初等数学公式集/数と集合・論理/証明

数の性質

数の体系

実数

無理数と有理数の和

無理数と有理数の和は無理数となることの証明

数$a$が無理数、数$b$が有理数であるとき、その和$c$を有理数であると仮定、

$a+b=c$

$b$を移項して、

$a=c-b$

右辺は有理数となるため、仮定に矛盾する。

従って、$c$は無理数であり、無理数と有理数の和は無理数となる（背理法）。

無理数の証明

${\sqrt {2}}$ が無理数であることの証明

${\sqrt {2}}$が有理数であると仮定すると、互いに素である整数 $p,q$を用いて、

${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$ とおくことができる。

両辺、$2$乗すると

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$2q^{2}=p^{2}$

ここで、$p$は、因数に$2$を持つこととなるので、$p=2r$と置くことができる。

これを代入すると、

$2q^{2}=4r^{2}$

$q^{2}=2r^{2}$

となって、$q$も、因数に$2$を持つこととなる。

これは、$p,q$は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。

従って、${\sqrt {2}}$は有理数ではない（=無理数である。背理法）。

　

ある有理数 $a$ が分母・分子ともに整数の$n$乗でないとき、$x={\sqrt[{n}]{a}}$ が無理数であることの証明

考え方は、上記:${\sqrt {2}}$ が無理数であることの証明と同様である。

${\sqrt[{n}]{a}}$が有理数であると仮定すると、各組で互いに素である整数 $\{b,c\},\{p,q\}$を用いて、

${\sqrt[{n}]{\frac {b}{c}}}={\frac {p}{q}}$ とおくことができる。

両辺、$n$乗して、

${\frac {b}{c}}={\frac {p^{n}}{q^{n}}}$

$b{q^{n}}=c{p^{n}}$

ここで、右辺の$c$は$b$と互いに素であるため、$b$を因数にもつのは$p$になるので、$p=br$と置くことができる。

これを代入すると、

$b{q^{n}}={b^{n}}c{r^{n}}$

${q^{n}}={b^{n-1}}c{r^{n}}$

となって、$q$も、因数に$b$を持つこととなる。

これは、$p,q$は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。

従って、${\sqrt[{n}]{a}}$は有理数ではない（=無理数である）と証明された。

　

「有理数 $a,b$ がともに有理数の平方数でないならば ${\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}$ は無理数である。」ことの証明

${\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}=p$ として $a,b,p$ は有理数であり、$a,b$ は有理数の平方数ではないと仮定する。

$\pm {\sqrt {b}}=p-{\sqrt {a}}$

両辺2乗して $b=p^{2}-2p{\sqrt {a}}+a$

${\sqrt {a}}={\frac {p^{2}+a-b}{p}}$ となり、有理数 $a$ について、この式が成立するならば $a$ は平方数であり仮定に矛盾する。

二重根号

$a\pm {\sqrt {b}}=\left({\sqrt {p}}\pm {\sqrt {q}}\right)^{2}$ となる $p,q$ ($p>q$) を求める。

$\left({\sqrt {p}}\pm {\sqrt {q}}\right)^{2}=p+q\pm 2{\sqrt {pq}}=p+q\pm {\sqrt {4pq}}=a\pm {\sqrt {b}}$

となり、以下の連立方程式を解くことにより、$p,q$ は得られる。

${\begin{cases}a=p+q\\b=4pq\end{cases}}$

これを解くと、

${\begin{cases}p={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\\q={\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\end{cases}}$

記数法

小数

分数${\frac {a}{b}}$（ただし、$ab\neq 0,a\neq kb$($k$は整数)）において、$n$進法で表示する時、$b$のすべての素因数が、基数$n$の素因数に含まれる時、${\frac {a}{b}}$は有限小数となることの証明

（前提）

• ${\frac {a}{b}}$は有限小数となることは、$a$が整数であるので${\frac {1}{b}}$が有限小数であることを証明することで足りる。
• ${\frac {1}{b}}$が有限小数であるということは、${\frac {1}{b}}={\frac {c_{1}}{n}}+{\frac {c_{2}}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{k}}{n^{k}}}+\cdots +{\frac {c_{m}}{n^{m}}}$ のように、${\frac {1}{b}}$が${\frac {c_{k}}{n^{k}}}$ ($c_{k}$ は $0\leq c_{k}<n$ である整数)の有限個の和で表すことができるということであるので、これを証明する。

（証明）

$b$を素因数分解すると、$b={p_{1}}^{\alpha _{1}}{p_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots {p_{k}}^{\alpha _{k}}$（$p_{k}$ は、$b$を構成する素数で $k$ 番目のもの、$\alpha _{k}$ は$p_{k}$ の次数とする）となり、

　

同様に、$n$を素因数分解すると、$n={q_{1}}^{\beta _{1}}{q_{2}}^{\beta _{2}}\cdots {q_{k}}^{\beta _{k}}$（$q_{k}$ は、$n$を構成する素数で $k$ 番目のもの、$\beta _{k}$ は$q_{k}$ の次数）となるとする。

　

ここで、すべての$k$ について $p_{k}=q_{k}$（ただし、$\beta _{k}\neq 0$） であるとする（すなわち、$b$のすべての素因数が、基数$n$の素因数に含まれる）。

　

この時、（$\alpha _{k}$ の最大値 < $\beta _{k}\cdot m$）となる適当な$m$ を取れば、${\frac {n^{m}}{b}}$ は整数となり、${\frac {1}{b}}={\frac {c_{1}}{n}}+{\frac {c_{2}}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{k}}{n^{k}}}+\cdots +{\frac {c_{m}}{n^{m}}}$ の形で表される。

　

分数${\frac {a}{b}}$（ただし、$ab\neq 0,a\neq kb$($k$は整数)）において、$n$進法で表示する時、${\frac {a}{b}}$が有限小数であれば、$b$のすべての素因数が、基数$n$の素因数に含まれていることの証明

※前提は共通

（証明）

${\frac {1}{b}}$が有限小数で、${\frac {1}{b}}={\frac {c_{1}}{n}}+{\frac {c_{2}}{n^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{m}}{n^{m}}}$ ならば、両辺に$n^{m}$をかけると、${\frac {n^{m}}{b}}=n^{m-1}{c_{1}}+n^{m-2}{c_{2}}+\cdots +c_{m}$ となる。

　

右辺は整数となるため、${\frac {n^{m}}{b}}$ も整数となり、$b$ は、$n^{m}$ の約数となり、$b$のすべての素因数は、基数$n$の素因数に含まれる。