線型代数学/計量ベクトル空間

このページでは、２、３次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。

２、３次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。

数ベクトルのノルム・内積

ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}$

と定義される。これをaのノルムと言う。

例

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\5\\6\\2\\4\\\end{pmatrix}}$

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

1. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$
2. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\4\\0\\8\\6\\9\\3\\\end{pmatrix}}$
3. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$
4. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\4\\\end{pmatrix}}$
5. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\{\sqrt {a}}\\3a\\{\sqrt {3}}a\\\end{pmatrix}}$

内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

をaとbの内積という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

• (a,a)=||a||²
• aとbが直交する⇔(a,b)=0
• c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
• (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
• (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
• (a,b)=(b,a)
• ||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
• |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

演習

空間ベクトル

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 6$であり、かつ

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}1\\1\\4\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 4$であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

$\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上の線型空間でのノルム・内積

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。

定義

$\ V$　を　$\mathbb {R}$　または　$\mathbb {C}$上の線型空間とする。（以下、${\mathbf {K}}$ は一般の体ではなく、実数体 $\mathbb {R}$または複素数体 $\mathbb {C}$を指すことにする ）

${\mathbf {x}},{\mathbf {y}}\in \ V$ に対して、${\mathbf {K}}$ の元をかえすような演算$({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})$が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、$({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})$を内積という。

（Ⅰ）$({\mathbf {x}},{\mathbf {y}}_{1}+{\mathbf {y}}_{2})=({\mathbf {x}},{\mathbf {y}}_{1})+({\mathbf {x}},{\mathbf {y}}_{2})$

$({\mathbf {x}}_{1}+{\mathbf {x}}_{2},{\mathbf {y}})=({\mathbf {x}}_{1},{\mathbf {y}})+({\mathbf {x}}_{2},{\mathbf {y}})$

（Ⅱ）$(c{\mathbf {x}},{\mathbf {y}})=c({\mathbf {x}},{\mathbf {y}}),({\mathbf {x}},c{\mathbf {y}})={\bar {c}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})$

（${\bar {c}}$は$\ c$ の複素共役）

（Ⅲ）$({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\overline {({\mathbf {y}},{\mathbf {x}})}}$

（Ⅳ）$({\mathbf {x}},{\mathbf {x}})\geq 0$

$({\mathbf {x}},{\mathbf {x}})=0$ が成り立つのは、${\mathbf {x}}={\mathbf {0}}$ のときに限る。

また、

$||{\mathbf {x}}||={\sqrt {({\mathbf {x}},{\mathbf {x}})}}$

で定義される量をxのノルムという。

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。

例

１．$\ V=\mathbb {C} ^{n},{\mathbf {x}},{\mathbf {y}}\in \mathbb {C} ^{n}$ のとき、

$({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}$

とすれば、これは内積になっている。

２．$\ V=\ M(m,n;\mathbb {R} ),\ A,\ B\in \ M(m,n;\mathbb {R} )$　のとき、

$(\ A,\ B)=\ Tr(^{t}A\ B)$

とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）

３．$\ V=${$0\leq x\leq 1$上連続な関数} ,$\ f(x),\ g(x)$ は$0\leq x\leq 1$上連続な関数のとき、

$(\ f(x),\ g(x))=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx$

とすれば、これは内積になっている。

三角不等式・シュワルツの不等式

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

定理　$\forall {\mathbf {x}},\forall {\mathbf {y}}\in \ V$ に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１）$|({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})|\leq ||{\mathbf {x}}||\cdot ||{\mathbf {y}}||$（シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、${\mathbf {x}}=\alpha {\mathbf {y}}$と書ける場合のみ。

（２）$||{\mathbf {x}}+{\mathbf {y}}||\leq ||{\mathbf {x}}||+||{\mathbf {y}}||$

等号が成り立つのは、実数$\beta \geq 0$ を用いて、${\mathbf {y}}=\beta {\mathbf {x}}$ と書ける場合のみ。

（証明）（１）$\ a,b\in {\mathbf {K}}$　とすると

$0\leq ||a{\mathbf {x}}+b{\mathbf {y}}||^{2}=(a{\mathbf {x}}+b{\mathbf {y}},a{\mathbf {x}}+b{\mathbf {y}})=|a|^{2}||{\mathbf {x}}||^{2}+a{\bar {b}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})+{\bar {a}}b({\mathbf {y}},{\mathbf {x}})+|b|^{2}||{\mathbf {y}}||^{2}$

ここで、$\ a=||{\mathbf {y}}||^{2},\ b=-({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})$ とおけば、

${\begin{aligned}0&\leq ||{\mathbf {y}}||^{4}||{\mathbf {x}}||^{2}-||{\mathbf {y}}||^{2}{\overline {({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})-||{\mathbf {y}}||^{2}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}}){\overline {({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})}}+|({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})|^{2}||{\mathbf {y}}||^{2}\\&=||{\mathbf {y}}||^{2}(||{\mathbf {x}}||^{2}||{\mathbf {y}}||^{2}-|({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})|^{2})\\\end{aligned}}$

両辺を　$||{\mathbf {y}}||^{2}$ で割り、正の平方根をとれば、

$|({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})|\leq ||{\mathbf {x}}||\cdot ||{\mathbf {y}}||$　　となる。

等号が成り立つのは、$0=||a{\mathbf {x}}+b{\mathbf {y}}||^{2}$ すなわち、${\mathbf {0}}=a{\mathbf {x}}+b{\mathbf {y}}$ となるときだから、${\mathbf {x}}=\alpha {\mathbf {y}}$　と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

（２）${\begin{aligned}||{\mathbf {x}}+{\mathbf {y}}||^{2}=({\mathbf {x}}+{\mathbf {y}},{\mathbf {x}}+{\mathbf {y}})&=||{\mathbf {x}}||^{2}+({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})+({\mathbf {y}},{\mathbf {x}})+||{\mathbf {y}}||^{2}\\&\leq ||{\mathbf {x}}||^{2}+2|({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})|+||{\mathbf {y}}||^{2}\\&\leq ||{\mathbf {x}}||^{2}+2||{\mathbf {x}}||||{\mathbf {y}}||+||{\mathbf {y}}||^{2}\\&=(||{\mathbf {x}}+{\mathbf {y}}||)^{2}\\\end{aligned}}$

したがって、正の平方根をとれば　$||{\mathbf {x}}+{\mathbf {y}}||\leq ||{\mathbf {x}}||+||{\mathbf {y}}||$　となる。

1つ目の等号は $({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})$ が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　${\mathbf {x}}=\alpha {\mathbf {y}}$　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数$\beta \geq 0$ を用いて、${\mathbf {y}}=\beta {\mathbf {x}}$ と書けるときのみ等号が成立する□