中学校数学 2年生-図形/証明

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ここでは中2の範囲内の図形の証明の基礎について学びます。図形の性質平行と合同に目を通してください。

証明の仕組み[編集]

証明(しょうめい)とは、すでに成り立つことがわかっていることを使って、成り立つかどうかわからないことが実は成り立つということを確かめること、その確かめの内容を人に説明することです。さっそく例を見てみましょう。

中学幾何 図1.svg


左の図で、BC=DC,AC=ECのとき、AB=EDを証明しなさい。


このような場合、問題の情報を整理します。情報を整理すると以下の通りです。

【仮定】 BC=DC , AC=EC
【結論】 AB=ED

問題の前提として与えられた条件を仮定といいます。 つまり証明とは、仮定から結論を導くことです。結論を導くために、今回は△ABC≡△EDCを証明すればよさそうです。(記号≡は合同という意味) そのためには∠BCA=∠DCEであるか、AB=EDであることを確かめられればよさそうです。この場合は、対頂角の関係にあるので∠BCA=∠DCEであることがわかります。以上のことを、きちんと整理した形に書くのが証明です。 細かいことですが、証明が終了したら最後に必ず「ここで終わりです」という宣言をします。たとえば「(証明終)」や「//」や「Q.E.D」と書いたり、あるいは文章で「これで結論は証明された。」と書くなど、いくつかの書き方がありますが、ここでは「(証明終)」を用いることにします。

△ABCと△EDCにおいて仮定より

BC=DC・・・①
AC=EC・・・②

また、対頂角は等しいので

∠BCA=∠DCE・・・③

①・②・③より、対応する2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABC≡△EDC

したがってAB=ED  (証明終)

以上のような今回の証明の中身を簡単に表すと次のようにまとめられます。

【仮定】 問題に書いてある内容+自分で見つけた内容を整理する。

↓          ↓
合同条件により、合同な三角形が見つかる。
【結論】合同な図形の性質により、結論が得られる。 (証明終)

三角形についての証明[編集]

3組の辺がそれぞれ等しい場合[編集]

中学幾何 図2.svg



左の図で、AD=AB , DC=BC のとき、∠B=∠Dを証明しなさい。


ACという補助線を引くことにより、結論に登場する角を含むような三角形を作ることができます。

△ADCと△ABCにおいて仮定より

AD=AB・・・①
DC=BC・・・②

また、ACは共通だから

AC=AC・・・③

①・②・③より、対応する3辺がそれぞれ等しいので

△ADC≡△ABC

したがって∠B=∠D  (証明終)

2組の辺がそれぞれ等しく,その間の角が等しい場合[編集]

1組の辺が等しく,その両端の角がそれぞれ等しい場合[編集]

直角三角形の証明[編集]

斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しい[編集]

斜辺とその他の一辺がそれぞれ等しい[編集]

平行四辺形の証明[編集]

平行四辺形の証明[編集]

ひし形の証明[編集]

長方形の証明[編集]

等積変形の証明[編集]