特殊相対論 テンソル

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[編集] テンソル

ここからはテンソルという量を用いる。 数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。 ここでいうローレンツ不変性は、 ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、 これも群の表現が良く知られている。

まず、 ローレンツ変換で変化しない量を スカラーと呼ぶ。 次に、ローレンツ変換に対して、 {A'} ^\mu = \Lambda ^\mu _\nu A^\nu となる量をベクトルと呼ぶ。

\Lambda ^\mu _\nu は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては \Lambda ^\mu _\nu は、 B _1 =\gamma \begin{pmatrix} 1 &\beta &0&0\\ \beta &1 & 0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} , B _2 = \gamma \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1 &\beta &0\\ 0&\beta &1 & 0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} , B _3 =\gamma \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0 &0&1 &\beta \\ 0 &0&\beta &1 \end{pmatrix} , R _1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0 &1 & 0&0\\ 0&0&\cos a & -\sin a\\ 0&0&\sin a &\cos a \end{pmatrix} , R _2 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0&\cos a &0& \sin a\\ 0 &0 & 1&0\\ 0&-\sin a &0&\cos a \end{pmatrix} , R _3 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0&\cos a & -\sin a&0\\ 0&\sin a &\cos a&0\\ 0 &0 &0&1\\ \end{pmatrix} で与えられる。 ただし、ここで \beta = \frac v c \gamma = \frac 1 {\sqrt { 1 - v^2/c^2}} を用いた。 (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは 数学の"リー群"で与えられる。) 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を 得るには p'^\mu = \gamma \begin{pmatrix} 1&\beta&0&0\\ \beta&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} p^\mu となる。特にx方向だけに注目するときには 変化が起こらないy、z方向を無視して 変換行列を \gamma \begin{pmatrix} 1&\beta\\ \beta&1 \end{pmatrix} と短く書くことがある。

ここから、例えば、 A'μA'ν というような量を作ると、 この量は {A'} ^\mu {A'} ^\nu =\Lambda ^\mu _\rho A^\rho \Lambda ^\nu _\sigma A^\sigma というように変換することが分る。 ここで、 T^{\mu\nu} = \Lambda ^\mu _\rho \Lambda ^\nu _ \sigma T ^{\rho \sigma} というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。 これは添字が2つあることによる。 また、ベクトルは1階のテンソル、 スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソル と呼ぶことがある。)

ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを 定義する。 \eta^{\mu\nu} = \eta _{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} ここで、この量を用いてベクトルの2乗 \begin{matrix} (A^\mu) ^2 = \eta _{\mu\nu} A^\mu A^\nu\\ = (A^0)^2-(A^1)^2 -(A^2)^2 -(A^3)^2 \end{matrix} を取る。

それぞれの添字は 同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、 打ち消すことが出来る。 例えば、 A^\mu A _\mu = \sum _ {m =0} ^3 (A^m )^2

下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する 反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。

これらの添字は、 計量テンソル \eta^{\mu\nu} = \eta _{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} によって、上下に移動させることが出来る。 例えば、 xμ = ημνxν となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。 特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。 また、 上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと 呼ぶことがある。

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