電磁気学 静磁場

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目次

[編集] 静磁場

[編集] 磁気的な力の導入

次に場の量に対する時間変化が無いときの、磁場の様子を見ることにする。 ここでいう磁場というものは先ほどの電場との類似で導入されるものだが、 その性質は電場とはある程度異なっている。しかし、どちらも電磁気力の 1つの現われで有ることに変わりは無い。

最も簡単な磁場の現象は何だろうか? 一見、磁場が関わる現象については、磁石を考えるのがよいように思える。 しかし、実際には磁石が磁場を持つ理由は割合複雑になっており、 静磁場の導入として適当とはいい難い。

ここでは、その代わりに電流の回りに発生する磁場に注目することにする。 実験的に、ある電流I1が流れている導線と、 I2が流れている導線を、距離rまで近づけると、その間に 導線の単位長さlに対して、

f = \frac {\mu _0}{2\pi} {I _1 I _2 l} r

だけの力が働くことが知られている。

ここで、

μ0

という量が与えられたが、この量は磁気的な力に関連する定数である。 この量の次元と大きさは後に述べる。

これだけでは、この力が上でいう電気力と区別するものなのかどうか わからない。しかし、例えば磁石の発する磁気に対して強く反応する 鉄などの物質をその回りに近づけることで、導線に引きよせられるような 力が働くことから、この力は、電気力ではなく磁気力によるもので あることが示唆される。


[編集] 磁界

上のように電流の回りに生じる磁気の強さは、導線からの距離に のみ依存することが、砂鉄等を用いた実験によって確かめることが できる。

また、磁気の方向は、電流の流れる方向にネジが進むように 回転する方向になっている。このことを右ネジの法則と呼ぶことがある。

これらの量は、電流によって作りだされた磁気力を伝える新たな場であると 考えることが出来る。この量を磁界、または磁場と呼ぶ。

上の結果から、磁場は導線の距離によってその強さが変化し、 その方向は導線の回りを回転するようになっていることが期待される。

これらを考慮して、電流Iの回りに現われる磁界は、

\vec B = \frac {\mu _0} {2\pi} \frac {I } r

与えられる。

ここで、

μ0

は、真空の透磁率と呼ばれる量で、その量は

\mu _0 = 4\pi \times 10^ {-7} [\textrm N \cdot \textrm A^{-2} ]

を満たす。この量は測定されたものというより定義によるものであり、 端数の無い定まった量を持つ。

この量と別の導線との相互作用は、導線の単位長さに対して、

\vec f = \vec I \times \vec B

で書かれる。 ここで、この式の

\times

は、ベクトルの外積を表わす。ベクトルの外積については、 物理数学Iで解説する。

また、この式に、

\vec B = \frac {\mu _0} {2\pi} \frac {I } r

を代入すると、I2だけの電流が流れる導線の単位長さあたりに対して、

\vec f = \frac {\mu _0} {2\pi} \frac {I I _2} r

の力が働くが、これは上の表式と一致している。 このため、磁場を使った表式は電流間の相互作用を書き表す方法として 正しい結果を表わしている。

この式は、物理的には電流を磁場に対して垂直な方向に流すと、 電流は力を受けることを示している。この法則は、 初等的にはフレミングの左手の法則として知られている。

実際には、微視的に見ることで、電流は導線中の電荷が動いていることで 引き起こされていると見ることが出来る。そのため、ここで起こっていることは 実際には、磁場の中を電荷を持った粒子が横切ったとき、その粒子には 力が働くことに対応している。

この力は、歴史的な理由によりローレンツ力と呼ばれる。 この力は、

\vec f = \frac e c \vec v \times \vec B

で書かれる。

  • コメント

単位系に混乱があります。SIでは

\vec f = e\vec v\times \vec B

です。

  • 執筆者に対する注意

厳密にはこの式は正しくない。正しい式は、

\vec f = \frac e c \vec v\delta(\vec x - \vec x(t) ) \times \vec B

となる。 電流に対してこの式を適用するときには、 導線の断面で積分するためにデルタ関数が2つ消えるが、依然として 1つのデルタ関数がのこっている。 そのことによって、

\vec f = \vec I \times \vec B

の式は導線の単位長さあたりにかかる力となる。

  • コメント

注意の1番目の式は単位体積あたりの力を表している。 力と同じ記号を使うのは紛らわしい。 この注意全体は適切とは思えない。

[編集] ビオ-サバールの法則

上では導線の回りに生じる磁界について考えた。 導線の中では、微視的に見ると電荷が定常的に運動しており、そのようなときに 回りに磁場が引き起こされることが予想される。

実際には、導線はもっと複雑な配置にすることも出来る。 例えば、導線を円形に配置したときにも、その回りには磁場が発生することが 知られている。

このような場合の磁界の計算法として

d\vec B = \frac {\mu _0}{4\pi} \int d\vec s \times \vec r \frac 1{|\vec r|^3}

が知られている。この式を、提唱した人間にちなんで、 ビオ-サバールの法則と呼ぶ。 ここで、積分は導線に沿った線積分であり、

\vec r

は、導線上の点から磁場を計算したい点までのベクトルを表わしている。

例として、無限遠から無限遠まで続く導線からrだけ離れた点での磁場を 計算してみる。 この条件は、上のように長い導線を平行に置いたときの条件と近似的に 一致している。

まず導線はz軸方向に置かれているとする。 さらに磁場の大きさを計算する点の座標を A(r,0,0)とし、計算を進める点の座標をB(0,0,z)とし、 原点をOとおく。

この配置について

\int \vec r \times d\vec s \frac 1{|\vec r|^3}

について、

\vec ds \times \vec r
= (0,0,dz) \times (r,0,z)
= rdz \vec e _y

となる。 更に角OABをφとおくと、求める積分は

\int \vec r \times d\vec s \frac 1{|\vec r|^3}
= \vec e _y \int rdz \frac 1{(r/\cos \phi )^3}
= \vec e _y\frac 1{r^2} \int dz \cos^3 \phi

を得る。 更に積分変数をzからφにすれば、

z = rtanφ

から、

dz = \frac r {\cos ^2 \phi} d\phi

が成り立つ。

これを代入すると、

= \vec e _y\frac 1{r^2} \int dz \cos^3 \phi
= \vec e _y\frac 1{r^2} \int _{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 \phi \frac r {\cos ^2 \phi} d\phi
= \vec e _y\frac 1 r 2 \int _0 ^{\pi/2} \cos \phi d\phi
= \vec e _y\frac 2 r

となる。

元の式に代入すると、

d\vec B = \frac {\mu _0}{4\pi} \int d\vec s \times \vec r \frac 1{|\vec r|^3}
= \frac {\mu _0}{4\pi} \frac 2 r \vec e _y
= \frac {\mu _0}{2\pi r} \vec e _y

となる。

この表式は、ベクトルの方向まで含めて、以前導線の回りの磁場として 与えた式と一致している。このことから、ビオ-サバールの法則は、 以前与えた表式の拡張となっていることが分かる。

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