解析学基礎/微分可能関数

ロルの定理

• f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
  f'(c)=0 かつ c∈(a,b) を満たすcが存在する。
  

証明
f(x)が[a,b]上で定数なら、どのc∈(a,b)についても、f'(c)=0である。
f(x)が[a,b]上で、f(a)より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、あるc∈(a,b)に対して、f(c)≧f(x) (∀x∈[a,b]）となる。このとき、f(x)の微分可能性から、

$\lim _{h\to +0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=f'(c)\leq 0$

$\lim _{h\to -0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=f'(c)\geq 0$

よって、f'(c)=0 となる。

f(x)が[a,b]上で定数でなくかつf(a)より大きい値を取らないなら、f(a)より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)

ラグランジュの平均値の定理

• f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能ならば、
  ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$　　$\ (c\in (a,b))$を満たすcが存在する。

証明
$F(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x$とおく。このとき、$F(a)=F(b)={\frac {bf(a)-af(b)}{b-a}}$であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在し、$F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$であるから、定理は成立する。(証明終)

例 f(x)=x² (x∈[3,5])について、定理が成立していることを確かめよ。

(f(5)-f(3))/(5-3)=8、f'(x)=2xなので、f'(x)=(f(5)-f(3))/(5-3)なら、x=4である。これは確かに区間(3,5)上に存在している。

コーシーの平均値の定理

• 関数f(x)、g(x)が[a,b]上連続かつ(a,b)上微分可能ならば
  ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$　　$\ (c\in (a,b))$　を満たす実数cが存在する。

証明
${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}=k$　とおく。

$f(b)-f(a)-k[g(b)-g(a)]=0$ であるから、ここで

$\phi (x)=f(x)-f(a)-k[g(x)-g(a)]$ という関数φ(x)を考えれば $\phi (a)=\phi (b)=0$ となる。従ってロルの定理より

$\phi '(c)=0\ (c\in (a,b))$ を満たす実数cが存在する。

ここで関数φ(x)を微分すれば　$\phi '(x)=f'(x)-kg'(x)$　となるので　$\phi '(c)=f'(c)-kg'(c)=0$　より　$k={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$ が成り立つ。(証明終)

平均値の定理の書き換え

平均値の定理中の　$c\in (a,b)$　は不等式　$a<c<b$　と同義である。ここで　$a=x_{0},b=x_{0}+\Delta x,c=x_{0}+\theta \Delta x$　とおけば 　$x_{0}<x_{0}+\theta \Delta x<x_{0}+\Delta x$　より$0<\theta <1$　が得られる。ここで、$\theta ={\frac {c-x_{0}}{\Delta x}}$　である。

これらを平均値の定理に代入すれば

${\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0}+\theta \Delta x)$

が得られる。この式や、分母を払った式

$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f'(x_{0}+\theta \Delta x)\Delta x$

を用いると便利なことがある。

無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり

${\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}}={\frac {f'(x_{0}+\theta \Delta x)}{g'(x_{0}+\theta \Delta x)}}$

なる等式が導かれる。ただし　$0<\theta <1$　すなわち　$\theta \in (0,1)$　である。

テイラーの定理

• f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
  $\quad f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}\$　　$(c\in (a,b))$
  を満たすcが存在する。

証明
$f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+R(b-a)^{p}$ を満たすRを考える。$F(x)=f(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}+R(b-x)^{p}$ とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
$F'(x)=f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}\left({\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}\right)-pR(b-x)^{p-1}$

$=f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}-pR(b-x)^{p-1}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=0}^{n-2}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-pR(b-x)^{p-1}:$

$={\frac {f^{(n)}(x)}{(n-1)!}}(b-x)^{n-1}-pR(b-x)^{p-1}$

なので、F'(c)=0のとき、 $R={\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}$ である。(証明終)

テイラーの定理中の ${\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}$ のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。