「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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線形変換最後まで
(線形変換最後まで)
<math>
\begin{cases}
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y})\\
T(c\mathbf{x})=c(T\mathbf{x})
\end{cases}</math>
'''定理(6.1)'''
 
 R<sup>2</sup>においてTが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''
 
 
a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z\\
\end{pmatrix}</math>が、
 
<math>B=
\begin{pmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>と
<math>AB=
\begin{pmatrix}
c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>にたいしては、
 
<math>c_{k,j}=\sum_{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}</math>(i,j=1,2,3)
 
が定義されている。次のような性質がある。
 
(AB)'''x'''=A(B'''x'''), (AB)C=A(BC)
 
 
A('''x'''+'''y''')=A'''x'''+B'''y''', A(c'''x''')=(Ac)'''x'''     (6.3)
 
R<sup>3</sup>における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。
 
T('''x'''+'''y''')=T('''x''')+T('''y''')
T(c'''x''')=c(T'''x''')
 
前部とまったく同様に次の定理が導ける
 
'''定理(6.2)'''
 
 R<sup>3</sup>においてTが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''
 
Aによって引き起こされる変換をT<sub>A</sub>と書くことがある。すべてのベクトルを'''o'''に線形変換する行列をOと書く
 
'''例'''
 
 y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は
 
<math>\begin{pmatrix}
\cos \alpha & 0 & -\sin \alpha\\
0 & 1 & 0\\
\sin \alpha & 0 & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}</math>
 
'''演習'''
 
1.定理(6.2)を証明せよ
 
2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か
 
 (1)<math>\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math> 
(2)<math>\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math> 
(3)<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
 
3.
 
 <math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\\
\end{pmatrix}</math>, <math>a^2+b^2+c~2=1</math>
 
 この時、'''a'''への射影子に対応する行列を求めよ。
 
4.
 
 '''b'''と'''c'''の張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトル'''x''')から垂線を下ろす。その足をP'(位置ベクトル'''x'''')とするとき、'''x''''を'''x'''の正射影、T'''x''': '''x'''→'''x''''を'''b''''''c'''の張る平面への射影子と言う。さて、今'''a''','''b''','''c'''が直交しているとしよう。'''x'''の'''a'''への射影子をS,'''x'''の'''b''''''c'''の張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ
 
 (1)T<sup>2</sup>=T (2)TS=ST=O (3)任意の'''x'''にたいし、T'''x'''+S'''x'''='''x'''
 
==ベクトル積==
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