測度論

Euclid空間の部分集合に対しては、「長さ」「面積」「体積」などといった概念を自然に定義することができた。これらの概念を一般の集合上で考えるために抽象化したものが測度という概念である。この項では、Lebesgue積分論や確率論を学ぶ上で欠かせない測度の概念の一般論を述べる。

測度の定義

Euclid空間における「長さ」などの概念は、Euclid空間の各部分集合に対してある実数を対応させる写像、すなわち、Euclid空間の冪集合から実数への写像と考えることができる。つまり、集合の測度という概念を考えることは、集合族から実数への写像を考えることと同じである。

ところが、測度の概念を考える上で、実はもともとの集合の冪集合全体を考える必要はない。むしろ舞台を少し限っておいたほうが都合がよいので、冪集合の部分集合から実数への写像を考えることにする。しかし、あまりおかしな部分集合を取ってくることはできないように、ある程度の制限はかけておく。それが、下に挙げる完全加法族という条件である。

定義　Sを集合とする。Sの部分集合の族$\mathcal{A}$が完全加法族であるとは、次の3条件を満たすことをいう。

1. $\phi \in \mathcal{A}$
2. $A \in \mathcal{A} \Rightarrow S \setminus A \in \mathcal{A}$
3. $\{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}$

このとき、集合と完全加法族の組$(S,\mathcal{A})$を可測空間といい、$A \in \mathcal{A}$を可測集合という。

この言葉を使うと、測度とは、各可測集合に対してひとつの実数を対応させる、完全加法族から実数への写像である。しかし、完全加法族から実数への写像ならばすなわち測度といってしまうと少し無理がある。線分の長さは非負であるし、二つの線分の和集合の長さは二つの線分の長さの和である。このような、我々が「長さ」「面積」といった概念に対して思い描く「普通の」性質は、とりあえず写像に対して要請しておくことにしよう。そこで、測度の定義を次のように定める。

定義　$(S,\mathcal{A})$を可測空間とする。$\mu:\mathcal{A} \to [0,\infty]$が次の2条件を満たすとき、$(\mathcal{A},\mu)$を測度といい、$(S,\mathcal{A},\mu)$を測度空間という。

1. 任意の$A \in \mathcal{A}$に対し、$0=\mu(\phi) \le \mu(A) \le \infty$
2. $\{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{A}$であり、$A_0 = \Sigma_{n=1}^{\infty} A_n$ (disjoint union)のとき、$\mu(A_0)=\Sigma_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

以下に測度空間の例をいくつか挙げておく。

集合Sと$A \subset S$に対し、$\mu(A)=${Aの集合としての濃度}と定めるとこれは測度である。（個数測度）

もちろん、Euclid空間に対する「長さ」「面積」にあたる概念も測度である（Lebesgue測度）が、厳密な定式化は少し難しいので後に回す。

測度の性質

一般に測度であれば満たす性質を次に列挙する。

命題　$(\mathcal{A},\mu)$を測度とすると次が成り立つ。

1. $\{ A_n \}_{n=0}^\infty \subset \mathcal{A}$かつ$A_0= \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ならば$\mu(A_0) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$（可算劣加法性）
2. $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$かつ$A_1 \subset A_2$ならば$\mu (A_1) \le \mu(A_2)$（単調性）
3. $A,A_n \in \mathcal{A}$かつ$A_n \nearrow A$ならば$\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=\mu (A)$（増大列連続性）
4. $A,A_n \in \mathcal{A}$かつ$A_n \searrow A$かつ$\mu(A_1) < \infty$ならば$\lim_{n \to \infty} \mu(A_n)=\mu (A)$（減少列連続性）

証明は易しいが、どれも当たり前のように感じる事実なので、仮定と証明すべきことを取り違えないように注意したい。

これらは、もともと「長さ」などの拡張概念であったということを考えれば当然の性質であるが、しかし、非常によい性質を持っているということができる。無論、因果関係から言えば、前節での少し立て込んだ定義が、これらの性質を満たすために要求したものであったと言ったほうが正しいだろう。

なお、減少列連続性の仮定に$\mu(A_1) < \infty$が含まれているのは、次のような例があるからである。$\mu$を実数上の個数測度とし、$A_n=(0,\frac{1}{n}]$とする。するとこのとき、$\mu(A_n)=\infty (\forall n)$だが$A_n \searrow \phi$であり$\mu(\phi)=0$である。