「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用」の版間の差分

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<div id="ex:28">
<strong>例2728</strong><math>\quad</math>
次の微分方程式を解け.解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ.
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dt}{dx} +6x = f(t);\quad x(0) = x_0, x'(0) = v_0</math>}}
<math>e^t\int_0^t e^{-\tau}d\tau = e^t [ -e^{-\tau}]_0^t = e^t [ -e^{-\tau}]_t^0 = e^t(1 - e^{-t}) = e^t - 1</math><br />
これは①と一致する.<br /><br />
3. ②から「積分範囲の上端が変数である定積分の微分」の定理を適用して <math>f'(t)</math> を求める.<br />
<math>f'(t) = \frac{d}{dt} \left \{ e^t\int_0^t e^{-\tau}d\tau \right \}</math><br />
<math>= \left( \frac{d}{dt}e^t \right) \int_0^t e^{-\tau}d\tau + e^t\cdot \frac{d}{dt} \left( \int_0^t e^{-\tau}d\tau \right)</math><br />
 
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:027028:end-->
 
==§4==
<strong>補題</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}f(t) * e^{\alpha t}g(t) = e^{\alpha t} \{ f(t) * g(t) \}</math>|tag=(2.17a)|label=eq:2.17a}}
 
 
<strong>証明</strong>
 
[[w:%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF|合成積]]の定義より
{{制御と振動の数学/equation|左辺<math> = \int_0^t e^{\alpha(t - \tau)}f(t-\tau)\cdot e^{\alpha \tau}g(\tau)d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>= \int_0^t e^{\alpha t}\cdot e^{-\alpha\tau}e^{\alpha\tau}\cdot f(t-\tau)g(\tau)d\tau</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=e^{\alpha t}\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = </math>右辺}}
を得る.
 
<math>\diamondsuit</math>
 
この補題[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.17a|(2.17a)]]を適用すれば,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{e^{\alpha t} * e^{\alpha t} * \cdots * e^{\alpha t}}_{n\text{ terms}} = e^{\alpha t} (\underbrace{1*1*\cdots*1}_{n\text{ terms}}) = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t}</math>}}
を得る.ところで,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\mathcal{L}[\underbrace{e^{\alpha t} * e^{\alpha t} * \cdots * e^{\alpha t}}_{n\text{ terms}} = (\mathcal{L}[e^{\alpha t}])^n = \frac{1}{(s-\alpha)^n}</math>}}
よって次の公式を得る.
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\alpha t} \sqsupset \frac{1}{(s-\alpha)^n}</math>|tag=(2.17b)|label=eq:2.17b}}
この公式を[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.8|前の結果]]
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \sqsupset \frac{1}{s^n}</math>|tag=(2.8)|}}
と比較すると,<math>t</math> 領域で <math>e^{\alpha t}</math> を掛けることと,<math>s</math> 領域で <math>\alpha</math> だけ移動することとが対応している.
このことは,もっと一般的に成立する事実である.
 
<strong>第一移動定理</strong>
 
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) \sqsupset F(s) \Longrightarrow f(t)e^{\alpha t} \sqsupset F(s-\alpha)</math>}}
 
<strong>証明</strong>
 
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^{\infty} f(t)e^{\alpha t}\cdot e^{-st}dt = \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s-\alpha)t}dt = F(s-\alpha)</math>|tag=(2.17c)|label=eq:2.17c}}
 
<math>\diamondsuit</math>
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