線型代数学続論/複素行列

複素行列

複素数を成分に持つ行列を複素行列という。

複素行列でも、実行列の多くの理論はそのまま成り立つ。然し、そのままでは成り立たない場合もある。そのような場合は今後の内容で補足していく。

複素共軛行列

ある行列$\mathbf {\mathbf {A} }$の全ての成分の複素共軛を取った行列${\bar {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}{\overline {a_{11}}}&\cdots &{\overline {a_{1m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {a_{n1}}}&\cdots &{\overline {a_{mn}}}\end{pmatrix}}$ を、複素共軛行列（complex conjugate matrix）という。

以下のような性質がある。

• ${\overline {\bar {\mathbf {A} }}}=\mathbf {A}$
• ${\overline {\mathbf {A} +\mathbf {B} }}={\bar {\mathbf {A} }}+{\bar {\mathbf {B} }}$
• ${\overline {\lambda \mathbf {A} }}={\bar {\lambda }}~{\bar {\mathbf {A} }}$
• ${\overline {\mathbf {A} \mathbf {C} }}={\bar {\mathbf {C} }}~{\bar {\mathbf {A} }}$

一番最後の式で、行列の順番が逆になっていることに注意（これは逆行列・転置と同じ構造である）。

演習

以下を計算せよ

(1)${\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\\\end{pmatrix}}{\overline {\begin{pmatrix}1-i&0\\0&1+i\\\end{pmatrix}}}$

(2)${\overline {{}^{t}\!{\begin{pmatrix}2\\1+i\\3i\end{pmatrix}}}}{\begin{pmatrix}2\\1+i\\-3i\\\end{pmatrix}}$

(2)で転置行列の複素共軛が登場したが、ある行列の複素共軛転置行列を随伴行列という。詳しくは次章で扱う。