初等数学公式集/体積

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

このページでは体積の公式の解説をします。

直方体の体積[編集]

V = abh

立方体の体積[編集]

V = a3

柱体の体積[編集]

V = Sh

錐体の体積[編集]

正多面体の体積[編集]

正四面体の体積[編集]

正四面体の体積.png
まず底面から計算します。
正四面体の頂上の頂点は、底面を形成する3点から等しい位置にあるので、
そこから真下へ線を伸ばしたとき、その線と底面との交点は、3点から等しい位置、即ち中心(外心、内心、重心、垂心)に位置することになります。
さらに底面の図形は正三角形なので、それぞれの点から中心をとおり、対辺に繋がる線分を引くと、3線全てが、対辺を垂直に2等分します。
このとき、この線分の長さ(右図上の赤線の長さ)は、三平方の定理によって、
次に青線2本と緑線1本で形成される二等辺三角形に、緑線を対象の軸とした線対称な二等辺三角形を作図します。
この二等辺三角形は、底角が30゚(正三角形の角の2等分線であるため)なので、2つ繋げると60゚になります。
2辺が等しく、その間の角が60゚である二等辺三角形は正三角形なので、
右図上の黒線全体の長さは、青線の長さに等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分するため、
この黒線のうち正三角形の内側に入る黒線の長さは、青線の長さの半分、つまり、赤線の長さのとなります。
逆に青線の長さは赤線の長さのなので、
続いて高さ。高さはこれまでに調べた長さと三平方の定理を利用すれば、
底面積、高さが出たので、

立方体から考える[編集]

正四面体の体積2.png 正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。
立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。
よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。

正四面体の1辺の長さをaとします。
余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。

立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「」から、

余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、




最後に立方体から角錐4つを引きます。





正八面体の体積[編集]

高さは底面の対角線の交点から求めることができます。

正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。
それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。
底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、
高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。

対角線の長さは、

対角線は互いの中点で交わるので、

高さは、母線と対角線の半分から、

実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。
最後に、錐体の体積の公式から、

正十二面体の体積[編集]

正二十面体の体積[編集]

球の体積[編集]