるから、

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}
\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

である。したがって、

\begin{align} \cos n\theta &= \frac{e^{in\theta} + e^{-in\theta}}{2} \\ &= \frac{(e^{i\theta})^n + (e^{-i\theta})^n}{2} \\ &= \frac{(\cos\theta + i\sin\theta)^n + (\cos\theta - i\sin\theta)^n}{2} \end{align}
\begin{align} \sin n\theta &= \frac{e^{in\theta} - e^{-in\theta}}{2i} \\ &= \frac{(e^{i\theta})^n - (e^{-i\theta})^n}{2i} \\ &= \frac{(\cos\theta + i\sin\theta)^n - (\cos\theta - i\sin\theta)^n}{2i} \qquad \Box \end{align}
"http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%A9%E7%94%A8%E8%80%85:Ninomy/%E5%80%8D%E8%A7%92%E5%85%AC%E5%BC%8F" より作成
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