最小二乗法

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観測方程式の行列表示

Ｖ＝ＡＸ−Ｌ，Ｐ

ただし、

Ｖ：残差のベクトル

Ａ：係数の行列

Ｘ：未知数のベクトル

Ｌ：定数項のベクトル

Ｐ：重量の行列

$\ V^TPV=(AX-L)^TP(AX-L)$

$\ =(X^TA^T-L^T)P(AX-L)$

$\ =X^TA^TPAX-X^TA^TPL-L^TPAX+L^TPL$

$\frac{\partial V^TPV}{\partial X} =\frac{\partial (X^TA^TPAX)}{\partial X} -\frac{\partial (X^TA^TPL)}{\partial X} -\frac{\partial (L^TPAX)}{\partial X} +\frac{\partial (L^TPL)}{\partial X}$

$\ =(X^TA^TPA)+(A^TPA)X-L^TP^TA-L^TPA$

$\ =A^TPAX+A^TPAX-L^TP^TA-L^TPA$

$\ =2A^TPAX-2L^TPA$

$\ X=(A^TPA)^{-1}(L^TPA)$

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国土地理院計算式集10頁

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