「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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{{定義|0.1.1}}
n個の'''K'''の元を縦に並べたものを'''n次列ベクトル'''とよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の縦に並べた'''K'''の元を書く。
:<math>\boldmathbf a=
\begin{pmatrix}
a_1\\
 
また、n個の'''K'''の元を横に並べたものを'''n次行ベクトル'''とよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の横に並べた'''K'''の元を書く。
:<math>\boldmathbf a= \begin{pmatrix} a_1 && a_2 && \cdots && a_n \end{pmatrix}</math>
 
a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>をベクトル'''a'''の'''成分'''(element)と呼び、特にa<sub>k</sub>を'''a'''の第k成分と呼ぶ。
 
{{定義|0.1.3}}
'''K'''を成分とするn次列ベクトル全体の集合を<math>\boldmathbf K^n</math>で表す。
: <math>\boldmathbf K^n = \left\{ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{pmatrix} \Bigg| a_1, a_2, \cdots, a_n \in \boldmathbf K \right\}</math>
{{定義終わり}}
<math>\boldmathbf K = \R</math>のとき<math>\R^n</math>は実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、<math>\boldmathbf K = \CComplex</math>のとき<math>\CComplex^n</math>は複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。
 
=== 相等関係 ===
{{定義|0.1.4}}
2つのn次列ベクトル<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n</math>が「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、
:<math>\boldmathbf a , \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n , \boldmathbf a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}, \boldmathbf b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math> のとき
:<math>\boldmathbf a = \boldmathbf b \iff \forall i \in \{1,2,\cdots,n\}, a_i = b_i</math>
なお、2つのn次行ベクトルについても同様に定義される。
{{定義終わり}}
\vdots\\
b_n\\
\end{pmatrix} \in \boldmathbf K^n
</math>
について、ベクトルの和 <math>\boldmathbf a + \boldmathbf b</math>を次のように定義する。
{{定義|0.1.5}}
<math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=
{{定義終わり}}
 
ベクトルの和に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b, \boldmathbf c \in \boldmathbf K^n</math>であり、<math>\boldmathbf o \in \boldmathbf K^n</math>は零ベクトルである。
{{定理|0.1.6}}
* 交換則: '''a'''+'''b'''='''b'''+'''a'''
\vdots\\
a_n\\
\end{pmatrix} \in \boldmathbf K^n
</math>
と定数<math>\lambda \in \boldmathbf K</math>について、ベクトルの定数倍 <math>\lambda \boldmathbf a</math>を次のように定義する。
{{定義|0.1.7}}
<math>\lambda\mathbf{a}=
{{定義終わり}}
 
ベクトルの定数倍に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n, \lambda, \mu \in \boldmathbf K</math>である。
{{定理|0.1.8}}
*<math>\lambda(\boldmathbf a+\boldmathbf b)=\lambda \boldmathbf a + \lambda \boldmathbf b</math>
*<math>(\lambda +\mu ) \boldmathbf a = \lambda \boldmathbf a + \mu \boldmathbf a</math>
*<math>(\lambda\mu)\boldmathbf a= \lambda(\mu\boldmathbf a)</math>
{{定理終わり}}
 
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