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- 無理数と有理数の和は無理数となることの証明
- 数
が無理数、数
が有理数であるとき、その和
を有理数であると仮定、

を移項して、

- 右辺は有理数となるため、仮定に矛盾する。
- 従って、
は無理数であり、無理数と有理数の和は無理数となる(背理法)。
が無理数であることの証明
が有理数であると仮定すると、互いに素である整数
を用いて、
とおくことができる。
- 両辺、
乗すると


- ここで、
は、因数に
を持つこととなるので、
と置くことができる。
- これを代入すると、


- となって、
も、因数に
を持つこととなる。
- これは、
は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
- 従って、
は有理数ではない(=無理数である。背理法)。
-
- ある有理数
が分母・分子ともに整数の
乗でないとき、
が無理数であることの証明
- 考え方は、上記:
が無理数であることの証明と同様である。
が有理数であると仮定すると、各組で互いに素である整数
を用いて、
とおくことができる。
- 両辺、
乗して、


- ここで、右辺の
は
と互いに素であるため、
を因数にもつのは
になるので、
と置くことができる。
- これを代入すると、


- となって、
も、因数に
を持つこととなる。
- これは、
は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
- 従って、
は有理数ではない(=無理数である)と証明された。
-
- 「有理数
がともに有理数の平方数でないならば
は無理数である。」ことの証明
として
は有理数であり、
は有理数の平方数ではないと仮定する。

- 両辺2乗して
となり、有理数
について、この式が成立するならば
は平方数であり仮定に矛盾する。
となる
(
) を求める。

- となり、以下の連立方程式を解くことにより、
は得られる。

- これを解くと、
