線型代数学/基底と次元

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[編集] 基底

[編集] 定義

$\ V$ をK上のベクトル空間とする。

$<\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n> ,\bold e_i \in \ V (1 \leq i \leq n)$ が次の２つをみたすとき、 $<\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n>$ は $\ V$ の基底であるという。

１） $\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n$ 　は線型独立。

２）任意の $\ V$ の元は　 $\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n$ 　の線型結合で表わされる。

つまり一言でいえば、任意の $\ V$ の元は　 $\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n$ 　の線型結合によって一意的に表わされる、ということである。

[編集] 例

$\R^3$ を考えてみよう。

このとき、 $\bold e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\bold e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} ,\bold e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$

は $\R^3$ 　の基底となっている。また、

$\bold e_1 = \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix},\bold e_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} ,\bold e_3 = \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix}$

などとしても $\R^3$ 　の基底となっている。

このように、基底となるベクトルの組み合わせは無数に存在する。しかし、ベクトルの個数には変化がない。

このことは、次の項目「次元」と関係している。

[編集] 次元

次の定理は次元の概念を与えてくれる。

[編集] 定理

$\ V$ をK上のベクトル空間とする。

$<\bold e_1,\bold e_2,\cdots,\bold e_n> ,\bold e_i \in \ V (1 \leq i \leq n)$ 、 $<\bold f_1,\bold f_2,\cdots,\bold f_m> ,\bold f_i \in \ V (1 \leq i \leq m)$ 　がどちらも $\ V$ の基底であるとする。