物理数学II フーリエ解析

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[編集] フーリエ級数

フーリエ級数とは $\frac{1}{2}a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx+b_k\sin kx),(-\pi<x<\pi)$ のようにある関数 $f (x)$ を三角関数の無限和で表したものである。

xの定義域を $( - π < x < π)$ と定義したとき、フーリエ級数は

$\frac{1}{2}a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx+b_k\sin kx),(-\pi<x<\pi)$

で表される。このとき $a n$ と $b n$ は

$a_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx\,dx, (n = 0,1,2,3,\cdots)$

$b_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\,dx, (n = 1,2,3,\cdots)$

で表される。

$f (x) = x$ は奇関数なので $a n$ は

$a_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx\,dx = 0$

となる。また $b n$ は

$b_n = {1 \over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx = -\frac{2 \cos n\pi}{n} = \frac {2 (-1)^{n+1}}{n}$

となる。よって $f (x) = x,( - π < x < π)$ のフーリエ級数は

$x=2 \left(\sin x -\frac{1}{2}\sin 2x +\frac{1}{3}\sin 3x - \cdots \right)$

となる。

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