「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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== ベクトル ==
== =ベクトルの演算 定義===
{{定義|0.1.1}}
n個の'''K'''の元を縦に並べたものを'''n次列ベクトル'''とよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の縦に並べた'''K'''の元を書く。
{{定義終わり}}
{{定義|0.1.2}}
成分がすべて実数のベクトルを特に'''実ベクトル'''と言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを特に'''複素ベクトル'''と言う。また、成分が全て0のベクトルを'''零ベクトル'''といい、'''o'''と書く
{{定義終わり}}
 
{{定義終わり}}
 
===加法===
== ベクトルの演算 ==
===和===
2つのn次列ベクトル
<math>\mathbf{a}=
{{定義終わり}}
 
===スカラー乗法===
ベクトルの和に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbf K^n</math>であり、<math>\mathbf o \in \mathbf K^n</math>は零ベクトルである。
{{定理|0.1.6}}
* 交換則: '''a'''+'''b'''='''b'''+'''a'''
* 結合則: ('''a'''+'''b''')+'''c'''='''a'''+('''b'''+'''c''')
* 零元の存在: '''a'''+'''o'''='''a'''
{{定理終わり}}
 
証明は、簡単なので読者に任せたい。
===スカラー倍===
またn次列ベクトル
<math>\mathbf{a}=
\end{pmatrix} \in \mathbf K^n
</math>
と定数<math>\lambda \in \mathbf K</math>について、ベクトルのスカラー定数倍 <math>\lambda \mathbf a</math>を次のように定義する。
{{定義|0.1.7}}
<math>\lambda\mathbf{a}=
{{定義終わり}}
 
===零ベクトル===
ベクトルのスカラー倍に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\mathbf a, \mathbf b \in \mathbf K^n, \lambda, \mu \in \mathbf K</math>である。
ベクトルの成分がすべて0であるベクトルを零ベクトルといい、<math> \mathbf{0}</math>で表す。<br>
{{定理|0.1.8}}
'''定義'''
*<math>\lambda(\mathbf a+\mathbf b)=\lambda \mathbf a + \lambda \mathbf b</math>
*<math>( \lambdamathbf{0} = +\mubegin{pmatrix} )0 \mathbf\ a0 =\\ \lambdavdots \mathbf a\ +0 \mu \mathbf a\end{pmatrix}</math>
 
*<math>(\lambda\mu)\mathbf a= \lambda(\mu\mathbf a)</math>
===逆ベクトル===
{{定理終わり}}
ベクトルのすべての成分にマイナス1をかけたベクトルを逆ベクトルといい、<math>- \mathbf{a}</math>で表す。<br>
'''定義'''
<math> - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n \\ \end{pmatrix}</math>
 
==ベクトルの演算の性質==
 
ベクトルの演算では以下の性質が成り立つ。
#<math> \mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}</math> (交換法則)
#<math> ( \mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + ( \mathbf{b} + \mathbf{c})</math> (結合法則)
#<math> \mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}</math>
#<math> \mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0} </math>
*#<math>\lambda(\mathbf a+\mathbf b)=\lambda \mathbf a + \lambda \mathbf b</math>
#<math>(\lambda +\mu ) \mathbf a = \lambda \mathbf a + \mu \mathbf a</math>
*#<math>(\lambda\mu)\mathbf a= \lambda(\mu\mathbf a)</math>
#<math>1 \cdot \mathbf{a} = \mathbf a</math>
#<math>0 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{0}</math>
ただし、<math> \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math>をベクトル、<math>\lambda, \mu</math>をスカラーとする。
 
== 助変数表示 ==
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