特殊相対論 4元運動量

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[編集] 4元運動量

解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの保存則が導き出される。そのため、 $x^\mu = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 $p^\mu = \begin{pmatrix} \epsilon / c \\ p _x \\ p _y \\ p _z \end{pmatrix}$ によって、4元ベクトルを作ることが出来る。ここで、 $ε$ はエネルギーである。この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。ある静止した物体については $\vec p = 0$ が成り立つので、 $p^\mu = \begin{pmatrix} \epsilon / c \\ 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。このときの $ε$ の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 $ε / c = m c$ つまり, $ε = m c 2$ に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることによっているものと思われる。) このとき、 $ε$ と $| \vec p |$ の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから $p^\mu p _\mu =\epsilon ^2 /c^2 - \vec p^2 = m^2 c^2$ となる。よって、 $\epsilon =c \sqrt {|\vec p |^2 + m^2 c^2 }$ が得られる。 $\vec p ^2$ が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 $\epsilon = mc^2 + \frac {\vec p^2} {2m} + O (\vec p^4)$ が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 $\epsilon = \frac {\vec p^2} {2m}$ と、定数 $m c 2$ を除いて一致する。定数 $m c 2$ を静止エネルギーと呼ぶことがある。