線型代数学続論/複素行列

複素行列

複素数を成分に持つ行列を複素行列という。

複素行列でも、実行列の多くの理論はそのまま成り立つ。然し、そのままでは成り立たない場合もある。そのような場合は今後の内容で補足していく。

複素共軛行列

ある行列$𝐀$の全ての成分の複素共軛(きょうやく)を取った行列$\overline{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}\overline{a_{11}}& \cdots & \overline{a_{1m}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \overline{a_{n1}}& \cdots & \overline{a_{mn}}\end{array}\right)$ を、複素共軛行列（complex conjugate matrix）という。

以下のような性質がある。

• $\overline{\overline{𝐀}}=𝐀$
• $\overline{𝐀+𝐁}=\overline{𝐀}+\overline{𝐁}$
• $\overline{\lambda 𝐀}=\overline{\lambda }\overline{𝐀}$
• $\overline{𝐀𝐂}=\overline{𝐂}\overline{𝐀}$

一番最後の式で、行列の順番が逆になっていることに注意（これは逆行列・転置と同じ構造である）。

演習

以下を計算せよ

(1)$\left(\begin{array}{cc}1& i\\ -i& 1\end{array}\right)\overline{\left(\begin{array}{cc}1-i& 0\\ 0& 1+i\end{array}\right)}$

(2)$\overline{{}^t\left(\begin{array}{c}2\\ 1+i\\ 3i\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}2\\ 1+i\\ -3i\end{array}\right)$

(2)で転置行列の複素共軛が登場したが、ある行列の複素共軛転置行列を随伴行列という。詳しくは次章で扱う。