線型代数学/線型方程式

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線型方程式

線型方程式（１次方程式）とは、$a_{i,j},b_{i}\in \mathbb {C} (1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)$ を用いて

　 $a_{1,1}x_{1}+\cdots a_{1,n}x_{n}=b_{1}$

$\cdots$

$a_{m,1}x_{1}+\cdots a_{m,n}x_{n}=b_{m}$

で表わされる方程式である。

上の連立方程式は、 $A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}}$

とおけば $\ Ax=b$ と行列を用いて書ける。

仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、 この式の一般解は、 $\ x=A^{-1}b$ となる。

しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ（正しくは線形結合）として表わされることもある。

この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。・・・予定である。

用語解説

この章で出てきそうな用語の意味を下にまとめておく。

$\mathbb {C}$ って何？、って思った人は先にここを見ておこう。

$\mathbb {R}$ …　実数全体。

$\mathbb {C}$　…　複素数全体。

$\mathbb {Q}$　…　有理数全体。

${\mathbf {K}}$ …　任意の体。体というのは、四則演算に対して閉じている集合。上の３つはその例。

$\ M(m,n;{\mathbf {K}})$ …　体Kの元を成分として取る、ｍ×ｎ行列全体。特に正方行列のときは$M(n;{\mathbf {K}})$ と書く。