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初等数学公式集/数と集合・論理/証明

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

数の性質

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数の体系

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実数

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無理数と有理数の和
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無理数と有理数の和は無理数となることの証明
が無理数、数が有理数であるとき、その和を有理数であると仮定、
を移項して、
右辺は有理数となるため、仮定に矛盾する。
従って、は無理数であり、無理数と有理数の和は無理数となる(背理法)。
無理数の証明
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が無理数であることの証明
が有理数であると仮定すると、互いに素である整数 を用いて、
とおくことができる。
両辺、乗すると
ここで、は、因数にを持つこととなるので、と置くことができる。
これを代入すると、
となって、も、因数にを持つこととなる。
これは、は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
従って、は有理数ではない(=無理数である。背理法)。
 
ある有理数 が分母・分子ともに整数の乗でないとき、 が無理数であることの証明
考え方は、上記: が無理数であることの証明と同様である。
が有理数であると仮定すると、各組で互いに素である整数 を用いて、
とおくことができる。
両辺、乗して、
ここで、右辺のと互いに素であるため、を因数にもつのはになるので、と置くことができる。
これを代入すると、
となって、も、因数にを持つこととなる。
これは、は「互いに素」であるとした仮定に矛盾する。
従って、は有理数ではない(=無理数である)と証明された。
 
「有理数 がともに有理数の平方数でないならば は無理数である。」ことの証明
として は有理数であり、 は有理数の平方数ではないと仮定する。
両辺2乗して
となり、有理数 について、この式が成立するならば は平方数であり仮定に矛盾する。
二重根号
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となる () を求める。
となり、以下の連立方程式を解くことにより、 は得られる。
これを解くと、