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[編集] 理論

[編集] テイラー級数

数学において、開区間(a-r, a+r)で定義された無限回微分可能な実（または複素）関数fのテイラー級数 (Taylor series)とは、べき級数

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

のことを言います。。

ここで、n!は、nの階乗のことであり、f ⁽ⁿ⁾(a)は、点aにおけるfのn階微分を表します。この級数が区間(a-r, a+r)内のすべてのxに対して収束し、その和がf(x)に等しければ、関数f(x)は解析的であると言います。この級数がf(x)に収束するかどうかを確かめるには、通常テイラーの定理の剰余項を考えます。べき級数がその関数に収束するときかつその場合に限り関数は解析的となり、べき級数の係数は必然的に上記のテイラー級数の公式で与えられたものになります。

特に、a=0の場合この級数をマクローリン級数と呼びます。

このようなべき級数表現の重要性は３つあります。１つ目に、べき級数の微分と積分は項ごとに計算することが可能であり、ゆえにとりわけ容易となることです。２つ目に、解析的な関数は、複素平面上の開集合で定義された正則関数にただ１通りに展開することができ、複素解析の全ての手法が利用可能となります。３つ目に、展開した点の近傍における関数の値を（一部を切り捨てた）級数で近似できることです。

ただし、無限回微分可能な関数f(x)に対して、テイラー級数は収束するにも関わらず、f(x)と等しくはならない場合があることに注意してください。つまり、f(x) = exp(−1/x²) if x ≠ 0 , f(0) = 0 のように区分的に定義された関数を考えると、x=0では全ての微分は0なので、関数値はほとんどの点で0でないにも関わらず、f(x)のテイラー級数は0となり、収束半径は無限大となります。このような異常は複素関数では発生しません。exp(−1/z²)はzが虚軸に沿って0に近づいても0へ近づかないことに注意してください。

特異点を持つためにテイラー級数で表せない関数も存在します。このような場合、変数xの負のべき乗まで許せば級数展開をすることができます。詳しくは、ローラン展開を参照してください。例えば、f(x) = exp(−1/x²) は、ローラン級数で表すことができます。

[編集] テイラー級数一覧

テイラー級数展開のうち、重要なものを以下に挙げます。これらの展開すべてはxを複素数にまで拡張しても有効です。

指数関数と自然対数

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

幾何級数

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{for }\left| x \right| < 1$

二項定理

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ for all }\left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex }\alpha$

三角関数

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

双曲線関数

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

ランベルトのW関数

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for }\left| x \right| < \frac{1}{e}$

tan(x)およびtanh(x)の展開に現れる数B_kはベルヌーイ数です。二項展開に現れるC(α,n)は二項係数です。sec(x)の展開に現れるE_kは、オイラー数です。

[編集] 多次元

テイラー級数は、二変数以上の関数に対しても、

$\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

のように一般化されます。

[編集] 歴史

テイラー級数は、数学家ブルック・テイラーにちなんで名付けられました。この級数公式は、1715年に出版されました。

[編集] テイラー級数の構成

多くの関数のテイラー級数を計算するには、いくつかの方法があります。テイラー級数をそのまま用いて係数を一般化することもあるでしょう。また、（上記のような）標準的なテイラー級数を求めるために、テイラー級数がべき級数であるという利点を活かして、加減乗除のような操作をすることもあるでしょう。更には、部分積分を繰り返し適用してテイラー級数を導出する場合もあります。テイラー級数を計算するには、冗長な計算を省略するために数式処理システムを利用するのが一般的です。

[編集] 例１

関数

$f(x)=\ln{(1+\cos{x})}\,$

に対して、0におけるテイラー級数を求めてみましょう。

自然対数が

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} + \cdots \quad \mbox{ for } \left| x \right| < 1$

となること、およびコサインが

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - {x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!} - \cdots \quad\mbox{ for all }x\in\mathbb{C}.$

となることは分かっています。単純に第２式の級数を第１式に代入することができます。そうすることにより、

$\left(1 - {x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-\cdots \right)-{1 \over 2}\left(1 - {x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}- \cdots\right)^2+{1 \over 3}\left(1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-\cdots\right)^3-\cdots$

多項係数を用いて展開することにより、求めるテイラー級数が得られます。コサインが偶関数であるため $f$ も偶関数( $f (x) = f ( - x)$ )となり、ゆえに奇数乗（ $x,\,x^3,\,x^5,\,x^7\,$ など）の係数は0となって計算する必要がないということに注意してください。この級数の前半の数項を書き表すと

$\ln(1+\cos x)=\ln 2-{x^2\over 4}-{x^4\over 96}-{x^6\over 1440} -{17x^8\over 322560}-{31x^{10}\over 7257600}-\cdots$

となります。一般的な係数はFaà di Bruno'sの公式で示されますが、これは一部はっきりしないところがあるのでここでは省略します。

[編集] 例２

関数

$g(x)=\frac{e^x}{\cos x}$

の0におけるテイラー級数を求めてみましょう。ここで、指数関数が

$e^x = \sum^\infty_{n=0} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

となること、および最初の例のように

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots$

となることは分かっています。このべき級数が

${e^x \over \cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$

となるとすると、分母を払い、コサインの級数を代入することにより

$\begin{align} e^x &= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots)\cos x\\ &=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots\right)\\ &=c_0 - {c_0 \over 2}x^2 + {c_0 \over 4!}x^4 + c_1x - {c_1 \over 2}x^3 + {c_1 \over 4!}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \over 2}x^4 + {c_2 \over 4!}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \over 2}x^5 + {c_3 \over 4!}x^7 +\cdots \end{align}$

となります。４次までの項をまとめると

$=c_0 + c_1x + \left(c_2 - {c_0 \over 2}\right)x^2 + \left(c_3 - {c_1 \over 2}\right)x^3 + \left(c_4 + {c_0 \over 4!} - {c_2 \over 2}\right)x^4 + \cdots$

となるので、上記の指数関数の級数と係数を比較することにより、求めるテイラー級数が得られます。

$\frac{e^x}{\cos x} = 1 + x + x^2 + {2x^3 \over 3} + {x^4 \over 2} + \cdots$

解析学基礎/テイラー級数

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] 理論

[編集] テイラー級数

[編集] テイラー級数一覧

[編集] 多次元

[編集] 歴史

[編集] テイラー級数の構成

[編集] 例１

[編集] 例２

[編集] 収束性

[編集] 平均値の定理の一般化

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