初等数学公式集/初等幾何/立体図形

このページでは立体図形の表面積等の公式についての解説をします。

直方体の表面積

$S=2(ab+bh+ha)$

直方体の底面積

$B=ab$

直方体の側面積

$A=a{h}(a+b)$

立方体の表面積

$S=6{a}^{2}$

柱体の側面積

$S=lh$

直角三角錐(3直角四面体)

直角三角錐(3直角四面体)

三角錐$OABC$において，1つの頂点$O$に集まる3つの角 $\angle AOB$ ， $\angle BOC$ ， $\angle COA$ がいずれも直角である三角錐を直角三角錐(3直角四面体)と定義し、$OA=a,OB=b,OC=c$（ただし$abc\neq {0}$とする）であるものとする。

$\angle AOB$ ， $\angle BOC$ ， $\angle COA$ より、この立体の各頂点は、$O$$(0,0,0)$,　$A$$(a,0,0)$,　$B$$(0,b,0)$,　$C$$(0,0,c)$とおける。

3点 $x$切片$(a,0,0)$, $y$切片$(0,b,0)$, $z$切片$(0,0,c)$を通る平面$P$の式は、

$P:{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1$である。 - 初等数学公式集/解析幾何#平面の式参照

原点$O$$(0,0,0)$と平面$P:{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}-1=0$の距離$h$:

$h={\frac {|-1|}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}}}={\frac {abc}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}$

三角錐$OABC$の体積を$V$とすると、$V={\frac {abc}{6}}$

ここで、$\triangle ABC$の面積$S$とすると、$V={\frac {hS}{3}}$であり、従って、$S={\frac {abc}{2h}}$

$S={\frac {abc}{2}}{\dot {\frac {\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}{abc}}}={\frac {\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}{2}}$

• 両辺2乗すると、

  $S^{2}=\left({\frac {ab}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {bc}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {ca}{2}}\right)^{2}$

  即ち、$S_{\triangle ABC}^{2}=S_{\triangle OAB}^{2}+S_{\triangle OBC}^{2}+S_{\triangle OCA}^{2}$が成立している。これは、三平方の定理を3次元空間に拡張したものと言えド・グアの定理通称「四平方の定理」と言われる。

円環体（トーラス）の表面積

円環体・トーラス

半径$r$の円;$C$を、円の中心からの距離$R$（但し、$r$　≦　$R$とする）の直線を軸として回転させた円環体（トーラス、ドーナツ型）の表面積

$S=4\pi ^{2}rR=(2\pi r)(2\pi R)$

体積の公式;$V=2\pi ^{2}r^{2}R$に関して、半径$r$について微分することにより得られる。