電気回路理論/ブリッジ回路

右図のような回路をブリッジ回路(bridge circuit)という。ブリッジ回路は主に未知抵抗や未知インダクタンス、未知キャパシタンスの値を測定するために用いられる回路である。ここでは直流回路理論であるから抵抗に限って話を進めることにする。

ブリッジ回路に電圧 $v_{we}$ を与える。このとき各抵抗に電流が流れるが、 $R_{1}$ と $R_{3}$ を流れる電流は等しく、また $R_{2}$ と $R_{4}$ を流れる電流も等しい。これをそれぞれ $i_{13}$ 、 $i_{24}$ とすると、オームの法則より

v_{we}=(R_{1}+R_{3})i_{13}=(R_{2}+R_{4})i_{24}

が成り立つ。ここで、一番下の節点の電位を0Vとすると、 $R_{1}$ と $R_{3}$ の間の節点の電位 $v_{13}$ と、 $R_{2}$ と $R_{4}$ の間の節点の電位 $v_{24}$ はそれぞれオームの法則より

v_{13}=R_{3}i_{13}={\frac {R_{3}}{R_{1}+R_{3}}}v_{we}

v_{24}=R_{4}i_{24}={\frac {R_{4}}{R_{2}+R_{4}}}v_{we}

となる。ここでこの2つの節点の間の電圧 $v_{wy}$ は

{\begin{aligned}v_{wy}&=v_{13}-v_{24}\\&=\left({\frac {R_{3}}{R_{1}+R_{3}}}-{\frac {R_{4}}{R_{2}+R_{4}}}\right)v_{we}\\&={\frac {R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{(R_{1}+R_{3})(R_{2}+R_{4})}}v_{we}\end{aligned}}

となる。

ここで、もし $v_{13}$ と $v_{24}$ が同電位、すなわち $v_{wy}=0$ であるとき、

R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}=0

となる。このときこのブリッジは平衡状態にあるといい、上式をこのブリッジの平衡条件という。

ブリッジが平衡状態にあるとき、仮に $v_{wy}$ 間を導線で短絡したとしても、同電位であるから電流は流れない。そこでこの部分に検流計を接続し、抵抗の一つを可変抵抗とした右の回路をホイートストンブリッジ(Wheatstone bridge)という。この可変抵抗を調節することによって検流計の針が振れないようにできれば、そのときの可変抵抗の値 $R_{2}$ と既知抵抗 $R_{3}$ 、 $R_{4}$ 、およびブリッジの平衡条件を用いて、未知抵抗 $R_{x}$ の値を求めることができる。この様にして、ホイートストンブリッジは抵抗の精密な測定に用いられる。