初等数学公式集/解析幾何/証明

平面

直線

平面上の点と直線との距離

距離の公式の証明

点$P(x_{0},y_{0})$と直線$L:ax+by+c=0$との距離: $l$を求める。

直線$L$ 上の点$Q(x_{1},y_{1})$ は媒介変数$t$を用いて、以下のように表される（直線上の点の媒介変数表示）

$x_{1}=bt$

$y_{1}=-at+C$ $(-{\frac {c}{b}}=C$ とおいた$)$

　

${\overline {PQ}}^{2}=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}$ であるから、${\overline {PQ}}^{2}$ は媒介変数$t$ の関数$f(t)$として、

$f(t)=(bt-x_{0})^{2}+(-at+C-y_{0})^{2}$ と表すことができる。

$f(t)$ は$t$ の正の二次関数であるので、$f'(t_{0})=0$ となる変数$t_{0}$ で最小値をとる。

$f'(t)=2b(bt-x_{0})+2(-a)(-at+C-y_{0})=2(a^{2}+b^{2})t-2bx_{0}-2aC+2ay_{0}$

$f'(t_{0})=0$ となる変数$t_{0}={\frac {bx_{0}-ay_{0}+aC}{a^{2}+b^{2}}}$

これを$f(t)=(bt-x_{0})^{2}+(-at+C-y_{0})^{2}$に代入する。

$f(t_{0})=\left(b\left({\frac {bx_{0}-ay_{0}+aC}{a^{2}+b^{2}}}\right)-x_{0}\right)^{2}+\left(-a\left({\frac {bx_{0}-ay_{0}+aC}{a^{2}+b^{2}}}\right)+C-y_{0}\right)^{2}$

$(a^{2}+b^{2})^{2}f(t_{0})=F(t_{0})$ として、

$F(t_{0})=(b(bx_{0}-ay_{0}+aC)-x_{0}(a^{2}+b^{2}))^{2}+(-a(bx_{0}-ay_{0}+aC)+(C-y_{0})(a^{2}+b^{2}))^{2}$

$=(-aby_{0}-ac-a^{2}x_{0})^{2}+(abx_{0}+bc+b^{2}y_{0})^{2}=a^{2}(-ax_{0}-by_{0}-c)^{2}+b^{2}(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}=(a^{2}+b^{2})(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$

$(a^{2}+b^{2})^{2}f(t_{0})=F(t_{0})$ なので、

$(a^{2}+b^{2})^{2}f(t_{0})=(a^{2}+b^{2})(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$

$f(t_{0})={\frac {(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

したがって、${\overline {PQ}}^{2}$ の最小値は:${\frac {(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

平方根をとって、点$P$と直線$L$との距離$l$　= ${\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$となる。

直線$L$上で最短となる点

点$P$と直線$L$との距離$l$を形成する、直線$L$ 上の点を$Q_{m}(x_{m},y_{m})$とすると、

上記媒介変数表示において、$Q_{m}$は、$t_{0}={\frac {bx_{0}-ay_{0}+aC}{a^{2}+b^{2}}}$ の時であるので、

$x$成分について、$x_{m}=bt_{0}$

$(a^{2}+b^{2})x_{m}=b(bx_{0}-ay_{0}+aC)=b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac$

$x_{m}={\frac {b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac}{a^{2}+b^{2}}}$

$y$成分については、$y_{m}={\frac {-ax-c}{b}}$

$b(a^{2}+b^{2})y_{m}=-a(b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac)-c(a^{2}+b^{2})=-ab^{2}x_{0}+a^{2}by_{0}+a^{2}c-a^{2}c-b^{2}c=-ab^{2}x_{0}+a^{2}by_{0}-b^{2}c$

$y_{m}={\frac {-abx_{0}+a^{2}y_{0}-bc}{a^{2}+b^{2}}}$

以上より、

$Q_{m}(x_{m},y_{m})=\left({\frac {b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-abx_{0}+a^{2}y_{0}-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)$…（※）

さらに、${\overrightarrow {PQ_{m}}}=(x_{m}-x_{0},y_{m}-y_{0})$ であるので

${\overrightarrow {PQ_{m}}}=\left({\frac {b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac}{a^{2}+b^{2}}}-x_{0},{\frac {-abx_{0}+a^{2}y_{0}-bc}{a^{2}+b^{2}}}-y_{0}\right)$

ここでは、方向を議論したいので、$a^{2}+b^{2}\neq 0$である分母は払うことができて、

${\overrightarrow {PQ_{m}}}\parallel (b^{2}x_{0}-aby_{0}-ac-x_{0}(a^{2}+b^{2}),-abx_{0}+a^{2}y_{0}-bc-y_{0}(a^{2}+b^{2}))$

$=(-a^{2}x_{0}-aby_{0}-ac,-abx_{0}-b^{2}y_{0}-bc)=(-a(ax_{0}+by_{0}+c),-b(ax_{0}+by_{0}+c)\parallel (a,b)$

$\because$ 点$P(x_{0},y_{0})$は直線$L:ax+by+c=0$上の点ではないから、$ax_{0}+by_{0}+c\neq 0$となり払える。

となり、${\overrightarrow {PQ_{m}}}$は、直線$L$に直行することがわかる。

　

以上から、点$P$と直線$L$との最短距離$l$を形成する直線の方程式は、${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}$となる。

幾何的な証明

上記は、解析的に直線$L$外の点$P$と直線$L$上の点$Q$でその間の距離が最短となる点$Q_{m}$を求め、直線${\overline {PQ_{m}}}$ は直線$L$に垂直であると言うアプローチ（これをここでは、「解析的な証明」と言う）であるが、点$P$から直線$L$上の点$Q$を結んだ線が直線$L$と直行していれば、線分${\overline {PQ}}$は、点$P$と直線$L$上の点を結ぶ最短距離である、という幾何的なアプローチからの証明も可能である。

すなわち、

点$P$と直線$L$上に下ろした垂線の足を点$H$とし、これを含んだ直線$L$上の点を$Q$とする。

この時、三平方の定理から${\overline {PQ}}^{2}={\overline {PH}}^{2}+{\overline {HQ}}^{2}$ が成り立っている。

したがって、${\overline {PQ}}^{2}$ が最小となるのは、$Q$が$H$に一致して${\overline {HQ}}^{2}=0$となる時であり、すなわち、点$P$と直線$L$上に下ろした垂線となるということである。

この性質を用いて、点$P$をとおり直線$L$に直交する（法線ベクトルが$(a,b)$）である直線:${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}$と線$L$ との交点$Q_{m}$（上記※となる）を求め、長さ${\overline {PQ_{m}}}$を求めることにより、距離$l$ の公式を得ることができる。

ただし、実際の計算は煩雑であるため詳細は割愛する。

解析的な証明と幾何的な証明の関係

解析的な証明により、以下の関係が証明されている。

• 直線$L$外の点$P$と直線$L$上の点$Q$でその間の距離が最短となる点は$Q_{m}$である。$\Rightarrow$ $Q_{m}$直線${\overline {PQ_{m}}}$ は直線$L$に垂直である。

幾何的な証明により、以下の関係が証明されている。

• 直線$L$外の点$P$と直線$L$上の点$Q$でその間の距離が最短となる点は$Q_{m}$である。$\Leftarrow$ $Q_{m}$直線${\overline {PQ_{m}}}$ は直線$L$に垂直である。

　

これにより、左右の命題は必要十分条件であると言うことが証明された。

• 直線$L$外の点$P$と直線$L$上の点$Q$でその間の距離が最短となる点は$Q_{m}$である。$\Leftrightarrow$ $Q_{m}$直線${\overline {PQ_{m}}}$ は直線$L$に垂直である。

その他の証明

点$P$を中心とする半径$R$の円を想定し、直線$L$との交点が1となる（接する）場合の$R$を判別式を用いて求めると言う証明法もある。

すなわち、

点Pを中心とする半径$R$の円は、$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}$と表されるが、この円と直線$L:ax+by+c=0$の交点は、この2式の連立方程式を解くことによって得られる。

この過程で$x$又は$y$の2次方程式を解くことになるが、円と直線が1個のみ交点を持つ場合、その2次方程式の判別式は$=0$となる性質を利用する。

この方法も、実際の計算は煩雑であるため詳細は割愛する。

三次元空間

平面の式

同一直線上にない3点 $P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$, $P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$, $P_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})$ を通る平面の式の別形（→本文）。

（解法の指針）

3点が同一平面にあるのであれば、この平面は$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$をとおり、ベクトル${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$および${\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}$に直交するベクトル${\vec {n}}=(a,b,c)$をとした場合、$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0$として表される。

（導出）

${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$および${\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}$に直交するベクトル${\vec {n}}=(a,b,c)$を求める。

${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$

${\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1})$

直交条件から

${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\cdot {\vec {n}}=a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})+c(z_{2}-z_{1})=0$

${\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}\cdot {\vec {n}}=a(x_{3}-x_{1})+b(y_{3}-y_{1})+c(z_{3}-z_{1})=0$

これを満たす$a,b,c$は、例えば、

$a=(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1})-(z_{2}-z_{1})(y_{3}-y_{1})$

$b=(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1})-(x_{2}-x_{1})(z_{3}-z_{1})$

$c=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})$

である。したがって、点$P_{1},P_{2},P_{3}$を含む平面は、

$((y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1})-(z_{2}-z_{1})(y_{3}-y_{1}))(x-x_{1})+((z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1})-(x_{2}-x_{1})(z_{3}-z_{1}))(y-y_{1})+((x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}))(z-z_{1})=0$

点・直線・平面の関係

三次元空間上の点と直線との距離

点$P(x_{0},y_{0},z_{0})$と直線$l:{\frac {x-x_{1}}{p}}={\frac {y-y_{1}}{q}}={\frac {z-z_{1}}{r}}$　の距離$d$を求める（→本文）。

直線$l$の点を媒介変数$t$を用いて表すと$(pt+x_{1},qt+y_{1},rt+z_{1})$

$Q(x_{1},y_{1},z_{1})\quad (t=0)$、点$P$から直線$l$におろした垂線の足を$H(x_{h},y_{h},z_{h})$とし、各々のベクトルを定義する。

${\overrightarrow {PQ}}={\vec {a_{1}}}=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})=(a,b,c)$

${\overrightarrow {PH}}={\vec {a_{2}}}=(x_{h}-x_{0},y_{h}-y_{0},z_{h}-z_{0})$

${\overrightarrow {QH}}={\vec {a_{2}}}-{\vec {a_{1}}}=(x_{h}-x_{1},y_{h}-y_{1},z_{h}-z_{1})$

$PH\perp l$（または $PH\perp QH$） であるから、

${\vec {a_{2}}}({\vec {a_{2}}}-{\vec {a_{1}}})=0$、従って、$|{\vec {a_{2}}}|^{2}={\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}$

ここで、$H(x_{h},y_{h},z_{h})=(pt+x_{1},qt+y_{1},rt+z_{1})$ であるので、

${\overrightarrow {PH}}(={\vec {a_{2}}})=(pt+x_{1}-x_{0},qt+y_{1}-y_{0},rt+z_{1}-z_{0})$

${\overline {PH}}={\sqrt {(pt+a)^{2}+(qt+b)^{2}+(rt+c)^{2}}}$

根号内を$f(t)$とおくと、

$f'(t)=2p(pt+a)+2q(qt+b)+2r(rt+c)=2((p^{2}+q^{2}+r^{2})t+pa+qb+rc)$

となり、最小値は、$t_{h}=-{\frac {pa+qb+rc}{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$ の時であることがわかる。これは $PH^{2}$ を最小にする問題に帰着している。

この時、

$(p^{2}+q^{2}+r^{2}){\vec {a_{2}}}=(-p(pa+qb+rc)+a(p^{2}+q^{2}+r^{2}),-q(pa+qb+rc)+b(p^{2}+q^{2}+r^{2}),-r(pa+qb+rc)+c(p^{2}+q^{2}+r^{2}))$

$=(q^{2}a+r^{2}a-pqb-prc,p^{2}b+r^{2}b-pqa-qrc,p^{2}c+q^{2}c-pra-qrb)$

内積${\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}$ を求める（上記の式から、直接$|{\vec {a_{2}}}|^{2}$ を求めるよりは簡易になる）。

$(p^{2}+q^{2}+r^{2}){\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}=q^{2}a^{2}+r^{2}a^{2}-pqab-prac+p^{2}b^{2}+r^{2}b^{2}-pqab-qrbc+p^{2}c^{2}+q^{2}c^{2}-prac-qrbc$

$=q^{2}a^{2}-2pqab+p^{2}b^{2}+r^{2}a^{2}-2prac+p^{2}c^{2}+r^{2}b^{2}-2qrbc+q^{2}c^{2}=(qa-pb)^{2}+(ra-pc)^{2}+(rb-qc)^{2}$

したがって、

${\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}={\frac {(qa-pb)^{2}+(ra-pc)^{2}+(rb-qc)^{2}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$

${\vec {a_{1}}}=(a,b,c)=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})$ を各成分戻して、

${\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}={\frac {(q(x_{1}-x_{0})-p(y_{1}-y_{0}))^{2}+(r(x_{1}-x_{0})-p(z_{1}-z_{0}))^{2}+(r(y_{1}-y_{0})-q(z_{1}-z_{0}))^{2}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$

$|{\vec {a_{2}}}|^{2}={\vec {a_{1}}}{\vec {a_{2}}}$であったので、順序を整理し、

$|{\vec {a_{2}}}|=d={\frac {\sqrt {\{(y_{0}-y_{1})r-(z_{0}-z_{1})q\}^{2}+\{(z_{0}-z_{1})p-(x_{0}-x_{1})r\}^{2}+\{(x_{0}-x_{1})q-(y_{0}-y_{1})p\}^{2}}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}$

この結果は公式となっているが、暗記する必要はないし、高校レベルで出題される場合は、計算しやすい数値が当てられるものであり、解法に従い解けば極端に苦労することはない。ただ、この分子の形は偶然ではなく、ある幾何的意味を持っていることには注目しておいてほしい。

点と直線がなす平面

点$P(x_{0},y_{0},z_{0})$と直線$l:{\frac {x-x_{1}}{p}}={\frac {y-y_{1}}{q}}={\frac {z-z_{1}}{r}}$ を含む平面の方程式（ただし、点$P$は直線$l$上にはない）の方程式を求める（→本文）。

点$P$と直線$l$が、同一平面上にあるならば、この平面は点$P$ をとおる平面$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$として表される。

この時、平面の法線ベクトル${\vec {n}}$は$(a,b,c)$であり、直線$l$の方向ベクトル${\vec {d}}=(p,q,r)$に直交する。

また、直線$l$上の点の一つに$Q(x_{1},y_{1},z_{1})$があり、${\overrightarrow {PQ}}=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})$とすると、点$P$と直線$l$を含む平面は、方向ベクトル${\vec {d}}$とベクトル${\overrightarrow {PQ}}$によって張られるので、法線ベクトル${\vec {n}}$はこれらの両方に直交する。したがって、

${\vec {n}}\cdot {\vec {d}}=ap+bq+cr=0$

${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {PQ}}=a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})+c(z_{1}-z_{0})=0$

これを満たす$a,b,c$は、例えば、

$a=r(y_{1}-y_{0})-q(z_{1}-z_{0})$

$b=p(z_{1}-z_{0})-r(x_{1}-x_{0})$

$c=q(x_{1}-x_{0})-p(y_{1}-y_{0})$

である。したがって、点$P$をとおり、$l$を含む平面は、

$(r(y_{1}-y_{0})-q(z_{1}-z_{0}))(x-x_{0})+(p(z_{1}-z_{0})-r(x_{1}-x_{0}))(y-y_{0})+(q(x_{1}-x_{0})-p(y_{1}-y_{0}))(z-z_{0})=0$として表される。

　

なお、この平面は$l$上の点$Q$ をとおる平面でもあるから、同様の計算をして、

$(r(y_{1}-y_{0})-q(z_{1}-z_{0}))(x-x_{1})+(p(z_{1}-z_{0})-r(x_{1}-x_{0}))(y-y_{1})+(q(x_{1}-x_{0})-p(y_{1}-y_{0}))(z-z_{1})=0$としても表される。

点と平面との距離

距離の公式の証明

点$P$ $(p,q,r)$と平面$\Pi :ax+by+cz+d=0$（ただし$abc\neq 0$とする）の距離$l$を求める。

ある点と平面の距離は、点からの垂線の交点$H:(x_{h},y_{h},z_{h})$までの距離であることを利用する（上記「幾何的な証明」の拡張）。

点$P(p,q,r)$をとおり、平面$\Pi$に直交する直線は、平面の法線ベクトルが$(a,b,c)$であるので、以下の式で表される。

$l:{\frac {x-p}{a}}={\frac {y-q}{b}}={\frac {z-r}{c}}$

媒介変数$t$ を用いると、直線上の点は$(at+p,bt+q,ct+r)$となる。これを、平面$\Pi$の式に代入すると、

$ax+by+cz+d=a(at+p)+b(bt+q)+c(ct+r)+d=(a^{2}+b^{2}+c^{2})t+ap+bq+cr+d=0$

したがって、

$t=-{\frac {ap+bq+cr+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

これを、$(at+p,bt+q,ct+r)$に代入し点$H$ の座標を求める。以下、各成分について計算。

$x_{h}=at+p=-{\frac {a(ap+bq+cr+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+p={\frac {-a^{2}p-abq-acr-ad+a^{2}p+b^{2}p+c^{2}p}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {-abq-acr-ad+b^{2}p+c^{2}p}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$y_{h}=bt+q=-{\frac {b(ap+bq+cr+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+q={\frac {-abp-b^{2}q-bcr-bd+a^{2}q+b^{2}q+c^{2}q}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {-abp-bcr-bd+a^{2}q+c^{2}q}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$z_{h}=ct+r=-{\frac {c(ap+bq+cr+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+r={\frac {-acp-bcq-c^{2}r-cd+a^{2}r+b^{2}r+c^{2}r}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {-acp-bcq-cd+a^{2}r+b^{2}r}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

${\overline {PH}}={\sqrt {(x_{h}-p)^{2}+(y_{h}-q)^{2}+(z_{h}-r)^{2}}}$ であるので、

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x_{h}-p)=-abq-acr-ad+b^{2}p+c^{2}p-a^{2}p-b^{2}p-c^{2}p=-a^{2}p-abq-acr-ad=-a(ap+bq+cr+d)$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(y_{h}-q)=-abp-bcr-bd+a^{2}q+c^{2}q-a^{2}q-b^{2}q-c^{2}q=-b^{2}q-abp-bcr-bd=-b(ap+bq+cr+d)$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(z_{h}-r)=-acp-bcq-cd+a^{2}r+b^{2}r-a^{2}r-b^{2}r-c^{2}r=-c^{2}r-acp-bcq-cd=-c(ap+bq+cr+d)$

したがって、

$(x_{h}-p)^{2}+(y_{h}-q)^{2}+(z_{h}-r)^{2}={\frac {a^{2}(ap+bq+cr+d)^{2}+b^{2}(ap+bq+cr+d)^{2}+c^{2}(ap+bq+cr+d)^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}$

$={\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ap+bq+cr+d)^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}={\frac {(ap+bq+cr+d)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

${\overline {PH}}={\sqrt {(x_{h}-p)^{2}+(y_{h}-q)^{2}+(z_{h}-r)^{2}}}={\frac {|ap+bq+cr+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

平行な2直線が属する平面

$l_{1}:{\frac {x-x_{1}}{p}}={\frac {y-y_{1}}{q}}={\frac {z-z_{1}}{r}}$

$l_{2}:{\frac {x-x_{2}}{p}}={\frac {y-y_{2}}{q}}={\frac {z-z_{2}}{r}}$

なお、各々の直線上の点を$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$とする。この時、${\vec {d}}=(p,q,r),\quad {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$

が、同一平面上にあるならば、この平面は$l_{1}$上の点$P_{1}$ をとおる平面$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0$として表される。

この時、平面の法線ベクトル${\vec {n}}$は$(a,b,c)$であり、$l_{1},l_{2}$の方向ベクトル${\vec {d}}=(p,q,r)$ 及び${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$と直交する。したがって、

${\vec {n}}\cdot {\vec {d}}=ap+bq+cr=0$

${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})+c(z_{2}-z_{1})=0$

これを満たす$a,b,c$は、例えば、

$a=r(y_{2}-y_{1})-q(z_{2}-z_{1})$

$b=p(z_{2}-z_{1})-r(x_{2}-x_{1})$

$c=q(x_{2}-x_{1})-p(y_{2}-y_{1})$

である。したがって、$l_{1},l_{2}$が属する平面は、

$(r(y_{2}-y_{1})-q(z_{2}-z_{1}))(x-x_{1})+(p(z_{2}-z_{1})-r(x_{2}-x_{1}))(y-y_{1})+(q(x_{2}-x_{1})-p(y_{2}-y_{1}))(z-z_{1})=0$として表される。

　

なお、この平面は$l_{2}$上の点$P_{2}$ をとおる平面でもあるから、同様の計算をして、

$(r(y_{1}-y_{2})-q(z_{1}-z_{2}))(x-x_{2})+(p(z_{1}-z_{2})-r(x_{1}-x_{2}))(y-y_{2})+(q(x_{1}-x_{2})-p(y_{1}-y_{2}))(z-z_{2})=0$としても表される。これは前の式と符号が異なるだけで、同一の平面を表している。

交点を持つ2直線が属する平面

交点を持つ2直線（2直線は一点で交わるので、その交点を通る平面は一意に定まる。）

$l_{1}:{\frac {x-x_{1}}{p_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{q_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{r_{1}}}$, $l_{2}:{\frac {x-x_{2}}{p}}={\frac {y-y_{2}}{q}}={\frac {z-z_{2}}{r}}$

について、それがともに属する平面を$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$、すなわち、法線ベクトルが${\vec {n}}=(a,b,c)$であり、点$(x_{0},y_{0},z_{0})$をとおる平面について考察する。

$l_{1},l_{2}$の方向ベクトルは各々${\vec {v_{1}}}=(p_{1},q_{1},r_{1}),{\vec {v_{2}}}=(p_{2},q_{2},r_{2})$ であり、

この時、${\vec {v_{1}}}=(p_{1},q_{1},r_{1}),{\vec {v_{2}}}=(p_{2},q_{2},r_{2})$ は${\vec {n}}=(a,b,c)$と直交している。したがって、

${\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {n}}=ap_{1}+bq_{1}+cr_{1}=0$

${\vec {v_{2}}}\cdot {\vec {n}}=ap_{2}+bq_{2}+cr_{2}=0$

これを満たす$a,b,c$は、例えば、

$a=q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2}$

$b=r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2}$

$c=p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}$

である。したがって、この平面の法線ベクトル${\vec {n}}=(a,b,c)=(q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2},r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2},p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})$であり（なお、この場合必要なのはベクトルの方向のみ）、また、点$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ は$l_{1}$上の点であり、この平面は$l_{1}$を含むので当然この平面上にある。したがって、この平面は、

$(q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2})(x-x_{1})+(r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2})(y-y_{1})+(p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})(z-z_{1})=0$

と表すことができる。なお、この平面は、$l_{2}$上の点である点$P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ も含んでいるので、

$(q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2})(x-x_{2})+(r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2})(y-y_{2})+(p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})(z-z_{2})=0$

と表すこともできる。

2直線がねじれの位置にある場合

以下、$l_{1},l_{2}$については、以下の式であるとする。

$l_{1}:{\frac {x-x_{1}}{p_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{q_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{r_{1}}}$, $l_{2}:{\frac {x-x_{2}}{p_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{q_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{r_{2}}}$

なお、各々の直線上の点$P,Q$を媒介変数$s,t$を用い表すと、$P(sp_{1}+x_{1},sq_{1}+y_{1},sr_{1}+z_{1}),Q(tp_{2}+x_{2},tq_{2}+y_{2},tr_{2}+z_{2})$

「2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線の箇所である」ことの証明

$l_{1}$上の任意の点$P_{r}$から、$l_{2}$に下ろした垂線の足を$Q_{h}(x_{h2},y_{h2},z_{h2})$とし、それ以外の$l_{2}$上の点を$Q_{r}$とするとき、上記、平面上の点と直線との距離における幾何学的証明と同様に考えると、全ての$Q_{r}$について、${\overline {P_{r}Q_{h}}}<{\overline {P_{r}Q_{r}}}$。

同様に、$l_{2}$上の点である$Q_{h}$から、$l_{1}$に下ろした垂線の足を$P_{h}(x_{h1},y_{h1},z_{h1})$とし、それ以外の$l_{1}$上の点を$P_{r}$とするとき、全ての$P_{r}$について${\overline {P_{h}Q_{h}}}<{\overline {P_{r}Q_{h}}}$であるので、2直線が最も接近する箇所は、各々の直線と直交する共通垂線${\overline {P_{h}Q_{h}}}$となる。

共通垂線の長さ

1. 各係数等に具体的な数値が与えられた場合の解法の指針
   1. 共通垂線の属する直線の式$l_{h}$を、$P_{h}$をとおり、方向ベクトル${\vec {n}}=(a,b,c)$である以下のものとする。

      $l_{h}:{\frac {x-x_{h1}}{a}}={\frac {y-y_{h1}}{b}}={\frac {z-z_{h1}}{c}}$

   2. 各々の直線に直交する直線の方程式を求める。

      $l_{1},l_{2}$の方向ベクトルは各々${\vec {v_{1}}}=(p_{1},q_{1},r_{1}),{\vec {v_{2}}}=(p_{2},q_{2},r_{2})$ であり、これは、${\vec {n}}$と直交しているので、

      ${\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {n}}=ap_{1}+bq_{1}+cr_{1}=0$

      ${\vec {v_{2}}}\cdot {\vec {n}}=ap_{2}+bq_{2}+cr_{2}=0$

      これを満たす$a,b,c$は、例えば、

      $a=q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2}$

      $b=r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2}$

      $c=p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}$

      である。したがって、$l_{h}$は、

      ${\frac {x-x_{h1}}{q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2}}}={\frac {y-y_{h1}}{r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2}}}={\frac {z-z_{h1}}{p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}}}$

      となる。

   3. 以降、$P_{h}$は、$l_{1}$及び$l_{h}$上にあるので、$P_{h}$の座標を求め、①上記「三次元空間上の点と直線との距離」を用いる、または、②$Q_{h}$が$l_{2}$及び$l_{h}$上にあることを利用し$Q_{h}$の座標を求め、共通垂線${\overline {P_{h}Q_{h}}}$の長さを求める。

      以上は、各係数等に具体的数値が入っている場合は、比較的単純な計算で処理できるが、一般式を文字式で表すのは煩雑になるため割愛する。

2. ベクトルを利用した解法

   $P_{0}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,Q_{0}(x_{2},y_{2},z_{2})$として、${\overrightarrow {P_{0}Q_{0}}}={\vec {v_{0}}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$を考える。なお、直行するベクトルに上記${\overrightarrow {P_{h}Q_{h}}}(={\vec {n}})$を用い、また、${\vec {v_{0}}},{\vec {n}}$のなす角を$\theta$とする。

   ここで、$d=|{\vec {v_{0}}}|\cos \theta$。$\cos \theta ={\frac {|{\vec {v_{0}}}\cdot {\vec {n}}|}{|{\vec {v_{0}}}|\,|{\vec {n}}|}}={\frac {|{\vec {v_{0}}}\cdot {\vec {n}}|}{|{\vec {v_{0}}}|\,|{\vec {n}}|}}$であるから、代入して$d=|{\vec {v_{0}}}|\left({\frac {|{\vec {v_{0}}}\cdot {\vec {n}}|}{|{\vec {v_{0}}}|\,|{\vec {n}}|}}\right)={\frac {|{\vec {v_{0}}}\cdot {\vec {n}}|}{|{\vec {n}}|}}$

   したがって、

   $d={\frac {|(x_{2}-x_{1})(q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2})+(y_{2}-y_{1})(r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2})+(z_{2}-z_{1})(p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})|}{\sqrt {(q_{2}r_{1}-q_{1}r_{2})^{2}+(r_{2}p_{1}-r_{1}p_{2})^{2}+(p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})^{2}}}}$