高等学校数学III 極限

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本項は高等学校数学IIIの極限の解説である。

[編集] 数列の極限

ある数列 ${a n}$ が有限個の項しかもたないとき、有限数列といい、項が限りなく続くとき無限数列という。ここでは無限数列を考えるから断りがない場合、無限数列を単に数列と書くことにする。

[編集] 数列の極限

数列 ${a n}$ において、項の番号 $n$ が限りなく大きくなっていくとき、 $a n$ がある一定の値 $α$ に限りなく近づいていくならば、数列 ${a n}$ は $α$ に収束するといい、

$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$

または簡単に

$a_n\to\alpha \ (n\to\infty)$

とかく。また、 $α$ をこの数列の極限値という。

収束する数列には次のような性質がある。数列 ${a n}$ , ${b n}$ において, $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ とすると、

$\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha$ （ $k$ は定数）。
$\lim_{n\to\infty}\{a_n\pm b_n\}=\alpha\pm\beta$ （複号同順）。
$\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta.$
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$ （ただし、 $\beta\not=0$ ）。

例題

次の数列の極限値を求めよ。

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots$
$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots,\frac{n+1}{n},\ldots$

解

分母が限りなく大きくなっていくため、項の値は次第に小さくなっていくが、nは常に正なので、項の値が負になることはなく、0に限りなく近づく。したがって

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$
式変形と1.の結果を用いると、

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1+0=1$

数列には収束しないものがある。たとえば

$1,2,3,\ldots,n,\ldots,$

$3,-1,\ldots,7-4n,\ldots$

は収束しない。収束しない数列は発散するという。発散する数列 ${a n}$ で $n\to\infty$ のとき項 $a n$ の値が限りなく大きくなるときこの数列は正の無限大 に発散するといい、その極限は正の無限大であるという。このことを次のように表す。

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

逆に $n\to\infty$ のとき、項 $a n$ が負の値でその絶対値が限りなく大きくなるときこの数列は負の無限大 に発散するといい、その極限は負の無限大であるという。このことを次のように表す。

$\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$

例題

次の数列の極限を求めよ。

$1,4,\ldots,n^2,\ldots$
$2,2,\ldots,3n-n^2,\ldots$

解

$\lim_{n\to\infty}n^2=\infty.$
$\lim_{n\to\infty}(3n-n^2)=-\infty.$

発散する数列には次のようなものもある。

$-1,2,-3,\ldots,(-1)^n n,\ldots$

$1,-1,1,\ldots,-(-1)^n,\ldots$

いずれの数列も正の無限大にも負の無限大にも発散しない。このような数列を振動するという。このときもこの数列には極限値が存在しない。

定理

数列 ${a n}$ , ${b n}$ について、 $n$ が十分に大きいとき常に $a_n \leq b_n$ を満たしていて、 $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ かつ ${b n}$ の極限値も存在するならば、

$\alpha\leq \lim_{n\to\infty}b_n$

となる。

証明

高等学校の範囲ではうまく証明することができない。興味を持った人は微分積分学の教科書を参照してほしい。ここでは、直感的に成り立つことを理解してほしい。■例えば、解析学基礎などを参照。

次に、はさみうちの原理 を紹介する。

はさみうちの原理

数列 ${a n}$ , ${b n}$ , ${c n}$ について、 $n$ が十分に大きいとき常に $a_n\leq b_n\leq c_n$ を満たしていて、 $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ ならば、 ${b n}$ の極限値も存在して、

$\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

となる。

証明

$\lim_{n\to\infty}b_n$ が存在することはあきらか。先の定理より、

$\alpha\leq \lim_{n\to\infty}b_n$ かつ $\lim_{n\to\infty}b_n\leq \alpha$

であるので、

$\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

が成立。■

例題

つぎの極限値を求めよ。

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+4n+2}{3n^2+4}.$
$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{9n^2+2n}-3n).$
$\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}.$

解

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+4n+2}{3n^2+4} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{4}{n^2}} = \frac{1}{3}.$
$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{9n^2+2n}-3n) = \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{9n^2+2n}+3n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{9+\frac{2}{n}}+3} = \frac{1}{3}.$
すべての $n$ で、

$-\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}$

となり、

$\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

であるので、

$\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$ 。

[編集] 等比数列の極限

等比数列 ${r n}$ の極限について考えてみよう。

(i) $r > 1$ の場合：

$r = 1 + h$ とおくと、

$r^n=(1+h)^n = 1+{}_n{\rm C}_1 h + {}_n{\rm C}_2 h^2 +\cdots+ {}_n{\rm C}_n h^n$

であるので、

$r^n\geq 1+nh$ 。

したがって、 $n\to\infty$ のとき、 $1+nh\to\infty$ だから、

$\lim_{n\to\infty}r^n=\infty$ 。

(ii) $r = 1$ の場合：

$1$ は何乗しても $1$ だから、

$\lim_{n\to\infty}r^n=1$ 。

(iii) $| r | < 1$ の場合：

$r = 0$ ならばあきらかに、

$\lim_{n\to\infty}r^n=0$ 。

$r \ne 0$ のとき、 $| r | - 1 > 1$ だから、(i) より

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{|r|^n}=\infty$ 。

したがって、

$\lim_{n\to\infty}r^n=0$ 。

(iv) $r = - 1$ の場合：

$r n$ は $n$ が奇数の場合 $- 1$ 、 $n$ が偶数の場合 $1$ となるので振動する。

(v) $r < - 1$ の場合：

$| r | > 1$ より、

$\lim_{n\to\infty}|r|^n=\infty$

となるが、 $r n$ は $n$ が奇数の場合 $r n < 0$ 、 $n$ が偶数の場合 $r n > 0$ となるので振動する。

まとめると、次のようになる。

収束

$| r | < 1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty}r^n=0$ 。
$r = 1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty}r^n=1$ 。

発散

$r > 1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty}r^n=\infty$ 。
$r\leq -1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty}r^n$ は存在しない。

例題

一般項が次のように表される数列の収束・発散について調べ、極限値があるならばこれを求めよ。

$\frac{2^n+4^n}{3^n}.$
$\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}.$
$\frac{1+4^n}{1-4^n}.$
$\frac{3^n}{2\cdot 3^{n-1}+2^n}.$

解

$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+4^n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{4}{3}\right)^n\right\}=\infty.$
$n$ が偶数ならば常に、 $\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}=1$ となり、奇数ならば $\frac{5^n+7^n}{5^n-7^n}$ となる。この二つの数列の極限が等しければよいが、 $\lim_{n\to\infty}\frac{5^n+7^n}{5^n-7^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{5}{7}\right)^n+1}{\left(\frac{5}{7}\right)^n-1} = -1$ であるので等しくない。したがって、数列 $\left\{\frac{5^n+7^n}{5^n+(-7)^n}\right\}$ は振動する。
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+4^n}{1-4^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^n+1}{\left(\frac{1}{4}\right)^n-1} =-1.$
$\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2\cdot 3^{n-1}+2^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^n} = \frac{3}{2}.$

[編集] 無限級数の和

数列 ${a n}$ の第 $n$ 項までの和を $S n$ と表すことにする。すなわち、

$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ 。

このとき、 ${S n}$ は数列の一種とみなすことができ、このようにある数列の初項から第 $n$ 項までを順番に足してできる数列を級数という。もとの数列 ${a n}$ が無限数列である場合、級数 $\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}$ も無限に項を持つことになる。このような級数を無限級数 という。以下、単に級数というときは無限級数であるとする。

数列 ${a n}$ において、初項から第 $n$ 項までの和を第 $n$ 部分和という。 ${a n}$ から作られる級数の第 $n$ 部分和　（つまり、 ${a n}$ の初項から第ｎ項までの和）を $S n$ と表すことにし、この級数 ${S n}$ の極限値が $S$ であるとき、 $S n$ は $S$ に収束するといい、 $S$ を級数の和という。このことを次のように表す。

$S=\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_n$

または

$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots = S$

または

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n = S$

また、級数 ${S n}$ が発散するときその和は考えない。

例題

つぎの級数の収束・発散について調べ、和が存在するならば求めよ。

$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n\cdot (n+1)} + \cdots.$
$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{2n-1}{2n}+\cdots.$
$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} + \cdots.$

解

$\sum_{n}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1.$
$\frac{2n-1}{2n}\geq \frac{1}{2}$ であるから、 $\sum_{n}^\infty \frac{2n-1}{2n} \geq \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2} = \infty$ 。

したがって級数 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2n-1}{2n}+\cdots$ は発散する。

$\sum_{n}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sum_{n}^\infty \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1) = \infty.$

定理

数列 ${a n}$ から作られる級数 $S n$ が収束する必要条件は、

$\lim_{n\to\infty}a_n=0$

である。

証明

$\alpha \ne 0$ とし、 $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ とする。 $n > 1$ のとき、

a n = S n - S n - 1

となるので、

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_{n}-S_{n-1})=\alpha$ 。

しかし、 $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S$ であるから、これは矛盾。したがって、 $α = 0$ でなくてはならない。■

逆に、 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ であっても、 $\sum_n^\infty a_n$ が収束するとは限らない。

[編集] 無限等比級数の和

初項が $a$ で公比が $r$ の数列から作られる級数を無限等比級数 または単に等比級数 という。

等比級数の収束・発散について考えてみよう。この等比級数の第 $n$ 部分和は、

$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$

となる。

(i) $a = 0$ の場合：

すべての $n$ で $a n = 0$ となるから、

$\lim_{n\to\infty}S_n=0$ 。

(ii) $a \ne 0$ の場合：

$| r | < 1$ とすると、

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

であるから、

$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}$ 。

$r > 1$ または $r\leq -1$ のときは、 ${a r n - 1}$ は発散するから、 ${S n}$ は発散する。また、 $r = 1$ のときは、

$\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=a \ne 0$

であるから、先の定理より ${S n}$ は発散する。

このことは次のようにまとめられる。

$a \ne 0$ のとき、初項 $a$ , 公比 $r$ の等比級数は

$| r | < 1$ のとき収束し、

$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots = \frac{a}{1-r}$ 。
$|r|\geq 1$ のとき発散する。

例題

次の等比級数の収束・発散について調べ、収束するものについてはその和を求めよ。

$1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}+\cdots$
$(\sqrt{3}-2)-1+(-\sqrt{3}-2)+\cdots$
$100-50+25-\cdots$

解

与えられた数列は公比が $\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|<1$ であるので収束する。その和は、 $\sum_{n}^\infty \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=4-2\sqrt{3}$ 。
与えられた数列は公比が $\sqrt{3}+2>1$ であるので発散する。
与えられた数列は公比が $\frac{1}{2}$ であるので収束する。その和は、 $\sum_{n}^\infty 100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{200}{3}$ 。

[編集] 関数とその極限

[編集] 分数関数と無理関数

[編集] 分数関数

$y= \frac{1}{x}\ ,\ y= \frac{2x-1}{x-1}$ のように、xの分数式で表される関数をxの分数関数という。

$y= \frac{k}{x}$ のグラフは双曲線で、原点に関して対称である。双曲線 $y= \frac{k}{x}$ の漸近線は、x軸とy軸である。

関数 $y= \frac{k}{x-p} +q$ のグラフは、関数 $y= \frac{k}{x}$ のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したもので、漸近線は2直線 $x=p\ ,\ y=q$ である。

例題

分数関数 $y= \frac{2x+3}{x+1}$ のグラフの漸近線の方程式を求めよ。

解: $y= \frac{2x+3}{x+1} = \frac{1}{x+1} +2$

ゆえに、この関数のグラフは、双曲線 $y= \frac{1}{x}$ をx軸方向に-1、y軸方向に2だけ平行移動したものである。

漸近線の方程式は $x=-1\ ,\ y=2$ である。

[編集] 無理関数

$\sqrt{x}\ ,\ \sqrt[3]{3x-8}$ のように、根号の中に文字を含む式を無理式といい、変数xの無理式で表される関数をxの無理関数という。

$y= \sqrt{x}$ のグラフについて考える。

$y= \sqrt{x}$ の定義域は $x \ge 0$ 、値域は $y \ge 0$ である。

$y= \sqrt{x}$ の両辺を2乗すると、 $y 2 = x$ 、すなわち

x = y 2

$x = y 2$ のグラフは原点を頂点とし、x軸を対称軸とする放物線である。

$y= \sqrt{x}$ では $y \ge 0$ であるから、 $y= \sqrt{x}$ のグラフは $x = y 2$ のグラフの上半分である。

無理関数 $y= \sqrt{ax+b}$ について、

$\sqrt{ax+b} = \sqrt{a \left(x + \frac{b}{a} \right)}$

であるから、無理関数 $y= \sqrt{ax+b}$ のグラフは、 $y= \sqrt{ax}$ のグラフをx軸方向に $- \frac{b}{a}$ だけ平行移動したものである。

例題

無理関数 $y= \sqrt{-2x-6}$ のグラフは $y= \sqrt{-2x}$ のグラフをどのように平行移動したものか。

解: $y= \sqrt{-2x-6} = \sqrt{-2(x+3)}$

ゆえに、この関数のグラフは、 $y= \sqrt{-2x}$ をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。

[編集] 合成関数と逆関数

[編集] 合成関数

二つの関数 $f (x)$ と $g (x)$ が与えられたとき、 $f (g (x))$ という新しい関数を考えることができる。たとえば $f (x) = x 2 + x + 2$ , $g (x) = x + 1$ とすると、

f (g (x)) = {g (x)} 2 + g (x) + 2 = x 2 + 3 x + 4

一般に二つの関数 $f (x)$ , $g (x)$ が与えられたとき、関数 $f (g (x))$ や $g (f (x))$ を $f (x)$ と $g (x)$ の合成関数という。合成関数 $f (g (x))$ を $(f\circ g)(x)$ とかくことがある。

例題

$f (x) = x 2 - 1$ , $g(x)=\frac{x}{x+1}$ のとき、合成関数 $(f\circ g)(x)$ と $(g\circ f)(x)$ を求めよ。

解: $(f\circ g)(x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2-1=-\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$; $(g\circ f)(x)=\frac{x^2-1}{x^2-1+1}=\frac{x^2-1}{x^2}$

この例題のように、一般に $(f\circ g)(x)$ と $(g\circ f)(x)$ は等しくない。

[編集] 逆関数

関数 $f (x)$ と関数 $g (x)$ が与えられて、

$(f\circ g)(x)=x$

$(g\circ f)(x)=x$

をすべての定義域内の $x$ で満たすとき、 $g (x)$ を $f (x)$ の逆関数といい、

g (x) = f - 1 (x)

と表す。

例題

$f(x)=x^n (x\geq 0)$ の逆関数 $f - 1 (x)$ を求めよ。

解

$y = f (x)$ とおいて $x$ について解くと、

$x=\sqrt[n]{y}$

となる。したがって、 $f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}$ 。

この例題のように、ある関数 $f (x)$ の逆関数 $f - 1 (x)$ を求めるには $x$ について解いて $x$ と $y$ を入れ替えればよい。

次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての $x$ で $f - 1 (x)$ が一意に定まらなくてはならない。すなわち、 $y = f (x)$ において、定義域の $x$ と値域の $y$ のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数 $f (x)$ が全単射である、または一対一対応であるという。関数 $f (x)$ が全単射であることは $f (x)$ に逆関数が存在することの必要十分条件である。

[編集] 関数値の極限

ある関数 $f (x)$ において、 $x$ が定数 $a 1$ より小さい値をとりながら $a 1$ に限りなく近づくときの関数 $f (x)$ の値が一定の値 $b 1$ に限りなく近づくとき、 $f (x)$ の左極限値は $b 1$ であるといい、

$\lim_{x\to a_1-0}f(x)=b_1$

と表す。同様に $x$ が定数 $a 2$ より大きい値をとりながら $a 2$ に限りなく近づくときの関数 $f (x)$ の値が一定の値 $b 2$ に限りなく近づくとき、 $f (x)$ の右極限値は $b 2$ であるといい、

$\lim_{x\to a_2+0}f(x)=b_2$

と表す。

ここで、

a = a 1 = a 2

かつ

b = b 1 = b 2

であるとき、すなわち $a$ における左極限値と右極限値が等しいとき $f (x)$ は $b$ に収束するといい、 $b$ をそのときの $f (x)$ の極限値という。このことを、

$\lim_{x\to a}f(x)=b$

と表す。

$x \to a$ のとき、 $f (x)$ が限りなく大きくなるならば、 $f (x)$ は正の無限大に発散するといい、 $\lim_{x\to a}f(x)= \infty$ と書く。

$x \to a$ のとき、 $f (x)$ が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 $f (x)$ は負の無限大に発散するといい、 $\lim_{x\to a}f(x)= - \infty$ と書く。

[編集] 関数の連続性

ある関数 $f (x)$ が定義域内の点 $a$ で連続であるとは、その関数 $f (x)$ のグラフが $x = a$ の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

であることをいう。また、ある区間で $f (x)$ が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。

[編集] 三角関数と極限

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

[編集] 演習問題

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高等学校数学III 極限

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目次

[編集] 数列の極限

[編集] 数列の極限

[編集] 等比数列の極限

[編集] 無限級数の和

[編集] 無限等比級数の和

[編集] 関数とその極限

[編集] 分数関数と無理関数

[編集] 分数関数

[編集] 無理関数

[編集] 合成関数と逆関数

[編集] 合成関数

[編集] 逆関数

[編集] 関数値の極限

[編集] 関数の連続性

[編集] 三角関数と極限

[編集] 演習問題

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