特殊相対論速度の合成則

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ある速度 $v 1$ を持つ物体1から見たときにある速度 $v 2$ を持つ物体2を、静止している観測者から見たときの速度を計算する。 (Newton力学では $v 1 + v 2$ となることに注意。)

ローレンツ群の性質から $v 1$ を使った変換と $v 1$ を使った変換を合わせて使うことで、静止した観測者から見た場合の物体2の速度が求まることを用いると、

$\gamma _1 \begin{pmatrix} 1&\beta _1\\ \beta _1&1 \end{pmatrix} \times \gamma _2 \begin{pmatrix} 1&\beta _2\\ \beta _2&1 \end{pmatrix} = \gamma _3 \begin{pmatrix} 1&\beta _3\\ \beta _3&1 \end{pmatrix}$ となることが分かる。左辺の1行1列成分を計算すると、 $= γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2)$ となることがわかる。右辺の1行1列成分と見くらべると、 $γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2) = γ 3$ が得られる。両辺を2乗すると、 $\frac 1 {1 - v _3^2/c^2} = \frac 1 {1 - v _1^2/c^2}\frac 1 {1 - v _2^2/c^2} (1+ v _1 v _2 /c^2)^2$ 両辺の逆数を取ると、 $1 - v _3^2/c^2 = (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2) \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}$ よって、 $\begin{matrix} (v _3/c )^2 = 1 - \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2)\\ = \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} ((1+ v _1 v _2 /c^2)^2- (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2))\\ =\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(2 v _1 v _2 /c^2 -(- v _1^2 /c^2 - v _2^2 /c^2 ))\\ =\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(v _1/c + v _2/c ) ^2 \end{matrix}$

これらから $v _3 /c = \frac {( v _1/c + v _2/c )} {1+ v _1 v _2 /c^2}$ が得られる。ここで $v 2 = c$ とおくと、 $v _3 /c = \frac {( v _1/c + 1 )} {1+ v _1 /c}$ つまり、 $v 3 = c$ が得られる。これは、ある速さ $v 1$ を持った観測者1が、観測者1から見て光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは光速cより速くなることは無いということを示している。

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