線型代数学/計量ベクトル空間

ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}$

と定義される。これをaのノルムと言う。

例

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\5\\6\\2\\4\\\end{pmatrix}}$

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

1. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$
2. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\4\\0\\8\\6\\9\\3\\\end{pmatrix}}$
3. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$
4. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\4\\\end{pmatrix}}$
5. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\{\sqrt {a}}\\3a\\{\sqrt {3}}a\\\end{pmatrix}}$

内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

をaとbの内積という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

• (a,a)=||a||²
• aとbが直交する⇔(a,b)=0
• c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
• (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
• (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
• (a,b)=(b,a)
• ||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
• |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

演習

空間ベクトル

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 6$であり、かつ

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}1\\1\\4\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 4$であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。