制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/行列のトレースと余因子

行列 $A$ の次数が大きくなると，固有方程式

$p(s)=\det(sI-A)$

を計算することも煩わしい作業である．$B_{i}$ が既知のときは，次の定理から $p(s)$ の係数が求まる．

定理 5.5 $\quad$

$p(s)=\det(sI-A)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}$

$B(s)=\mathrm {cof\ } (sI-A)=B_{0}s^{n-1}+B_{1}s^{n-2}+B_{2}s^{n-3}+\cdots +B_{n-2}s+B_{n-1}$

とすれば，

${\begin{cases}a_{1}={\frac {1}{n-1}}\mathrm {tr\ } B_{1}\\a_{2}={\frac {1}{n-2}}\mathrm {tr\ } B_{2}\\a_{3}={\frac {1}{n-3}}\mathrm {tr\ } B_{3}\\\vdots \\a_{n-1}=\mathrm {tr\ } B_{n-1}\end{cases}}$

なお，

$a_{n}=(-1)^{n}\det A$

である．ここに $\mathrm {tr\ }$ はトレースを表し，行列の対角要素の和である．

証明

${\frac {dp(s)}{ds}}=\mathrm {tr\ } B(s)$

が成立する．事実，

${\frac {d(\det(sI-A))}{ds}}=\sum _{i=1}^{n}\det\{(sI-A)\$の第 $i\$行の成分の微分$\}$

$=\sum _{i=1}^{n}\left[\mathrm {cof\ } (sI-A)\right]_{i}$

だからである．ここに $\mathrm {cof\ }$ は余因子 (cofactor) を表す．

参照1

参照2

$\diamondsuit$