「高等学校数学I/2次関数」の版間の差分

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検定教科書では、平方完成は2次関数のグラフの単元の中で習う。
(「上に凸」「下に凸」の概念は、検定教科書では平方完成よりも先に習う。よく調べないうちに編集を除去しないでほしい。迷惑です。)
(検定教科書では、平方完成は2次関数のグラフの単元の中で習う。)
そのために、2次関数の定義において'''<math>a\neq 0</math>でなければならない'''というルールを設けたのである。
 
{{-}}
== 2次関数のグラフ ==
=== <math>y=ax^2</math>のグラフ ===
まずもっとも簡単な<math>y=ax^2</math>のグラフは<math>a>0</math> のとき図1のようになる。(図では<math>a=1</math>の場合を表記)。また、<math>a<0</math> のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
 
=== 上に凸、下に凸 ===
まず、右図に、二次関数をグラフにした例を示す。
:[[Image:Qfunction.png|thumb|250px|図1 (y=x<sup>2</sup>のグラフ)]]
:[[File:-x^2+2x+3png.png|thumb|400px|-x<sup>2</sup>+2x+3のグラフ]]
このように、二次関数は、まっすぐではない。
 
<math>a>0</math> のとき二次関数 <math>y</math> は '''下に凸''' (したにとつ)といい、<math>a<0</math> のとき '''上に凸''' (うえにとつ)という。また、二次関数のグラフを'''放物線'''という。
そして、y=x<sup>2</sup>の場合、 途中で値がもっとも小さくなる場所(x=0でy=0)がある。
 
凸(とつ)とは、「でっぱってる」という感じの意味である。
いっぽう、-x<sup>2</sup>+2x+3はx=1で最大値4を取る。
 
 
=== 一般の<math>y=ax^2次関数 + q </math>のグラフ ===
このように、一般に二次関数では、最小値または最大値をもつ。
 
=== <math>y=a(x-p)^2 </math>のグラフ ===
二次関数が最小値をもつ場合、この関数のグラフの形状から、その性質のことを「下に凸」(したにとつ)という。
 
=== <math>y=a(x-p)^2 +q</math>のグラフ ===
凸(とつ)とは、「でっぱってる」という感じの意味である。
 
本節では2次関数=== <math>y=ax^2 + bx +c </math> のグラフの求め方を述べる。 ===
y=x<sup>2</sup>は下に凸である
 
 
いっぽう、-x<sup>2</sup>+2x+3は上に凸である。
 
=== 一般の2次関数のグラフ ===
また、傾きについては、グラフがまっすぐでない事からも分かるように傾きの値はxの場所によって変わる。
 
{{-}}
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
y=a(x-p)^2+q
</math>
に変換する。ここで、
:<math>
p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{b^2-4ac}{4a}
</math>
 
この標準形のグラフは<math>y=ax^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>p</math>, <math>y</math> 軸方向に <math>q</math> 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''二次関数のグラフ'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは軸が<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線である。
|}
 
 
== 一般形と標準形 ==
:#<math>y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}</math>
 
== 2次関数のグラフ ==
 
本節では2次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフの求め方を述べる。
 
=== <math>y=ax^2</math>のグラフ ===
 
まずもっとも簡単な<math>y=ax^2</math>のグラフは<math>a>0</math> のとき図1のようになる。(図では<math>a=1</math>の場合を表記)。また、<math>a<0</math> のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
 
:[[Image:Qfunction.png|thumb|250px|図1 (y=x<sup>2</sup>のグラフ)]]
 
後述するように一般の<math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは<math>y=ax^2</math>のグラフを上下左右にずらしたものになる。
<math>a>0</math> のとき二次関数 <math>y</math> は'''下に凸'''といい、<math>a<0</math> のとき'''上に凸'''という。また、二次関数のグラフを'''放物線'''という。
 
=== 一般の2次関数のグラフ ===
 
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
y=a(x-p)^2+q
</math>
に変換する。ここで、
:<math>
p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{b^2-4ac}{4a}
</math>
 
この標準形のグラフは<math>y=ax^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>p</math>, <math>y</math> 軸方向に <math>q</math> 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''二次関数のグラフ'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは軸が<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線である。
|}
 
==== 例題 ====
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