中等教育前期の数学・代数編(上)/一次不等式と連立不等式

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中高一貫校の学習 >中等教育前期の数学・代数編(上)> 一次不等式と連立不等式


一次不等式[編集]

同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。

ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことをと表し、AがBより小さいことをと表す。ここで、<と>のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。

なお、日本の教育においては、の代わりに、不等号の下に等号を記したを使うことが多い。

という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、の時には、xは7以上の実数である。

不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。

不等式の性質
1. ならば、
2. ならば、
3. ならば、

が成り立つときには、も成り立つ。また、が成り立つ。

不等式の性質を使って

の両辺から3を引くと

よって

となる。
このように、不等式でも移項することができる

  • 問題

次の不等式を解け。

  • 解答

連立不等式[編集]

いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たすの値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。

  • 問題例
    • 問題

次の連立不等式を解け。
(i)

(ii)

    • 解答

(i)
から 

……(1)

から 

……(2)

(1),(2)を同時に満たすの値の範囲は

(ii)
から 

……(1)

から 

……(2)

(1),(2)を同時に満たすの値の範囲は