中学校数学 2年生-図形/証明

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

ここでは中2の範囲内の図形の証明の基礎について学びます。事前に図形の性質合同な図形 を学んでおいてください。

証明の仕組み[編集]

証明(しょうめい)とは、すでに成り立つことがわかっていることを使って、成り立つかどうかわからないことが実は成り立つということを確かめること、その確かめの内容を人に説明することです。さっそく例を見てみましょう。

中学幾何 図1.svg


左の図で、BC=DC,AC=ECのとき、AB=EDを証明しなさい。


このような場合、問題の情報を整理します。情報を整理すると以下の通りです。

【仮定】 BC=DC , AC=EC
【結論】 AB=ED

問題の前提として与えられた条件を仮定(かてい)といいます。 つまり証明とは、仮定から結論(けつろん)を導くことです。結論を導くために、今回は△ABC≡△EDCを証明すればよさそうです。(記号≡は合同という意味) そのためには∠BCA=∠DCEであるか、AB=EDであることを確かめられればよさそうです。この場合は、対頂角の関係にあるので∠BCA=∠DCEであることがわかります。以上のことを、きちんと整理した形に書くのが証明です。 細かいことですが、証明が終了したら最後に必ず「ここで終わりです」という宣言をします。たとえば「(証明終)」や「//」や「Q.E.D」と書いたり、あるいは文章で「これで結論は証明された。」と書くなど、いくつかの書き方がありますが、ここでは「(証明終)」を用いることにします。

△ABCと△EDCにおいて仮定より

BC=DC・・・①
AC=EC・・・②

また、対頂角は等しいので

∠BCA=∠DCE・・・③

①・②・③より、対応する2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABC≡△EDC

したがってAB=ED  (証明終)

以上のような今回の証明の中身を簡単に表すと次のようにまとめられます。

【仮定】 問題に書いてある内容+自分で見つけた内容を整理する。

↓          ↓
合同条件により、合同な三角形が見つかる。
【結論】合同な図形の性質により、結論が得られる。 (証明終)


三角形・四角形の定義の変更[編集]

「正方形は、長方形でしょうか?」

この疑問に、あなたは答えられますか?

もし「長方形」とは何であるかの条件を、「長方形とは、タテとヨコの長さが等しいとは限らないで、すべての角度が90度の四角形のことである」としたら、 正方形もまた長方形の一種になります。なぜなら、この条件では「タテとヨコの長さが等しいとは限らない」としましたが、一言も「タテとヨコの長さが違う」とは言ってないので、タテとヨコの長さが同じであってもいいからです。


一方、もし「長方形とは、タテとヨコの長さが違っており、すべての角度が90度の四角形のことである」としたら、正方形は長方形でなくなります。


この「長方形とは、タテとヨコの長さが等しいとは限らないで、すべての角度が90度の四角形のことである」という宣言や「長方形とは、タテとヨコの長さが違っており、すべての角度が90度の四角形のことである」という宣言のように、ある用語の意味をはっきりさせる説明のことを定義(ていぎ)といいます。


つまり、

「長方形とは、タテとヨコの長さが等しいとは限らないで、すべての角度が90度の四角形のことである」

という主張は、長方形の定義を宣言したことになります。

また、

「長方形とは、タテとヨコの長さが違っており、すべての角度が90度の四角形のことである」

という主張も、長方形の定義を宣言したことになります。


議論などの際に、他人の書いた「証明」を読むさい、ときどき、言葉の意味が自分の使い方とは違っている場合があるので、必要に応じて、相手の人の証明での語句の定義を確認する必要があります。(※ しかし中学校レベルの議論や数学の場合は、教科書などが用語の意味を決めているので、定義を確認する必要性が少ない。)

ひとつの証明の中では、定義は一貫させる必要があります。


中学校以上の数学では(中学校での教育もふくむ)、証明の手間をラクにするためか、長方形の定義を「長方形とは、タテとヨコの長さが等しいとは限らないで(等しくてもよい)、すべての角度が90度の四角形のことである」として、正方形を長方形の一種に含める場合があります。こうすれば、長方形について成り立つ公式などを証明した際に、正方形についても証明したことになるので、わざわざ正方形について別々の証明をする手間が省略できるからです。


同様に、中学校では、「二等辺三角形」を「正三角形」の特殊な場合とすることも、よくあります。

もし二等辺三角形の定義を「2辺以上の長さが同じ三角形である」(二等辺三角形の定義)とすれば、正三角形の3つの等しい辺も2辺以上という条件を満たすので( 3辺 ≧ 2辺 )、正三角形は二等辺三角形の特殊な場合であると分類できます。


また、長方形や三角形にかぎらず、高校や大学などで、いくつかの用語の定義が変わっている場合もあるので、あたらしい分野の学習の際には、その分野の言葉の定義を確認するようにしましょう。(あまり気にしなくても、普通の気のきいた教材なら、中学など下の学校とは用語の定義が違っている場合、読者に定義に変更のあることを説明しておいてくれる。とりあえず中学生は、高校・大学レベルに学習が進んだ将来、いくつかの用語の定義が将来的に更新される可能性もあることを、念頭においておけばいい。)

三角形についての証明[編集]

3組の辺がそれぞれ等しい場合[編集]

中学幾何 図2.svg



左の図で、AD=AB , DC=BC のとき、∠B=∠Dを証明しなさい。


ACという補助線を引くことにより、結論に登場する角を含むような三角形を作ることができます。

△ADCと△ABCにおいて仮定より

AD=AB・・・①
DC=BC・・・②

また、ACは共通だから

AC=AC・・・③

①・②・③より、対応する3辺がそれぞれ等しいので

△ADC≡△ABC

したがって∠B=∠D  (証明終)

二等辺三角形[編集]

Definition of terms in each part of isosceles triangle japanese.svg

中学以上では、二等辺三角形の各部の用語を、右図および下記のように定義する。

・ 二等辺三角形では、等しい2辺のつくる角(図では ∠A )を 頂角 (ちょうかく)という。
・ 頂角に対する(「向かい側」の意味)辺を 底辺 (ていへん)という。
・ 底辺の両端の角を 底角 (ていかく)という。


※ 上の3つの用語のうち、企業などの設計などの実務でよく使う用語は「底辺」である。ときどき「頂角」も使うかもしれない。「底角」は忘れても、「底辺の両端の角」とそのまま言えば実社会では済む。


さて、二等辺三角形の重要な性質として、

二等辺三角形の底角の性質
二等辺三角形の2つの底角は等しい。

という性質があります。

では、これから、このことを証明してみましょう。

証明
Theorem of base angles of isosceles triangles.svg

まず、頂角 ∠ A の二等分線を引き、この二等分線と辺BCとの交点をDとする。

すると、△ABDと△ACDは合同である。

なぜなら、

まず、∠ BAD と ∠ CAD が等しい。
△ABDの辺ADと△ACDの辺ADは同じ辺ADなので当然に等しい。
辺ABと辺CDは、△ABCが二等辺三角形であるという仮定より正しい。

よって、一つの角度と、その両端の辺の長さが等しいので、三角形の合同条件を満たしているので、

△ABD ≡ △ACD

である。

よって、合同な図形の対応する角どうしは等しく、角Bと角Cについては、頂点Bと頂点Cが 式 △ABD ≡ △ACD の2番目にある文字であることからも分かるように角Bと角Cは合同図形の対応しあう点なので、

∠ B = ∠ C

である。

そして、この角Bと角Cはそもそも底角であったので、よって二等辺三角形の2つの底角どうしは等しい。 (証明 おわり)


上で証明された、「二等辺三角形の2つの底角どうしは等しい」という性質は、数学では、さまざまな図形の性質の証明でも、説明の根拠として、よく利用される。

証明された ことがら のうち、説明の根拠として、よく利用されるものを 定理 (ていり, theorem セオレム)という。


二等辺三角形の底角の性質
定理  二等辺三角形の底角は等しい。


※ イメージ図
「どうせ二等辺三角形だろう」という先入観を防ぐため、このイメージ図では、実際の図とは多少、辺の長さや角度を変えています。

では、二等辺三角形とはかぎらない ある三角形ABC で、2つの角が等しいとき、その三角形ABCは、はたして二等辺三角形なのでしょうか?

このことは、次のような証明で、検証できます。

証明

Aの二等分線をひき、辺BCとの交点をDとする。

△ABDと△ACDにおいて、 底角が等しい という仮定から  ∠ B = ∠ C  ・・・ (1)

∠ BAD = ∠ CAD   ・・・ (2)

三角形の内角の和は180°であるから、 (1), (2)より、

∠ ADB = ∠ ADC   ・・・ (3)

また、  ADは共通。  ・・・ (4)

(2),(3),(4) より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABD ≡ △ACD

合同な図形の対応する辺は等しいので、

AB=AC ・・・(5)

(5)は、三角形ABCが二等辺三角形であることを表している。 そして、そもそもの仮定は「底角が等しい」 という内容の仮定であった。

よって、底角が等しいなら二等辺三角形であることが証明できた。(証明 おわり)


このことから、次の定理が証明できました。

定理
2つの角が等しいならば二等辺三角形である。


この定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」は、一つ前に紹介した定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」の仮定と結論を入れかえたものになっています。

文章だと分かりづらいかそいれませんが、数式っぽく表すと、定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」は、

「 AB = AC ならば ∠ B = ∠ C 」

です。

いっぽう、定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」は、

「 ∠ B = ∠ C ならば AB = AC 」

です。

こうやって数式で見ると、仮定と結論とを入れかえたものになっています。

当然、ここでいう「仮定」と「結論」とは、どこの部分かというと、

「(仮定) ならば (結論)」

の箇所のことです。


これらの定理のように、ある定理の仮定と結論を入れ替えた定理のことを、定理の (ぎゃく) のように、いいます。


定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」の逆は、定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」です。

定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」の逆は、定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」です。


このように、定理の 逆 があるとき、相手方の定理から見れば、もとの定理のほうが 逆 です。


数学の定理にかぎらず、なにかの主張がある場合に、その逆になる主張も存在しうる。

たとえば、「東京は日本の一部である」という主張は、数学的に分解すれば、「ある場所が東京ならば、その場所は日本の一部である」という事なので、 この逆である「ある場所が日本の一部なら、そこは東京である」という主張も存在しうる。


もちろん、この主張「ある場所が日本の一部なら、そこは東京である」は正しくない。奈良県は日本の一部であるのに、そこは東京ではないからだ。


このように、逆の元ネタになる主張(さっきの例では「東京は日本の一部である」)が正しくても、その逆が正しくない場合もある。


このような、逆の正しくない例は、なにも地理だけにかぎらず、数学でも、いろいろとある。

たとえば、

「a>0 で b>0 ならば、a+b > 0 である。」

という主張は、もし正しいとしても、

逆の「a+b > 0 ならば、a>0 で b>0 である。」は正しくない。


なぜなら、たとえば a = 100 で b = ー1 とすれば、a+b > 0 なのに a<0 (aが0より小さい)であるからだ。


また、これらの例(たとえば a = 100 で b = ー1 とする)のように、

ある主張(「a+b > 0 ならば、a>0 で b>0 である。」)が成り立たないことを説明する具体例のことを 反例 (はんれい)といいます。


また、反例は、1つ出せば、数学的には充分です。


数学で 逆 が正しくない場合があるのは、けっして文字式の分野だけではなく、図形の問題でも、逆が正しくない場合がある。


たとえば、「△ABCと△DEFが合同なら、対応する角度3つがそれぞれ等しい(つまり ∠A=∠D , ∠B=∠E , ∠C=∠F )。」は正しいが、

「△ABCと△DEFの対応する角度3つがそれぞれ等しいなら、その三角形が合同である」は正しくない。

なぜなら、たとえば△ABCを2倍の大きさに拡大したものでも、角度3つがそれぞれ、対応するもとの△ABCと等しいからである。


2組の辺がそれぞれ等しく,その間の角が等しい場合[編集]

1組の辺が等しく,その両端の角がそれぞれ等しい場合[編集]

直角三角形の証明[編集]

Hypotenuse of right triangle japanese.svg

まず、直角三角形の用語を学ぼう。

直角三角形で、直角に対する線を 斜辺(しゃへん) という。


Acute angle japanese.svg
Obtuse angle.svg

直角三角形にかぎらず、ある角の角度が0°以上で 90° より小さい場合に、その角度を 鋭角 (えいかく、acute angle)という。

ある角の角度が 90° 以上で180より小さい角度の場合に、その角を 鈍角 (どんかく、obtuse angle)という。


Acute angle and obtuse angle japanese.svg

図でみると分かるように、三角形では、どんな三角形でも最低限でも2つの鋭角がある。

また、直角では、鋭角でもなく鈍角でもないと分類するのが一般的である。

つまり、角度は、鋭角か直角か鈍角かの3通りのうちのどれかに分類される。


さて、話題を直角三角形にもどす。

直角三角形では、鋭角が2つある。



図2

直角三角形にかぎらず、三角形の形を1種類に限定できる情報の組み合わせを、すでに単元『中学校数学 2年生-図形/合同な図形』で、三角形の合同条件として紹介した。

直角三角形には、さらに次の情報だけでも与えられれば、その直角三角形の形は 1種類 だけに限定できる。

・ 直角三角形の 斜辺の長さ と 1つの鋭角の角度 が与えられていれば、形は1種類だけである。
・ 直角三角形の 斜辺の長さ と もう1つの辺の長さ が与えられていれば、形は1種類だけである。

直角三角形の斜辺とひとつの鋭角が与えられた場合とは、三角形の内角の和は180°なので、残りの1つの角も結果的に計算できる。この場合は結局、三角形を1通りの形に作図できる条件「1つの辺と、その両端の角度が与えられている」の特殊な場合にすぎない。

しかし、(右図の右側にある)斜辺ともうひとつの辺が与えられた場合は、一見すると、三角形の作図の条件には当てはまってないが、しかし実際に(右図の右側の)図のように、この場合も三角形を1通りの形にだけ作図できる。


では、次に、(図2の右側にある)「斜辺ともうひとつの辺が与えられた場合は」から、三角形の合同条件をみちびけることを証明していこう。作図の条件ではなく合同条件とした理由は、そのほうが証明しやすい理由と、三角形の合同条件を導ければ、それをもとに、その三角形の作図方法が1通りだという事も証明できるからという理由である。

図3
証明

△ABC と △DEF があって、 仮定より

AB=DE  ・・・(1)
∠ C = ∠ F = 90°  ・・・(2)
AC=DF ・・・(3)

のとき、この2つの三角形が合同であることを、しめせばいい。

では、このことを証明する。

△DEFを裏返して、辺ACとDEを重ねて、図3下のように配置する。

すると、あたかも三角形のような図形ABEがあるように見えるが、では、この図形ABCEが三角形ABEであることを、まず証明する。

このとき、まず :∠ ACB = ∠ DFE = 90° だから、点B, C, E は一直線上に並ぶ。

なので、線分BEの上に点Cはふくまれる。よって、図形ABCEは三角形であり、三角形ABEであると見なせる。


さて、最終的に証明したいことは、△ABC と △DEF が合同であるかどうかであった。

まず、図形ABCEが三角形ABEであると証明できたのだから、あとは仮定(1)と合わせると、

この △ABE は二等辺三角形の定義を満たしているので、当然、 △ABE は二等辺三角形である。

そして、三角形の底角は等しいという定理があるので、この定理を適用すると、

∠ B = ∠ E = 90°  

である。

すると、直角三角形の斜辺の長さと1つの角度が等しいので、これは、いくつか前に証明した(この問題とは別の)直角三角形の合同条件のひとつになる。

よって、 △ABC ≡ △DEF  である。(証明 おわり)

平行四辺形の証明[編集]

対辺と対角.svg

平行四辺形にかぎらず、一般に四角形において、向かい合う角どうしを 対角( たいかく)という。

たとえば図の場合、角Aと角Cは対角である。

向かい合う辺どうしを 対辺 (たいへん)という。



「対辺」という言葉を使うと、平行四辺形は、次のように定義される。

平行四辺形
平行四辺形の定義

対辺どうしの平行な四角形のことを平行四辺形(へいこう しへんけい)という。


対辺という言葉を使わない場合、次のようにして平行四辺形は定義される。

対辺という言葉を使わない場合の、平行四辺形の定義

四角形ABCDで、AB//DC , AD // BC なら、その四角形ABCDは平行四辺形であるという。

平行四辺形の性質などの証明[編集]

平行四辺形の図を見ると、平行四辺形では、対辺どうしの長さが等しいようにみえるが、定義のどこにも対辺が等しいとは書いてないので、では、これを証明してみよう。

証明
平行四辺形の対辺どうしの長さは等しいことの証明の図.svg

対角線ACを引く。

△ABCと△CDAで、平行線の錯角は等しいので、

AB//DC から、 ∠BAC = ∠DCA ・・・(1)
AD//BC から、 ∠BCA=∠DAC ・・・(2)

また、ACは共通だから

AC=CA ・・・(3)

(1),(2),(3) より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABC ≡ △CDA

したがって、 AB=CD ,  AD=BC  (証明 おわり)


(再掲)

また、さきほど導いた右の図からも分かるように、平行四辺形では、対角どうしの角度は等しい。



対辺どうしの等しい四角形

いくつか前の定理で、平行四辺形では、対辺どうしの長さが等しいことを証明した。

では、逆の問題を考えてみよう。

つまり、対辺どうしの等しい四角形は、平行四辺形だろうか?


(証明)

Parallelogram ABCD and diagonal BD.svg

証明の方針としては、対角線を引き、錯角が等しいことを利用して辺が平行であることを導きだせばいい。 では、実際に証明にとりかかる。


まず、対角線BDを引く。

すると、△ABDと△CDBは、仮定と合わせると結果的に、3つの辺の長さが等しいから合同であり、記号であらわすと

△ABD ≡ △CBD

である。

念のためになぜ三辺が等しいかを述べると、

BDとDBは共通だし、

仮定から対辺どうしは等しいので、

AB=AD であり
BC=DA であるから

である。


ともかく、三辺が等しいために合同であるのでしたがって、 ∠ADB=∠CBD である。

錯角の角度が等しいので、よって  AD//BC ある。

同様にして AB // DC も証明できる。

そして、対辺どうしが平行の四角形であるので、平行四辺形であることが導ける。 (証明 おわり)


ひし形の証明[編集]

長方形の証明[編集]

等積変形の証明[編集]