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解析学基礎/広義積分

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

定積分(\int_a^b f(x)\,dx)においては、関数には区間が定められており、関数自体は連続です。この節では、区間が定められていない場合（タイプ１）や、関数が区間[a,b]において不連続である場合（タイプ２）について述べます。

[編集] タイプ１：無限区間の積分

無限区間の積分とは、\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dxのように、積分区間に\pm\inftyを含むものを言います。これらは、単純に原始関数を見つけたり、\inftyを代入したりすることはできませんが、極限を用いて積分を書き直すことができます。

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx

これは定積分であり、原始関数を見つけ、積分が収束するかを確かめることができます。

\lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \rightarrow \infty}\left(- \frac{1}{b} + 1\right) = 1

そこで、タイプ１の広義積分を以下のように定義します。

  • (a) b \ge aとなる数bがあり、\int_a^b f(x)\,dxが存在するとき
\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx
  • (b) a \le bとなる数aがあり、\int _a^b f(x)\,dxが存在するとき
\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a \rightarrow {-\infty}} \int_a^b f(x)\,dx
  • (c) 同様にして\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dxを以下のように定義することができます。
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx + \int_a^\infty f(x)\,dx

ただし、どちらの積分も収束するとします。

これらの極限が存在しないときは、積分は発散すると言い、広義積分が有限解を持つときは積分は収束すると言います。


例を見てみましょう。\int_{-\infty}^\infty xe^{x^{-2}}\,dxは収束するでしょうか。

\int_{-\infty}^\infty xe^{x^{-2}}\,dx = \lim_{a \rightarrow{-\infty}} \int_a^0 xe^{x^{-2}}\,dx + \lim_{b\rightarrow\infty} \int_0^b xe^{x^{-2}}\,dx

u=-x^2, dx=-\frac{du}{2x}と置換を行うと、合成関数の微分法より原始関数を見つけることができ、

\lim_{a\rightarrow\infty} \int_a^0 xe^{x^{-2}}\,dx = \frac{-e^{(0)^{-2}}}{2} - \lim_{a\rightarrow{-\infty}} \frac{-e^{(a)^{-2}}}{2} = (-\frac{1}{2}) - (0)
\lim_{b\rightarrow\infty} \int_0^b xe^{x^{-2}}\,dx = \lim_{b\rightarrow\infty} \frac{-e^{(b)^{-2}}}{2} - \frac{-e^{(0)^{-2}}}{2} = (0) + \frac{1}{2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 これは、この積分が0に収束することを示します。


[編集] Type II: Infinite Discountinuity

Integrating a function that contains a vertical asymptote.

"http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86" より作成
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