解析学基礎/双曲線関数

[編集] 双曲線関数

双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

${\rm sinh}\ x = {e^x - e^{-x} \over 2},\ \ {\rm cosh}\ x = {e^x + e^{-x} \over 2}$

「sinh」は「ハイパーボリックサイン（hyperbolic sine）」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン（hyperbolic cosine）」の略です。

双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、 $e x$ の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使って $(x, y) = (c o s t, s i n t)$ と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を $(x, y) = (c o s h t, s i n h t)$ と表すことができることがわかります。

置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \,dx$

は $x = s i n t$ という置換によって

$\int_0^{\pi/2} cos^2 t \,dt$

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} \,dx$

という積分を計算してみましょう。まず、 $x = s i n h t$ と置換すると

$\int_0^{\log ( 1 + \sqrt{2} ) } cosh^2 t \,dt$

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

$\frac{\sqrt{2} + \log( 1 + \sqrt{2} ) }{2}$

です。