「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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ベクトルの演算、幾何ベクトルは高等学校数学Bなどに譲る
(ベクトルの演算、幾何ベクトルは高等学校数学Bなどに譲る)
:<math>\bold a = \bold b \iff \forall i \in \{1,2,\cdots,n\}, a_i = b_i</math>
により定義される。なお、2つのn次行ベクトルについても同様に定義される。
 
== ベクトルの演算 ==
2つのn次列ベクトル
<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
\vdots\\
a_n\\
\end{pmatrix}
,\
\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n\\
\end{pmatrix} \in \bold K^n
</math>
について、ベクトルの和 <math>\bold a + \bold b</math>を次のように定義する。
:<math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\
a_2+b_2\\
\vdots\\
a_n+b_n\\
\end{pmatrix}</math>
 
ベクトルの和に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\bold a, \bold b, \bold c \in \bold K^n</math>であり、<math>\bold o \in \bold K^n</math>は零ベクトルである。
* 交換則: '''a'''+'''b'''='''b'''+'''a'''
* 結合則: ('''a'''+'''b''')+'''c'''='''a'''+('''b'''+'''c''')
* 零元の存在: '''a'''+'''o'''='''a'''
 
証明は、簡単なので読者に任せたい。
 
またn次列ベクトル
<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
\vdots\\
a_n\\
\end{pmatrix} \in \bold K^n
</math>
と定数<math>\lambda \in \bold K</math>について、ベクトルの定数倍 <math>\lambda \bold a</math>を次のように定義する。
:<math>\lambda\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
\lambda a_1\\
\lambda a_2\\
\vdots\\
\lambda a_n\\
\end{pmatrix}</math>
 
ベクトルの定数倍に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\bold a, \bold b \in \bold K^n, \lambda, \mu \in \bold K</math>である。
*<math>\lambda(\bold a+\bold b)=\lambda \bold a + \lambda \bold b</math>
*<math>(\lambda +\mu ) \bold a = \lambda \bold a + \mu \bold a</math>
*<math>(\lambda\mu)\bold a= \lambda(\mu\bold a)</math>
 
== ノルム ==
\end{pmatrix}</math>
 
== ベクトルの演算内積 ==
一般に2つのベクトルの間には、和、差、内積が定義される。
それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。
 
以下では、
 
:<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
\dots\\
a_n\\
\end{pmatrix}
,\
\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\dots\\
b_n\\
\end{pmatrix}
</math>
 
とする。
 
=== 和・差 ===
:<math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\
a_2+b_2\\
\dots\\
a_n+b_n\\
\end{pmatrix}</math>
を'''a'''と'''b'''の和という。
[[Image:Vector addition.png|thumb|right|ベクトルの和]]
:<math>\mathbf{a}-\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
a_1-b_1\\
a_2-b_2\\
\dots\\
a_n-b_n\\
\end{pmatrix}</math>
を'''a'''と'''b'''の差という。平面、空間ベクトルの場合は図のようになる。
和差に関して、次の性質が成り立つ。
 
*'''a'''+'''b'''='''b'''+'''a'''
 
*('''a'''+'''b''')+'''c'''='''a'''+('''b'''+'''c''')
 
*'''a'''+'''o'''='''a'''
 
証明は、簡単なので読者に任せたい。
 
===定数倍===
[[Image:Scalar multiplication of vectors.png|thumb|right|ベクトルの定数倍]]
<math>k\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
ka_1\\
ka_2\\
\dots\\
ka_n\\
\end{pmatrix}</math>
を、ベクトル'''a'''のk倍と言う。<br>
次の諸性質の証明は、読者の演習問題としよう。<br>
 
*c('''a'''+'''b''')=c'''a'''+c'''b'''
 
*(c+d)'''a'''=c'''a'''+d'''a'''
 
*(cd)'''a'''=c(d'''a''')
 
'''演習'''
 
空間ベクトルに関して、次のことを示せ。
 
1.二点PQの位置ベクトルを、'''a''','''b'''とすると、PQの中点の位置ベクトルは
:<math>{\mathbf{a}+\mathbf{b}}\over 2</math>
2.三角形の頂点の位置ベクトルをそれぞれ'''a''','''b''','''c'''とすると、その三角形の重心の位置ベクトルは、
:<math>{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}\over 3</math>
 
=== 内積 ===
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math>
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