「線型代数学/線型方程式」の版間の差分

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==線型方程式 ==
==線型方程式 ==


線型方程式(1次方程式)とは、<math> a_{i,j},b_i \in \C (1 \leq i \leq m,1 \leq j \leq n) </math> を用いて
線型方程式は、


<!-- 悪い書き方の見本だ...。 -->
<!-- 悪い書き方の見本だ...。 --> <!--←修正してみた。-->
<math>
<math>
a _{11}x _1 + \cdots a _{1n}x _n = b _1
a _{1,1}x _1 + \cdots a _{1,n}x _n = b _1
</math>
</math>


17 行 17 行


<math>
<math>
a _{n1}x _1 + \cdots a _{nn}x _n = b _n
a _{m,1}x _1 + \cdots a _{m,n}x _n = b _m
</math>
</math>


で表わされる方程式である。(<math>a _i</math>, <math>b _i</math>は、定数。)
で表わされる方程式である。
これらの一般解を求める。
(note: 線型方程式は1次方程式とも呼ばれる。)


上の連立方程式は、
<math>
A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} </math>


とおけば
上の連立方程式は、行列記法では

<math>
<math>
Ax = b
Ax = b
</math>
</math>
と書ける。仮に、Aが逆行列を持つなら、
行列を用いて書ける。
仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、
この式の一般解は、
この式の一般解は、
<math>
<math>
36 行 38 行
</math>
</math>
となる。
となる。

よって、1次方程式を解くことは、行列の逆行列を
しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ(正しくは線形結合)として表わされることもある。
求めることに等しい。

この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。・・・予定である。

2009年5月31日 (日) 09:12時点における版

線型代数学 > 線型方程式



線型方程式

線型方程式(1次方程式)とは、 を用いて

 

で表わされる方程式である。

上の連立方程式は、

とおけば と行列を用いて書ける。

仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、 この式の一般解は、 となる。

しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ(正しくは線形結合)として表わされることもある。

この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。・・・予定である。