特殊相対論 運動方程式

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[編集] 運動方程式

SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。 そのため、ある3次元のベクトルを取ったとき それと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを 作ることが出来る。 ds2がスカラーであることから x^\mu = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。 さらに、 固有時間 ds^2 = dt ^2 \sqrt{1-v^2} を導入すると、この量はスカラーになる。

このとき、 運動方程式は、 ある力fμを想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) \frac {d {p^\mu }}{d { s} } = f^\mu と書かれる。 これは、運動方程式が ローレンツ変換に対してよい性質を もっていなくてはいけないという 要請から来ている。 ニュートンの方程式 \frac {d {\vec p }}{d t } = \vec f も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、 上の式はそれの拡張と考えることが出来る。

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