電磁波の式の導出

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ここではマクスウェルの方程式から電磁波の波動方程式を導く。

マクスウェルの式は真空中では次のようになる。

$\operatorname{div} \mathbf{B} = 0$

$\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}$

$\operatorname{div} \mathbf{E} = \rho / \varepsilon_0$

$\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

第二式の両辺それぞれベクトル場の回転をとって、

$\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{E}) = - \operatorname{rot} \frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}$

左辺にベクトル解析の式 $\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{F}) = -\Delta\mathbf{F} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{F})$ を適用し、右辺は時間微分と空間微分を交換する。

$-\Delta\mathbf{E} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot} \mathbf{B})$

第三式及び四式を代入して、

$-\Delta\mathbf{E} + \frac{1}{\varepsilon_0}\operatorname{grad} \rho = - \mu_0 \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$

第四式の両辺それぞれベクトル場の回転をとって、

$\operatorname{rot} (\operatorname{rot} \mathbf{B}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \operatorname{rot} \frac{\partial\mathbf{E}} {\partial t}$

電場の場合と同様に変形して、

$-\Delta\mathbf{B} + \operatorname{grad} (\operatorname{div} \mathbf{B}) = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot} \mathbf{E})$

第一式及び二式を代入して、

$-\Delta\mathbf{B} = \mu_0 \operatorname{rot} \mathbf{j} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$

結局

$\square \mathbf{E} = - \frac{1}{\varepsilon_0} (\operatorname{grad} \rho + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t})$

$\square \mathbf{B} = - \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \operatorname{rot} \mathbf{j}$

ソース ρ、 j が無い場合はこれらは波動方程式の形をしている。 伝播速度は

$c = 1 / \sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$

である。