多元数/四元数

メインページ > 数学 > 代数学 > 多元数 > 多元数/四元数

複素数は$x^{2}=-1$の正の解$i$を用いて$a+bi$と表されるものであった。

ここでは、複素数を拡張した数の一つとして、四元数を扱う。

四元数

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$を満たす$i,j,k$と$a,b,c,d\in \mathbb {R}$を用いて$a+bi+cj+dk$と表される数を四元数という。

四元数全体の集合は、四元数の理論を初めて構築した数学者ハミルトンの名前をとって$\mathbb {H}$と表す。

複素数が複素数平面という概念を用いて二次元座標における点と解釈できるのと同様に、三次元空間の点に対して同様となる三元数を導入しようとしたことが四元数の生まれる切欠となった。三元数では2つの虚数単位$i,j$の積$ij$が三元数範囲では表せないなど、乗法と除法についての理論構築が進まなかった。しかし、ハミルトンが$ij=k$を満たす更なる虚数単位の導入を思いついたことで、四元数を用いた三次元空間の力学理論が誕生した。このとき、興奮のあまり上述の基本公式をロイヤル運河のブルーム橋に刻んだ逸話は有名である。なお、ベクトルの公式は多くが$\mathbb {H}$空間における公式を改良したものである。

四元数では行列と同様に積が非可換であることが知られている。四元数において、積の順番を入れ替えると正負が逆転する。四元数を更に拡張した八元数や十六元数でも、同様に何かしらの性質を失っている。

四元数の3つの虚数単位について、以下が成り立つ。

• $ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j$（循環律）

複素数と同様、上記の計算則にさえ気を付ければ通常の文字式として計算が可能である。

例えば、二つの四元数$a+bi+cj+dk,e+fi+gj+hk$の積（ハミルトン積）は、分配法則と虚数単位の計算則から以下のようになる。

$ae-bf-cg-dh+(af+be+ch-dg)i+(ag-bh+ce+bf)j+(ah+bg-cf+de)k$

四元数$q=a+bi+cj+dk$において、$a$を実部（スカラー部）、$bi+cj+dk$を虚部（ベクトル部）という。また、$a=0$且つ$bcd\neq 0$である$q$を純虚四元数という。

なお、四元数の理論において、ベクトルは専ら純虚四元数を指す。

四元数をスカラー部とベクトル部に分解して

$q=(r,{\vec {v}})\quad (q\in \mathbb {H} ,\,r\in \mathbb {R} ,\,{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3})$

と表すと、加法、乗法の定義式は

$(r_{1},{\vec {v}}_{1})+(r_{2},{\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\;{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})$

$(r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\;r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})$

となる。ここで "⋅" はベクトルの内積、"×" は外積である。

特に純虚四元数に対しては

$(0,{\vec {v}}_{1})(0,{\vec {v}}_{2})=(-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\;{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})$

が成り立つ。

複素数$z=a+bi$について、共軛複素数は${\bar {z}}=a-bi$と定義された。

同様に、四元数$q$に対して共軛四元数$q^{*}$を次のように定義する。

$q^{*}=(r,-{\vec {v}})=a-(bi+cj+dk)=a-bi-cj-dk$

なお、*は随伴行列（各成分の複素共軛をとって転置した行列）を表すのにも用いられている。

これを用いて、$\mathbb {H}$上における絶対値（ノルム）及び距離は以下のように定義される。

$|q|={\sqrt {qq^{*}}}$

$d=|q_{1}-q_{2}|$

複素数と同様に、四元数の実部と虚部は共軛四元数を用いて表せる。

$r={\frac {q+q^{*}}{2}},{\vec {v}}={\frac {q-q^{*}}{2}}$

なお、複素数とは異なり、共軛四元数は元の四元数と虚数単位のみの乗法・加法を用いて完全に書き表すことができる。

$q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)$

補足

電気系を専門とする人は通常の虚数単位$i$を交流電流の記号との混同を避けて$j$で書き表すが、これを四元数の第二虚数単位と考えてよいのだろうか？

結論から言うと、その考え方は許されない。

一般に、$\mathbb {R}$に四元数の第二虚数単位$j$を基底として加えた集合（仮に$\mathbb {A}$とする）は$\mathbb {C}$とは異なる集合である。

$\mathbb {A}$は四則演算について閉じているが、四則演算のうち積と商は$\mathbb {A}$の範囲のみで定義することができない（$\mathbb {A}$の乗除算は$\mathbb {H}$の乗除算の範囲を制限したものである）。四則演算の定義が同じ集合内で完結しないので$\mathbb {A}$は体ではなく、体である$\mathbb {C}$とは一致しない（$\mathbb {C}$と代数的に同型な$\mathbb {H}$の部分空間とは言える）。

同様に、$\mathbb {R}$に第三虚数単位$k$を基底として加えた集合も$\mathbb {C}$とは一致しない。

四元数の応用

複素数を用いて二次元平面上の回転を表せるのと同様、四元数を用いて四次元空間の回転を表すことができる。実際には、次元を一つ下げた三次元空間（我々の住む空間の次元と同じ）における回転を扱うことが多い。二次元の場合と同様、行列を用いた記述も可能であるが、三次行列の演算は二次行列のそれに比べて遙かに煩雑である。そのため、機械制御等では行列ではなく計算量が少なめなこちらを用いることも多い。

(ここに回転四元数の理論)