ここでは、ベクトル解析について解説する。物理数学I ベクトル解析 及び解析学基礎/多変数関数の微積分 も参照。
ここでは、実数のみで考える。
高等学校数学C/ベクトル 、線型代数学/ベクトル 、解析学基礎/ベクトル などを参照。本項では、矢印を付した表記（
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
高等学校数学C/数学的な表現の工夫 及び線形代数学 の各ページを参照。本項では大文字の太字立体（
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
関数
f
(
x
)
=
∑
i
f
i
(
x
)
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=\sum _{i}f_{i}(x){\boldsymbol {e}}_{i}}
ベクトル（値）関数 （vector-valued function, vector function）という。
ただし、各
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}
f
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)}
f
i
(
x
)
{\displaystyle f_{i}(x)}
ベクトルの演算が成分ごとの演算結果を並べたベクトルで定義されたように、ベクトル関数の演算は（結果となる値が存在するならば）各成分の演算結果を並べたベクトルに等しい。これはベクトルの線型性による。
例えば、
f
(
x
)
=
(
sin
x
cos
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)={\begin{pmatrix}\sin x\\\cos x\end{pmatrix}}}
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
(
lim
x
→
0
cos
x
lim
x
→
0
sin
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\boldsymbol {f}}(x)={\begin{pmatrix}\lim _{x\to 0}\cos x\\\lim _{x\to 0}\sin x\end{pmatrix}}}
∵
{\displaystyle \because }
=
(
1
0
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
=
e
x
{\displaystyle ={\boldsymbol {e}}_{x}}
と求まる。
このとき、
e
x
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{x}}
f
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)}
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
極限ベクトル という。
また、ベクトル関数の導関数
f
′
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}'(x)}
d
d
x
f
(
x
)
=
d
d
x
(
∑
i
f
i
(
x
)
e
i
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\boldsymbol {f}}(x)={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i}f_{i}(x)\mathbf {e} _{i}\right)}
=
∑
i
(
d
d
x
f
i
(
x
)
e
i
)
{\displaystyle =\sum _{i}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\mathbf {e} _{i}\right)}
∵
{\displaystyle \because }
=
(
f
1
′
(
x
)
f
2
′
(
x
)
⋮
f
i
′
(
x
)
⋮
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}f'_{1}(x)\\f'_{2}(x)\\\vdots \\f'_{i}(x)\\\vdots \end{pmatrix}}}
である。
この結果は、ベクトル関数に於ける導関数の正式な定義
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {{\boldsymbol {f}}(x+h)-{\boldsymbol {f}}(x)}{h}}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
例えば、平面上の運動に於ける加速度・速度・変位の関係は
x
(
t
)
=
(
f
(
t
)
g
(
t
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}}
a
(
t
)
=
d
d
t
v
(
t
)
=
d
2
d
t
2
x
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {v}}(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {x}}(t)}
例えば、円の媒介変数表示
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}}
r
(
θ
)
=
r
(
cos
θ
sin
θ
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(\theta )=r{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}
θ
=
ω
t
{\displaystyle \theta =\omega t}
定数倍の導関数：
{
k
a
(
x
)
}
′
=
k
a
′
(
x
)
{\displaystyle \{k{\boldsymbol {a}}(x)\}'=k{\boldsymbol {a}}'(x)}
和・差の導関数：
{
a
(
x
)
±
b
(
x
)
}
′
=
a
′
(
x
)
±
b
′
(
x
)
{\displaystyle \{{\boldsymbol {a}}(x)\pm {\boldsymbol {b}}(x)\}'={\boldsymbol {a}}'(x)\pm {\boldsymbol {b}}'(x)}
積の導関数：
{
f
(
x
)
a
(
x
)
}
′
=
f
′
(
x
)
a
(
x
)
+
f
(
x
)
a
′
(
x
)
{\displaystyle \{f(x){\boldsymbol {a}}(x)\}'=f'(x){\boldsymbol {a}}(x)+f(x){\boldsymbol {a}}'(x)}
商の導関数：
{
a
(
x
)
f
(
x
)
}
′
=
f
(
x
)
a
′
(
x
)
−
f
′
(
x
)
a
(
x
)
{
f
(
x
)
}
2
(
f
(
x
)
≠
0
)
{\displaystyle \left\{{\frac {{\boldsymbol {a}}(x)}{f(x)}}\right\}'={\frac {f(x){\boldsymbol {a}}'(x)-f'(x){\boldsymbol {a}}(x)}{\{f(x)\}^{2}}}\quad (f(x)\neq 0)}
内積の導関数：
{
a
(
x
)
⋅
b
(
x
)
}
′
=
a
′
(
x
)
⋅
b
(
x
)
+
a
(
x
)
⋅
b
′
(
x
)
{\displaystyle \{{\boldsymbol {a}}(x)\cdot {\boldsymbol {b}}(x)\}'={\boldsymbol {a}}'(x)\cdot {\boldsymbol {b}}(x)+{\boldsymbol {a}}(x)\cdot {\boldsymbol {b}}'(x)}
外積の導関数：
{
a
(
x
)
×
b
(
x
)
}
′
=
a
′
(
x
)
×
b
(
x
)
+
a
(
x
)
×
b
′
(
x
)
{\displaystyle \{{\boldsymbol {a}}(x)\times {\boldsymbol {b}}(x)\}'={\boldsymbol {a}}'(x)\times {\boldsymbol {b}}(x)+{\boldsymbol {a}}(x)\times {\boldsymbol {b}}'(x)}
スカラー三重積の導関数：
[
a
(
x
)
⋅
{
b
(
x
)
×
c
(
x
)
}
]
′
=
a
′
(
x
)
⋅
{
b
(
x
)
×
c
(
x
)
}
+
a
(
x
)
⋅
{
b
′
(
x
)
×
c
(
x
)
}
+
a
(
x
)
⋅
{
b
(
x
)
×
c
′
(
x
)
}
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}]'={\boldsymbol {a}}'(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}'(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}'(x)\}}
ベクトル三重積の導関数：
[
a
(
x
)
×
{
b
(
x
)
×
c
(
x
)
}
]
′
=
a
′
(
x
)
×
{
b
(
x
)
×
c
(
x
)
}
+
a
(
x
)
×
{
b
′
(
x
)
×
c
(
x
)
}
+
a
(
x
)
×
{
b
(
x
)
×
c
′
(
x
)
}
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}]'={\boldsymbol {a}}'(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}'(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}'(x)\}}
ノルム （大きさ、長さ）は、通常のベクトルと同様に
‖
f
(
x
)
‖
=
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
=
∑
i
{
f
i
(
x
)
}
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|={\sqrt {{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)}}={\sqrt {\sum _{i}\{f_{i}(x)\}^{2}}}}
で与えられる。
つまり、ノルムは元のベクトル関数と同一変数のスカラー関数である。
ここで、このスカラー関数が定数関数である条件に就て見てみよう。
‖
f
(
x
)
‖
=
c
(
c
∈
R
>
0
)
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|=c\quad (c\in \mathbb {R} _{>0})}
‖
f
(
x
)
‖
2
=
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
=
c
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|^{2}={\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)=c^{2}}
両辺微分すると内積の微分より
{
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
}
′
=
f
′
(
x
)
⋅
f
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
2
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \{{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)\}'={\boldsymbol {f}}'(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=2{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=0}
∴
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \therefore {\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=0}
逆に、
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
0
⟺
2
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
f
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
{
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
}
′
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=0\iff 2{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)={\boldsymbol {f}}'(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)+{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=\{{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)\}'=0}
∫
{
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
}
′
d
x
=
∫
0
d
x
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)\}'dx=\int 0dx}
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
=
C
1
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}(x)=C_{1}}
C
1
≥
0
{\displaystyle C_{1}\geq 0}
‖
f
(
x
)
‖
2
=
C
1
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|^{2}=C_{1}}
‖
f
(
x
)
‖
=
C
1
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|={\sqrt {C_{1}}}=\mathrm {const} .}
よって、以下が成り立つ。
直交条件の定理
‖
f
(
x
)
‖
=
c
o
n
s
t
.
⟺
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(x)\|=\mathrm {const} .\iff {\boldsymbol {f}}(x)\cdot {\boldsymbol {f}}'(x)=0}
これは、物理的には「位置ベクトルと速度ベクトルが直交する」ことを表す。
所与の条件は
f
(
x
)
=
f
(
x
)
c
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=f(x){\boldsymbol {c}}}
両辺微分して
f
′
(
x
)
=
{
f
(
x
)
c
}
=
f
′
(
x
)
c
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}'(x)=\{f(x){\boldsymbol {c}}\}=f'(x){\boldsymbol {c}}}
ここで元のベクトル関数との外積をとると
f
(
x
)
×
f
′
(
x
)
=
{
f
(
x
)
c
}
×
{
f
′
(
x
)
c
}
=
f
(
x
)
f
′
(
x
)
(
c
×
c
)
=
f
(
x
)
f
′
(
x
)
0
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)\times {\boldsymbol {f}}'(x)=\{f(x){\boldsymbol {c}}\}\times \{f'(x){\boldsymbol {c}}\}=f(x)f'(x)({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {c}})=f(x)f'(x){\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}}
逆に、
f
(
x
)
×
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)\times {\boldsymbol {f}}'(x)={\boldsymbol {0}}}
f
′
(
x
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}'(x)=g(x){\boldsymbol {f}}(x)}
各成分ごとに微分方程式を解くと、
これは変数分離型微分方程式なので第i成分は
d
f
i
d
x
=
g
(
x
)
f
i
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}=g(x)f_{i}(x)}
∫
d
f
i
f
i
(
x
)
=
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int {\frac {df_{i}}{f_{i}(x)}}=\int g(x)dx}
G
′
(
x
)
=
g
(
x
)
,
C
i
{\displaystyle G'(x)=g(x),C_{i}}
log
|
f
i
(
x
)
|
=
G
(
x
)
+
C
i
{\displaystyle \log |f_{i}(x)|=G(x)+C_{i}}
C
i
=
±
e
C
i
{\displaystyle C_{i}=\pm e^{C_{i}}}
f
i
(
x
)
=
C
i
e
G
(
x
)
{\displaystyle f_{i}(x)=C_{i}e^{G(x)}}
よって
f
(
x
)
=
∑
i
f
i
(
x
)
e
i
=
∑
i
C
i
e
G
(
x
)
e
i
=
e
G
(
x
)
∑
i
C
i
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=\sum _{i}f_{i}(x){\boldsymbol {e}}_{i}=\sum _{i}C_{i}e^{G(x)}{\boldsymbol {e}}_{i}=e^{G(x)}\sum _{i}C_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
ここで
f
(
x
)
=
e
G
(
x
)
,
c
=
∑
i
C
i
e
i
{\displaystyle f(x)=e^{G(x)},{\boldsymbol {c}}=\sum _{i}C_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
f
(
x
)
=
f
(
x
)
c
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=f(x){\boldsymbol {c}}}
よって、以下が成り立つ。
平行条件の定理
f
(
x
)
=
f
(
x
)
c
⟺
f
(
x
)
×
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=f(x){\boldsymbol {c}}\iff {\boldsymbol {f}}(x)\times {\boldsymbol {f}}'(x)=0}
f
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)}
f
i
(
x
)
{\displaystyle f_{i}(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(x)}
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\boldsymbol {f}}(x)dx={\boldsymbol {F}}(x)+{\boldsymbol {C}}}
C
{\displaystyle {\boldsymbol {C}}}
と表される。
また、定積分は
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{b}^{a}{\boldsymbol {f}}(x)dx={\boldsymbol {F}}(b)-{\boldsymbol {F}}(a)}
と表される。
定数倍の原始関数：
∫
{
k
a
(
x
)
}
d
x
=
k
∫
a
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \{k{\boldsymbol {a}}(x)\}dx=k\int \mathbf {a} (x)dx}
和・差の原始関数：
∫
{
a
(
x
)
±
b
(
x
)
}
d
x
=
∫
a
(
x
)
d
x
±
∫
b
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {a}}(x)\pm {\boldsymbol {b}}(x)\}dx=\int {\boldsymbol {a}}(x)dx\pm \int {\boldsymbol {b}}(x)dx}
内積の原始関数
∫
{
k
⋅
a
(
x
)
}
d
x
=
k
⋅
(
∫
a
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {a}}(x)\}dx={\boldsymbol {k}}\cdot \left(\int {\boldsymbol {a}}(x)dx\right)}
外積の原始関数
∫
{
k
×
a
(
x
)
}
d
x
=
k
×
(
∫
a
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {a}}(x)\}dx={\boldsymbol {k}}\times \left(\int {\boldsymbol {a}}(x)dx\right)}
スカラー倍の部分積分：
∫
f
(
x
)
a
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
a
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
a
(
x
)
d
x
⟺
∫
f
′
(
x
)
a
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
a
(
x
)
−
∫
f
(
x
)
a
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x){\boldsymbol {a}}'(x)dx=f(x){\boldsymbol {a}}(x)-\int f'(x){\boldsymbol {a}}(x)dx\iff \int f'(x){\boldsymbol {a}}(x)dx=f(x){\boldsymbol {a}}(x)-\int f(x){\boldsymbol {a}}'(x)dx}
内積の部分積分：
∫
{
a
(
x
)
⋅
b
′
(
x
)
}
d
x
=
a
(
x
)
⋅
b
(
x
)
−
∫
{
a
′
(
x
)
⋅
b
(
x
)
}
d
x
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {a}}(x)\cdot {\boldsymbol {b}}'(x)\}dx={\boldsymbol {a}}(x)\cdot {\boldsymbol {b}}(x)-\int \{{\boldsymbol {a}}'(x)\cdot {\boldsymbol {b}}(x)\}dx}
外積の部分積分：
∫
{
a
(
x
)
×
b
′
(
x
)
}
d
x
=
a
(
x
)
×
b
(
x
)
−
∫
{
a
′
(
x
)
×
b
(
x
)
}
d
x
{\displaystyle \int \{{\boldsymbol {a}}(x)\times {\boldsymbol {b}}'(x)\}dx={\boldsymbol {a}}(x)\times {\boldsymbol {b}}(x)-\int \{{\boldsymbol {a}}'(x)\times {\boldsymbol {b}}(x)\}dx}
1階線型常微分方程式
f
′
(
x
)
+
a
(
x
)
f
(
x
)
=
b
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}'(x)+a(x){\boldsymbol {f}}(x)={\boldsymbol {b}}(x)}
第
i
{\displaystyle i}
f
i
′
(
x
)
+
a
(
x
)
f
i
(
x
)
=
b
i
(
x
)
{\displaystyle f'_{i}(x)+a(x)f_{i}(x)=b_{i}(x)}
両辺に積分因子
μ
(
x
)
=
exp
(
∫
a
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int a(x)dx\right)}
f
i
(
x
)
=
1
μ
(
x
)
{
∫
μ
(
x
)
b
i
(
x
)
d
x
+
C
i
}
{\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{\mu (x)}}\left\{\int \mu (x)b_{i}(x)dx+C_{i}\right\}}
よって一般解は
f
(
x
)
=
∑
i
1
μ
(
x
)
{
∫
μ
(
x
)
b
i
(
x
)
d
x
+
C
i
}
e
i
=
1
μ
(
x
)
{
∫
μ
(
x
)
b
(
x
)
d
x
+
C
}
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x)=\sum _{i}{\frac {1}{\mu (x)}}\left\{\int \mu (x)b_{i}(x)dx+C_{i}\right\}{\boldsymbol {e}}_{i}={\frac {1}{\mu (x)}}\left\{\int \mu (x){\boldsymbol {b}}(x)dx+{\boldsymbol {C}}\right\}}
f
:
R
→
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
例えば、ベクトル変数
x
=
∑
i
g
i
(
x
)
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{i}g_{i}(x){\boldsymbol {e}}_{i}}
h
(
x
)
=
∑
i
(
h
∘
g
)
i
(
x
)
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})=\sum _{i}(h\circ g)_{i}(x){\boldsymbol {e}}_{i}}
と定義されるような関数
h
:
R
m
→
R
m
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}
i
:
R
m
→
R
n
(
m
,
n
≠
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {i}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\,(m,n\neq 1)}
R
n
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(n\neq 1)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
スカラー関数 （scalar function）と呼ばれる。
この節で述べた理論は、多くは一般のベクトル関数に対しても成り立つ。但し、後述のヤコビ行列のような拡張を必要とするものもある。
写像
X
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {X} :\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
ベクトル場 （vector field）という。
実際には
m
=
n
{\displaystyle m=n}
写像
F
:
R
n
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
スカラー場 （scalar field）という。
それぞれ上で述べたベクトル関数・スカラー関数に対応する。
ベクトル場の例としては、電場・磁場・重力場などが挙げられる。
スカラー場の例としては、電位分布・温度分布・圧力分布などが挙げられる。
例えば、ベクトル場
f
=
(
x
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}=(x,0,0)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
x
=
k
{\displaystyle x=k}
(
k
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}k\\0\\0\end{pmatrix}}}
ベクトル場の第i成分に第k成分の変数が入っていたとしても、それはiと異なる独立変数なのでスカラーと見做してよい。
ベクトル場の和は、ベクトル場の成分の和をとったものに等しい。
例えば、
f
=
(
1
,
2
,
3
)
,
g
=
(
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}=(1,2,3),{\boldsymbol {g}}=(3,4,5)}
f
+
g
=
(
1
,
2
,
3
)
+
(
3
,
4
,
5
)
=
(
1
+
3
,
2
+
4
,
3
+
5
)
=
(
4
,
6
,
8
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol {g}}=(1,2,3)+(3,4,5)=(1+3,2+4,3+5)=(4,6,8)}
D
{\displaystyle {\boldsymbol {D}}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
d
r
d
t
=
X
(
r
)
(
r
∈
D
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {X} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \in {\boldsymbol {D}})}
z
=
r
(
t
)
{\displaystyle z=\mathbf {r} (t)}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
流線 （streamline）という。流線の接線ベクトルは元のベクトル場そのものになるので、方程式
d
x
1
X
x
1
=
d
x
2
X
x
2
=
⋯
=
d
x
n
X
x
n
{\displaystyle {\frac {dx_{1}}{X_{x_{1}}}}={\frac {dx_{2}}{X_{x_{2}}}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{X_{x_{n}}}}}
流線方程式 という。
例えば、
f
(
x
,
y
)
=
(
y
,
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x,y)=(y,x)}
定義から
d
x
d
t
=
y
,
d
y
d
t
=
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y,{\frac {dy}{dt}}=x}
合成関数の微分公式から
d
y
d
x
=
d
y
d
t
d
x
d
t
=
x
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {x}{y}}}
∫
y
d
y
=
∫
x
d
x
{\displaystyle \int ydy=\int xdx}
1
2
y
2
=
1
2
x
2
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}y^{2}={\frac {1}{2}}x^{2}+C}
よって双曲線
y
2
−
x
2
=
2
C
{\displaystyle y^{2}-x^{2}=2C}
この場合、
t
{\displaystyle t}
d
2
x
d
t
2
=
x
,
d
2
y
d
t
2
=
y
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=y}
{
x
=
C
1
cosh
t
+
C
2
sinh
t
y
=
C
1
sinh
t
+
C
2
cosh
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=C_{1}\cosh t+C_{2}\sinh t\\y=C_{1}\sinh t+C_{2}\cosh t\end{cases}}}
d
x
y
=
d
y
x
{\displaystyle {\frac {dx}{y}}={\frac {dy}{x}}}
d
y
d
x
=
x
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}}
xyz空間上のスカラー場を
F
:
R
3
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
X
:
R
3
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {X} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
X
x
,
X
y
,
X
z
{\displaystyle X_{x},X_{y},X_{z}}
三変数関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
偏導関数 （partial derivative）はそれぞれ以下のように定義される。
∂
f
∂
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
,
y
,
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
h
{\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}}}
∂
f
∂
y
=
lim
h
→
0
f
(
x
,
y
+
h
,
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
h
{\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}}}
∂
f
∂
z
=
lim
h
→
0
f
(
x
,
y
,
z
+
h
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
h
{\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}}}
偏導関数は、着目する変数軸方向の傾きを表す。
偏導関数を求める操作を偏微分 （partial differentiation）という。
つまり、偏微分とは着目する変数以外を定数と見做し、一変数関数とみて微分する 操作である。
∂
{\displaystyle \partial }
着目する変数以外を明示したい場合は、
∂
x
f
(
x
,
y
,
z
)
,
u
x
|
x
,
y
,
z
{\displaystyle \partial _{x}f(x,y,z),\;u_{x}|_{x,y,z}}
偏微分でも、一変数関数の微分と同様の性質が成り立つ（特に線型性と積の微分）。証明は別項に譲る。
例えば、
∂
∂
x
(
x
2
+
2
y
x
+
y
2
)
=
∂
∂
x
x
2
+
y
∂
∂
x
x
+
y
2
∂
∂
x
1
=
2
x
+
y
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}}}(x^{2}+2yx+y^{2})={\frac {\partial }{\partial {x}}}x^{2}+y{\frac {\partial }{\partial {x}}}x+y^{2}{\frac {\partial }{\partial {x}}}1=2x+y}
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
+
∂
f
∂
z
d
z
{\displaystyle df={\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}dx+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}dy+{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}dz}
を
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
（完）全微分 （total derivative）という。
全微分は、関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
∆
x
,
∆
y
,
∆
z
{\displaystyle {\text{∆}}x,{\text{∆}}y,{\text{∆}}z}
∆
f
=
f
(
x
+
∆
x
,
y
+
∆
y
,
z
+
∆
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\text{∆}}f=f(x+{\text{∆}}x,y+{\text{∆}}y,z+{\text{∆}}z)-f(x,y,z)}
∆
x
,
∆
y
,
∆
z
→
0
{\displaystyle {\text{∆}}x,{\text{∆}}y,{\text{∆}}z\to 0}
つまり、
f
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
,
z
+
d
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
+
∂
f
∂
z
d
z
{\displaystyle f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)={\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}dx+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}dy+{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}dz}
が成り立つ。
これを形式的に変形すると、
f
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
,
z
+
d
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∂
f
∂
x
d
y
d
z
+
∂
f
∂
y
d
z
d
x
+
∂
f
∂
z
d
x
d
y
{\displaystyle {\frac {f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)}{dxdydz}}={\frac {\partial {f}}{\partial {x}dydz}}+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}dzdx}}+{\frac {\partial {f}}{\partial {z}dxdy}}}
となるが、右辺を見ると変数名が循環していることが、左辺を見ると一変数関数の導関数の定義式に酷似していることが判る。
f
=
(
f
1
(
x
,
y
,
z
)
f
2
(
x
,
y
,
z
)
f
3
(
x
,
y
,
z
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y,z)\\f_{2}(x,y,z)\\f_{3}(x,y,z)\end{pmatrix}}}
J
f
(
x
,
y
,
z
)
=
∂
(
f
1
,
f
2
,
f
3
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂
f
1
∂
x
∂
f
1
∂
y
∂
f
1
∂
z
∂
f
2
∂
x
∂
f
2
∂
y
∂
f
2
∂
z
∂
f
3
∂
x
∂
f
3
∂
y
∂
f
3
∂
z
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{\boldsymbol {f}}(x,y,z)={\frac {\partial {(f_{1},f_{2},f_{3})}}{\partial {(x,y,z)}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {f_{1}}}{\partial {x}}}&{\frac {\partial {f_{1}}}{\partial {y}}}&{\frac {\partial {f_{1}}}{\partial {z}}}\\{\frac {\partial {f_{2}}}{\partial {x}}}&{\frac {\partial {f_{2}}}{\partial {y}}}&{\frac {\partial {f_{2}}}{\partial {z}}}\\{\frac {\partial {f_{3}}}{\partial {x}}}&{\frac {\partial {f_{3}}}{\partial {y}}}&{\frac {\partial {f_{3}}}{\partial {z}}}\end{pmatrix}}}
を
f
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}}
関数行列 （functional matrix）またはヤコビ行列 （ヤコビアン 、Jacobian matrix）という。
これを用いると、3次元ベクトル関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x,y,z)}
d
f
=
J
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
d
v
{\displaystyle d{\boldsymbol {f}}=\mathbf {J} _{\boldsymbol {f}}(x_{0},y_{0},z_{0})d\mathbf {v} }
ただし、
d
v
=
(
d
x
d
y
d
z
)
{\displaystyle d\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}
方向ベクトル （direction vector）という。
関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
経路
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
∆
l
{\displaystyle {\text{∆}}l}
区分求積法 により以下のように線積分 （line integral）が定義される。
∫
A
B
f
(
x
,
y
,
z
)
d
l
=
lim
∆
l
→
0
∑
A
B
f
(
x
,
y
,
z
)
∆
l
{\displaystyle \int _{A}^{B}f(x,y,z)dl=\lim _{{\text{∆}}l\to 0}\sum _{A}^{B}f(x,y,z){\text{∆}}l}
このとき、経路
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
積分（経）路 （path）や積分領域 （domain of integral）という。
なお、線積分は量子力学 の経路積分（path integral）とは異なる概念なので、混同に注意。
曲線
C
{\displaystyle C}
p
(
t
)
=
(
x
(
t
)
y
(
t
)
z
(
t
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}}}
p
(
a
)
=
O
A
→
,
p
(
b
)
=
O
B
→
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(a)={\vec {\mathrm {OA} }},{\boldsymbol {p}}(b)={\vec {\mathrm {OB} }}}
このとき、閉区間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∆
t
=
b
−
a
n
{\displaystyle {\text{∆}}t={\frac {b-a}{n}}}
n
{\displaystyle n}
[
t
n
−
1
,
t
n
]
{\displaystyle [t_{n-1},t_{n}]}
C
{\displaystyle C}
p
(
t
i
)
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t_{i})}
∆
s
i
{\displaystyle {\text{∆}}s_{i}}
F
(
p
(
t
i
)
)
∆
s
i
{\displaystyle F({\boldsymbol {p}}(t_{i})){\text{∆}}s_{i}}
∆
t
→
0
{\displaystyle {\text{∆}}t\to 0}
∆
s
i
=
‖
p
(
t
i
+
∆
t
)
−
p
(
t
i
)
‖
=
‖
p
(
t
i
+
∆
t
)
−
p
(
t
i
+
0
)
∆
t
−
0
‖
(
∆
t
−
0
)
=
‖
d
p
(
t
i
)
d
t
‖
d
t
{\displaystyle {\text{∆}}s_{i}=\|{\boldsymbol {p}}(t_{i}+{\text{∆}}t)-{\boldsymbol {p}}(t_{i})\|=\left\|{\frac {{\boldsymbol {p}}(t_{i}+{\text{∆}}t)-{\boldsymbol {p}}(t_{i}+0)}{{\text{∆}}t-0}}\right\|({\text{∆}}t-0)=\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t_{i})}{dt}}\right\|dt}
よりこのリーマン和の極限は収束し、
lim
∆
t
→
0
∑
i
=
1
n
F
(
p
(
t
i
)
)
∆
s
i
=
∫
a
b
F
(
p
(
t
)
)
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
{\displaystyle \lim _{{\text{∆}}t\to 0}\sum _{i=1}^{n}F({\boldsymbol {p}}(t_{i})){\text{∆}}s_{i}=\int _{a}^{b}F({\boldsymbol {p}}(t))\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|dt}
媒介変数のとり方に依らない 。
p
(
u
)
=
(
x
(
t
(
u
)
)
y
(
t
(
u
)
)
z
(
t
(
u
)
)
)
,
u
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(u)={\begin{pmatrix}x(t(u))\\y(t(u))\\z(t(u))\end{pmatrix}},u\in [c,d]}
d
t
d
u
>
0
{\displaystyle {\frac {dt}{du}}>0}
∫
c
d
F
(
p
(
t
(
u
)
)
)
‖
d
p
(
u
)
d
u
‖
d
u
=
∫
a
b
F
(
p
(
t
(
u
)
)
)
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
d
u
d
u
=
∫
a
b
F
(
p
(
t
)
)
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
{\displaystyle \int _{c}^{d}F({\boldsymbol {p}}(t(u)))\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(u)}{du}}\right\|du=\int _{a}^{b}F({\boldsymbol {p}}(t(u)))\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|{\frac {dt}{du}}du=\int _{a}^{b}F({\boldsymbol {p}}(t))\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|dt}
となり、一致する。
「恒等的に
d
t
d
u
>
0
{\displaystyle {\frac {dt}{du}}>0}
t
,
u
{\displaystyle t,u}
そこで、
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
{\displaystyle \left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|dt}
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
=
‖
(
d
d
t
x
(
t
)
d
d
t
y
(
t
)
d
d
t
z
(
t
)
)
‖
d
t
{\displaystyle \left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|dt=\left\|{\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}x(t)\\{\frac {d}{dt}}y(t)\\{\frac {d}{dt}}z(t)\end{pmatrix}}\right\|dt}
=
(
d
x
(
t
)
d
t
)
2
+
(
d
y
(
t
)
d
t
)
2
+
(
d
z
(
t
)
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle ={\sqrt {\left({\frac {dx(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz(t)}{dt}}\right)^{2}}}\;dt}
=
(
d
x
(
t
)
)
2
+
(
d
y
(
t
)
)
2
+
(
d
z
(
t
)
)
2
{\displaystyle ={\sqrt {(dx(t))^{2}+(dy(t))^{2}+(dz(t))^{2}}}}
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
{\displaystyle ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}
最後の式を
d
l
{\displaystyle dl}
d
l
=
‖
d
p
‖
{\displaystyle dl=\|d{\boldsymbol {p}}\|}
この
d
l
{\displaystyle dl}
線素 （line element）と呼ぶ。
C
{\displaystyle C}
F
{\displaystyle F}
∫
C
F
d
l
{\displaystyle \int _{C}Fdl}
特に積分経路が閉曲線である（閉経路 ）とき、この線積分を周回積分 （閉路積分 、closed line integral）といい
∮
C
F
d
l
{\displaystyle \oint _{C}Fdl}
と表す。
∫
C
d
l
{\displaystyle \int _{C}dl}
C
{\displaystyle C}
∫
C
d
l
=
∫
a
b
‖
d
p
(
t
)
‖
=
∫
a
b
‖
d
p
(
t
)
d
t
‖
d
t
{\displaystyle \int _{C}dl=\int _{a}^{b}\|d{\boldsymbol {p}}(t)\|=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}\right\|dt}
=
∫
a
b
(
d
x
(
t
)
d
t
)
2
+
(
d
y
(
t
)
d
t
)
2
+
(
d
z
(
t
)
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz(t)}{dt}}\right)^{2}}}dt}
これは平面上の曲線の長さの式 を三次元に拡張した式であることがわかる。
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
s
{\displaystyle s}
弧長パラメータ ）で媒介変数表示することを考える。ただし、積分経路の端点をそれぞれ
s
=
α
,
β
{\displaystyle s=\alpha ,\beta }
すなわち、
q
(
s
)
=
(
x
(
s
)
y
(
s
)
z
(
s
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(s)={\begin{pmatrix}x(s)\\y(s)\\z(s)\end{pmatrix}}}
このとき定義から
s
=
∫
0
s
‖
d
q
d
s
‖
d
s
{\displaystyle s=\int _{0}^{s}\left\|{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{ds}}\right\|ds}
s
{\displaystyle s}
1
=
‖
d
q
d
s
‖
{\displaystyle 1=\left\|{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{ds}}\right\|}
が恒等的に成り立つ。
これは、接線方向のベクトル（接ベクトル ）が単位ベクトルであることを示す。
よって、
∫
C
F
d
l
=
∫
α
β
F
(
q
(
s
)
)
d
s
{\displaystyle \int _{C}Fdl=\int _{\alpha }^{\beta }F({\boldsymbol {q}}(s))ds}
である。
∫
C
X
⋅
d
l
=
∫
a
b
X
(
p
(
t
)
)
⋅
p
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{C}{\boldsymbol {X}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=\int _{a}^{b}{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {p}}(t))\cdot {\boldsymbol {p}}'(t)dt}
ここで
d
l
{\displaystyle d{\boldsymbol {l}}}
線素ベクトル であり、
d
l
=
(
d
x
d
y
d
z
)
=
d
x
e
x
+
d
y
e
y
+
d
z
e
z
{\displaystyle d{\boldsymbol {l}}={\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}=dx{\boldsymbol {e}}_{x}+dy{\boldsymbol {e}}_{y}+dz{\boldsymbol {e}}_{z}}
と定義される。
そのため、この線積分は
∫
C
X
x
d
x
+
X
y
d
y
+
X
z
d
z
{\displaystyle \int _{C}X_{x}dx+X_{y}dy+X_{z}dz}
とも書かれる。
線素ベクトルは積分経路の接ベクトルとなるので、ベクトル場の線積分を接線積分 （integral of tangential component）という場合もある。
C
{\displaystyle C}
s
{\displaystyle s}
∫
C
X
⋅
d
l
=
∫
α
β
X
(
q
(
s
)
)
⋅
d
q
d
s
d
s
{\displaystyle \int _{C}{\boldsymbol {X}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=\int _{\alpha }^{\beta }{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {q}}(s))\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{ds}}ds}
ここで
‖
d
q
d
s
‖
=
1
{\displaystyle \left\|{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{ds}}\right\|=1}
X
(
q
(
s
)
)
⋅
d
q
d
s
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {q}}(s))\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{ds}}}
X
(
q
(
s
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {q}}(s))}
q
(
s
)
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(s)}
すなわち、線積分はベクトル場
X
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}}
C
{\displaystyle C}
なお、スカラー場の線積分に登場した線素
d
l
{\displaystyle dl}
‖
d
l
‖
{\displaystyle \|d{\boldsymbol {l}}\|}
r
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(x,y,z)}
d
r
/
/
X
(
r
)
{\displaystyle d{\boldsymbol {r}}//{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {r}})}
d
r
=
k
X
(
r
)
{\displaystyle d{\boldsymbol {r}}=k{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {r}})}
よって線積分の被積分関数は
X
⋅
d
r
=
k
‖
X
‖
2
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}\cdot d{\boldsymbol {r}}=k\|{\boldsymbol {X}}\|^{2}}
∫
s
t
r
e
a
m
l
i
n
e
k
‖
X
‖
2
{\displaystyle \int _{streamline}k\|{\boldsymbol {X}}\|^{2}}
∫
s
t
r
e
a
m
l
i
n
e
X
⋅
d
r
d
t
d
t
{\displaystyle \int _{streamline}{\boldsymbol {X}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}dt}
C
{\displaystyle C}
t
{\displaystyle {\boldsymbol {t}}}
t
=
d
p
(
s
)
d
s
{\displaystyle {\boldsymbol {t}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}(s)}{ds}}}
t
⋅
d
t
d
t
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {t}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {t}}}{dt}}=0}
d
p
(
t
)
d
t
=
d
2
p
(
s
)
d
s
2
{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {p}}(s)}{ds^{2}}}}
主法線ベクトル という。主法線ベクトルを
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
b
=
t
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}}
従法線ベクトル という。正規化すると
e
b
=
e
t
×
e
n
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{b}={\boldsymbol {e}}_{t}\times {\boldsymbol {e}}_{n}}
{
e
t
,
e
n
,
e
b
}
{\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{n},{\boldsymbol {e}}_{b}\}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
主法線ベクトルの大きさ
κ
=
‖
n
‖
{\displaystyle \kappa =\|{\boldsymbol {n}}\|}
C
{\displaystyle C}
曲率 、
τ
=
e
b
⋅
d
e
n
d
t
{\displaystyle \tau ={\boldsymbol {e}}_{b}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {e}}_{n}}{dt}}}
C
{\displaystyle C}
捩 ( れい )
例えば、円
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
媒介変数表示して
p
(
t
)
=
r
(
cos
t
sin
t
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=r{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}}
接線ベクトルは
d
p
(
t
)
d
t
=
r
(
−
sin
t
cos
t
0
)
{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}(t)}{dt}}=r{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}}
弧長パラメータ
s
{\displaystyle s}
s
=
∫
0
t
‖
d
p
(
u
)
d
t
‖
d
u
=
∫
0
t
r
d
t
=
r
t
{\displaystyle s=\int _{0}^{t}\left\|{\frac {d{\boldsymbol {p}}(u)}{dt}}\right\|du=\int _{0}^{t}rdt=rt}
∴
t
=
s
r
{\displaystyle \therefore t={\frac {s}{r}}}
p
(
s
)
=
r
(
cos
s
r
sin
s
r
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(s)=r{\begin{pmatrix}\cos {\frac {s}{r}}\\\sin {\frac {s}{r}}\\0\end{pmatrix}}}
p
(
s
)
d
s
=
(
−
sin
s
r
cos
s
r
0
)
{\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}(s)}{ds}}={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\\0\end{pmatrix}}}
d
2
p
(
s
)
d
s
2
=
−
1
r
(
cos
s
r
sin
s
r
0
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}{\boldsymbol {p}}(s)}{ds^{2}}}=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {s}{r}}\\\sin {\frac {s}{r}}\\0\end{pmatrix}}}
κ
=
‖
d
2
p
(
s
)
d
s
2
‖
=
1
r
{\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {d^{2}{\boldsymbol {p}}(s)}{ds^{2}}}\right\|={\frac {1}{r}}}
t
=
r
(
−
sin
t
cos
t
0
)
,
n
=
d
t
d
t
=
−
r
(
cos
t
sin
t
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {t}}=r{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}},{\boldsymbol {n}}={\frac {d{\boldsymbol {t}}}{dt}}=-r{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}}
b
=
t
×
n
=
(
0
0
r
2
)
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}={\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}\end{pmatrix}}}
τ
=
(
0
0
1
)
⋅
−
r
(
−
sin
t
cos
t
0
)
r
2
⋅
1
r
=
0
{\displaystyle \tau ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot -r{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}}{r^{2}\cdot {\frac {1}{r}}}}=0}
曲率・捩率を用いることで、
t
,
n
,
b
{\displaystyle {\boldsymbol {t}},{\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {b}}}
フレネ=セレーの公式
d
d
s
(
e
t
e
n
e
b
)
=
(
0
κ
0
−
κ
0
τ
0
−
τ
0
)
(
e
t
e
n
e
b
)
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{t}\\{\boldsymbol {e}}_{n}\\{\boldsymbol {e}}_{b}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{t}\\{\boldsymbol {e}}_{n}\\{\boldsymbol {e}}_{b}\end{pmatrix}}}
全微分がヤコビ行列による一次変換で表されたように、こちらも一次変換の形式で表すことができた。一般に、微分操作は
∞
{\displaystyle \infty }
関数解析学 で扱う。
また、曲線は
(
κ
,
τ
)
{\displaystyle (\kappa ,\tau )}
(
κ
,
τ
)
{\displaystyle (\kappa ,\tau )}
C
[
κ
,
τ
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[\kappa ,\tau ]}
例えば、円を含む螺旋は
c
1
,
c
2
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle c_{1},c_{2}=\mathrm {const} .}
C
[
c
1
,
c
2
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[c_{1},c_{2}]}
R
=
1
κ
{\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}}
曲率半径 という。曲率半径は曲線の特定のカーブにおける曲がり具合の急さを表す指標であり、カーブを近似する真円（密着円 ）の半径でもある。高速道路の標識で
R
=
∘
∘
m
{\displaystyle R=\circ \circ \mathrm {m} }
関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
領域
S
{\displaystyle S}
∆
S
i
{\displaystyle {\text{∆}}S_{i}}
（曲）面積分 （surface integral）が定義される。
∫
S
f
(
x
,
y
,
z
)
d
S
=
lim
∆
S
→
0
∑
i
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
∆
S
i
{\displaystyle \int _{S}f(x,y,z)dS=\lim _{{\text{∆}}S\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\text{∆}}S_{i}}
右辺の極限が具体的にどのような値に収束し、どのように計算されるかを見ていく。
曲面
S
{\displaystyle S}
p
(
s
,
t
)
=
(
x
(
s
,
t
)
y
(
s
,
t
)
z
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {p} (s,t)={\begin{pmatrix}x(s,t)\\y(s,t)\\z(s,t)\end{pmatrix}}}
ここで、パラメータベクトル
(
s
t
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}}
T
(
⊂
R
2
)
{\displaystyle T(\subset \mathbb {R} ^{2})}
∆
T
i
{\displaystyle {\text{∆}}T_{i}}
∆
T
i
=
[
s
i
,
s
i
+
∆
s
i
]
×
[
t
i
,
t
i
+
∆
t
i
]
{\displaystyle {\text{∆}}T_{i}=[s_{i},s_{i}+{\text{∆}}s_{i}]\times [t_{i},t_{i}+{\text{∆}}t_{i}]}
∆
T
i
{\displaystyle {\text{∆}}T_{i}}
∆
S
i
=
p
(
∆
T
i
)
{\displaystyle {\text{∆}}S_{i}=\mathbf {p} ({\text{∆}}T_{i})}
このとき、パラメータ領域の面積変化率は、各変数に関する接ベクトル同士の張る接平面上の面積ベクトルで表される。
すなわち、
∆
s
i
,
∆
t
i
→
0
{\displaystyle {\text{∆}}s_{i},{\text{∆}}t_{i}\to 0}
∆
S
i
=
‖
∂
p
(
s
i
,
t
i
)
∂
s
×
∂
p
(
s
i
,
t
i
)
∂
t
‖
∆
s
i
∆
t
i
{\displaystyle {\text{∆}}S_{i}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {p} (s_{i},t_{i})}}{\partial {s}}}\times {\frac {\partial {\mathbf {p} (s_{i},t_{i})}}{\partial {t}}}\right\|{\text{∆}}s_{i}{\text{∆}}t_{i}}
である。
このリーマン和の二重極限は収束し、
lim
∆
s
i
→
0
∆
t
i
→
0
∑
i
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
∆
S
i
=
lim
∆
s
i
→
0
∆
t
i
→
0
∑
i
f
(
p
(
s
i
,
t
i
)
)
‖
∂
X
(
s
i
,
t
i
)
∂
s
×
∂
X
(
s
i
,
t
i
)
∂
t
‖
∆
s
i
∆
t
i
{\displaystyle \lim _{\scriptstyle {\text{∆}}s_{i}\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}t_{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\text{∆}}{S_{i}}=\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}s_{i}\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}t_{i}\to 0}\sum _{i}f(\mathbf {p} (s_{i},t_{i}))\left\|{\frac {\partial {\mathbf {X} (s_{i},t_{i})}}{\partial {s}}}\times {\frac {\partial {\mathbf {X} (s_{i},t_{i})}}{\partial {t}}}\right\|{\text{∆}}{s_{i}}{\text{∆}}{t_{i}}}
=
∬
T
f
(
p
(
s
,
t
)
)
‖
∂
p
∂
s
×
∂
p
∂
t
‖
d
s
d
t
{\displaystyle =\iint _{T}f(\mathbf {p} (s,t))\left\|{\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {s}}}\times {\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {t}}}\right\|dsdt}
すなわち、面積分は二重積分に帰着される。
面積分の値は（Sの向き付けが同じならば）パラメータのとり方に依らない。
証明は恒等条件
det
∂
(
s
1
,
t
1
)
∂
(
s
2
,
t
2
)
>
0
{\displaystyle \det {\frac {\partial (s_{1},t_{1})}{\partial (s_{2},t_{2})}}>0}
F
{\displaystyle F}
S
{\displaystyle S}
∫
S
F
d
S
{\displaystyle \int _{S}FdS}
1の面積分を考えると、
∫
S
d
S
{\displaystyle \int _{S}dS}
は曲面
S
{\displaystyle S}
そのため、
d
S
{\displaystyle dS}
面（積要）素 （surface element）と呼ぶ。
S
{\displaystyle S}
∮
S
F
d
S
{\displaystyle \oint _{S}FdS}
とも書く。
例えば、関数
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
p
=
(
x
y
z
)
{\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}
∬
T
‖
∂
p
∂
x
×
∂
p
∂
y
‖
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{T}\left\|{\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {x}}}\times {\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {y}}}\right\|dxdy}
=
∬
T
‖
(
−
∂
f
∂
x
−
∂
f
∂
y
1
)
‖
d
x
d
y
{\displaystyle =\iint _{T}\left\|{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\\-{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}\\1\end{pmatrix}}\right\|dxdy}
=
∬
T
(
∂
f
∂
x
)
2
+
(
∂
f
∂
y
)
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle =\iint _{T}{\sqrt {\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}\right)^{2}+1}}\;dxdy}
と求められる。
∫
S
X
⋅
d
S
→
=
∬
X
(
p
(
s
,
t
)
)
⋅
(
∂
p
∂
s
×
∂
p
∂
t
)
d
s
d
t
{\displaystyle \int _{S}\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}=\iint \mathbf {X} (\mathbf {p} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {s}}}\times {\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {t}}}\right)dsdt}
=
∬
det
(
X
,
∂
p
∂
s
,
∂
p
∂
t
)
d
s
d
t
{\displaystyle =\iint \det {\begin{pmatrix}\mathbf {X} ,{\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {s}}},{\frac {\partial {\mathbf {p} }}{\partial {t}}}\end{pmatrix}}dsdt}
∵
{\displaystyle \because }
ここで
d
S
→
{\displaystyle d{\vec {S}}}
d
S
→
=
n
d
S
{\displaystyle d{\vec {S}}=\mathbf {n} dS}
と定義される。
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
S
{\displaystyle S}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
(
cos
α
cos
β
cos
γ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\cos \beta \\\cos \gamma \end{pmatrix}}}
方向余弦 という。
方向余弦に関して、以下のような関係が成り立つ（※証明の加筆お願いします）。
{
cos
α
d
S
=
d
y
d
z
cos
β
d
S
=
d
z
d
x
cos
γ
d
S
=
d
x
d
y
{\displaystyle {\begin{cases}\cos \alpha dS=dydz\\\cos \beta dS=dzdx\\\cos \gamma dS=dxdy\end{cases}}}
これを用いることで、
d
S
→
=
e
x
d
y
d
z
+
e
y
d
z
d
x
+
e
z
d
x
d
y
=
(
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
)
{\displaystyle d{\vec {S}}=\mathbf {e} _{x}dydz+\mathbf {e} _{y}dzdx+\mathbf {e} _{z}dxdy={\begin{pmatrix}dydz\\dzdx\\dxdy\end{pmatrix}}}
と表せる。
敢えてx⇒y⇒zの順で記したように、変数名が循環していることがわかる。
関数
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
立体
V
{\displaystyle V}
∆
V
i
{\displaystyle {\text{∆}}V_{i}}
体（積）積分 （volume integral）が定義される。
∫
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
V
=
lim
∆
V
→
0
∑
i
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
∆
V
i
{\displaystyle \int _{V}f(x,y,z)dV=\lim _{{\text{∆}}V\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\text{∆}}V_{i}}
体積分では、リーマン和の三重極限を用いて右辺の極限値を求めることが困難である（3つの極限を任意に交換できるとは限らないため）。
そのため、以下のように考える。
微小立体の体積
d
V
{\displaystyle dV}
d
x
,
d
y
,
d
z
{\displaystyle dx,dy,dz}
よって、
d
V
=
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle dV=dxdydz}
d
V
{\displaystyle dV}
体（積）素 （volume element）という。
つまり、体積分は
V
{\displaystyle V}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \iiint _{V}f(x,y,z)dxdydz}
に等しい。
V
{\displaystyle V}
r
(
s
,
t
,
u
)
=
(
x
(
s
,
t
,
u
)
y
(
s
,
t
,
u
)
z
(
s
,
t
,
u
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s,t,u)={\begin{pmatrix}x(s,t,u)\\y(s,t,u)\\z(s,t,u)\end{pmatrix}}}
V
{\displaystyle V}
∫
V
F
(
r
)
d
V
=
∭
V
F
(
r
(
s
,
t
,
u
)
)
‖
det
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
,
u
)
‖
d
s
d
t
d
u
{\displaystyle \int _{V}F(\mathbf {r} )dV=\iiint _{V}F(\mathbf {r} (s,t,u))\left\|\det {\frac {\partial {(x,y,z)}}{\partial {(s,t,u)}}}\right\|dsdtdu}
で表される。
積分領域
V
{\displaystyle V}
∮
V
F
d
V
{\displaystyle \oint _{V}FdV}
とも書く。
また、ベクトル場
の
V
{\displaystyle V}
∫
V
X
(
r
)
d
V
=
(
∫
V
X
x
(
r
)
d
V
∫
V
X
y
(
r
)
d
V
∫
V
X
z
(
r
)
d
V
)
{\displaystyle \int _{V}\mathbf {X} (\mathbf {r} )dV={\begin{pmatrix}\int _{V}X_{x}(\mathbf {r} )dV\\\int _{V}X_{y}(\mathbf {r} )dV\\\int _{V}X_{z}(\mathbf {r} )dV\end{pmatrix}}}
で表される。
平面の座標系として直交座標の他に斜交座標、極座標（円座標）、重心座標などがあったように、空間の座標系も複数通り考えられる。
空間座標を3つの実数の組
(
r
,
θ
,
z
)
{\displaystyle (r,\theta ,z)}
円筒座標系 （円柱座標系 、cylindrical coordinate system）という。ただし、
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
円筒座標系は、円座標系のrθ平面にz軸方向の次元を加えた3次元空間の座標と考えられる。
そのため、円筒座標系と直交座標系の対応は以下のようになる。
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
z
=
z
⟺
{
r
=
x
2
+
y
2
θ
=
arctan
y
x
z
=
z
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\end{cases}}\iff {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}\\z=z\end{cases}}}
但し、
r
{\displaystyle r}
座標線 ）。なお、「曲線」という語は一般に「直線」を包含する。
r曲線：z軸上の点を通りz軸に垂直な半直線。
θ曲線：z軸を法線とする平面内にあり、中心がz軸上にある円周。
z曲線：z軸に平行な直線。
f
:
(
r
,
θ
,
z
)
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}:(r,\theta ,z)\to (x,y,z)}
f
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}}
d
f
=
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ
,
z
)
(
d
r
d
θ
d
z
)
{\displaystyle d{\boldsymbol {f}}={\frac {\partial {(x,y,z)}}{\partial {(r,\theta ,z)}}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\dz\end{pmatrix}}}
上で求めた関係式より
f
(
r
θ
z
)
=
(
x
y
z
)
=
(
r
cos
θ
r
sin
θ
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\begin{pmatrix}r\\\theta \\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \\z\end{pmatrix}}}
なので、
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ
,
z
)
=
(
∂
∂
r
r
cos
θ
∂
∂
θ
r
cos
θ
∂
∂
z
r
cos
θ
∂
∂
r
r
sin
θ
∂
∂
θ
r
sin
θ
∂
∂
z
r
sin
θ
∂
∂
r
z
∂
∂
θ
z
∂
∂
z
z
)
=
(
cos
θ
−
r
sin
θ
0
sin
θ
r
cos
θ
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial {(x,y,z)}}{\partial {(r,\theta ,z)}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial {r}}}r\cos \theta &{\frac {\partial }{\partial {\theta }}}r\cos \theta &{\frac {\partial }{\partial {z}}}r\cos \theta \\{\frac {\partial }{\partial {r}}}r\sin \theta &{\frac {\partial }{\partial {\theta }}}r\sin \theta &{\frac {\partial }{\partial {z}}}r\sin \theta \\{\frac {\partial }{\partial {r}}}z&{\frac {\partial }{\partial {\theta }}}z&{\frac {\partial }{\partial {z}}}z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
よって
d
f
=
(
cos
θ
−
r
sin
θ
0
sin
θ
r
cos
θ
0
0
0
1
)
(
d
r
d
θ
d
z
)
=
(
cos
θ
sin
θ
0
)
d
r
+
(
−
sin
θ
cos
θ
0
)
r
d
θ
+
(
0
0
1
)
d
z
{\displaystyle d{\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{pmatrix}}dr+{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}rd\theta +{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}dz}
再右辺の各項を
d
r
→
,
d
θ
→
,
d
z
→
{\displaystyle d{\vec {r}},d{\vec {\theta }},d{\vec {z}}}
|
d
r
→
|
,
|
d
θ
→
|
,
|
d
z
→
|
{\displaystyle |d{\vec {r}}|,|d{\vec {\theta }}|,|d{\vec {z}}|}
d
r
,
r
d
θ
,
d
z
{\displaystyle dr,rd\theta ,dz}
r
,
θ
,
z
{\displaystyle r,\theta ,z}
d
θ
{\displaystyle d\theta }
r
d
θ
{\displaystyle rd\theta }
纏めると以下のようになる。
e
x
{\displaystyle \mathbf {e} _{x}}
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{y}}
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{z}}
ノルム
d
r
→
{\displaystyle d{\vec {r}}}
cos
θ
d
r
{\displaystyle \cos \theta dr}
sin
θ
d
r
{\displaystyle \sin \theta dr}
0
{\displaystyle 0}
d
r
{\displaystyle dr}
d
θ
→
{\displaystyle d{\vec {\theta }}}
−
r
sin
θ
d
θ
{\displaystyle -r\sin \theta d\theta }
r
cos
θ
d
θ
{\displaystyle r\cos \theta d\theta }
0
{\displaystyle 0}
r
d
θ
{\displaystyle rd\theta }
d
z
→
{\displaystyle d{\vec {z}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
d
z
{\displaystyle dz}
ここで
d
r
→
,
d
θ
→
,
d
z
→
{\displaystyle d{\vec {r}},d{\vec {\theta }},d{\vec {z}}}
そこで、それぞれのベクトルを正規化することで各軸曲線方向の基本ベクトルを得る。
e
r
=
d
r
→
d
r
=
cos
θ
e
x
+
sin
θ
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\frac {d{\vec {r}}}{dr}}=\cos \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \theta \mathbf {e} _{y}}
e
θ
=
d
θ
→
r
d
θ
=
−
sin
θ
e
x
+
cos
θ
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }={\frac {d{\vec {\theta }}}{rd\theta }}=-\sin \theta \mathbf {e} _{x}+\cos \theta \mathbf {e} _{y}}
e
z
=
d
z
→
d
z
=
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{z}={\frac {d{\vec {z}}}{dz}}=\mathbf {e} _{z}}
これを一次変換の形式で表すと
(
e
r
e
θ
e
z
)
=
(
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
)
(
e
x
e
y
e
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{r}\\\mathbf {e} _{\theta }\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}}
となる。
このときの変換行列を、座標系または基底ベクトルを変換することから座標変換行列 又は基底変換行列 という。場合によっては変換テンソル とも呼ぶ。
なお、この直交座標⇒円筒座標の座標変換行列は、xyz空間に於けるz軸まわりの回転行列に等しい。
回転行列は直交行列なので
(
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
)
−
1
=
t
(
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
)
=
(
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}={}^{t}\!{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
であり、
(
e
x
e
y
e
z
)
=
(
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
)
(
e
r
e
θ
e
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{r}\\\mathbf {e} _{\theta }\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}}
電磁気学 の解析でよく使用される。
例えば、高校物理の公式
B
(
r
)
=
μ
0
I
τ
r
{\displaystyle B(r)={\frac {\mu _{0}I}{\tau r}}}
高等学校までの地理で習ったように、球面上の位置は緯度
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
一般に三次元空間で球面上のある点の座標を定めるには、更に球の中心からの距離
r
{\displaystyle r}
このようにして定められる座標系を三次元極座標系 （polar coordinate system in 3D）または球（面）座標系 （spherical coordinate system）という。
P
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P(x,y,z)}
r
=
|
O
P
→
|
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle r=|{\vec {OP}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
θ
{\displaystyle \theta }
天頂角 （zenith angle）であり、
O
P
→
{\displaystyle {\vec {OP}}}
O
H
→
=
h
→
{\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {h}}}
tan
θ
=
|
h
→
|
z
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {|{\vec {h}}|}{z}}}
|
h
→
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle |{\vec {h}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
θ
=
arctan
x
2
+
y
2
z
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
方位角 （azimuth angle）であり、
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
tan
ϕ
=
y
x
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}
ϕ
=
arctan
y
x
{\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}}
P
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P(x,y,z)}
△
O
H
P
{\displaystyle \triangle OHP}
∠
H
O
P
=
θ
{\displaystyle \angle HOP=\theta }
z
=
O
H
¯
=
r
cos
θ
{\displaystyle z={\overline {OH}}=r\cos \theta }
また、
△
O
P
Q
{\displaystyle \triangle OPQ}
∠
O
P
Q
=
θ
{\displaystyle \angle OPQ=\theta }
O
Q
¯
=
r
sin
θ
{\displaystyle {\overline {OQ}}=r\sin \theta }
よって
x
=
O
Q
¯
cos
ϕ
=
r
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
O
Q
¯
sin
ϕ
=
r
sin
θ
sin
ϕ
{\displaystyle x={\overline {OQ}}\cos \phi =r\sin \theta \cos \phi ,y={\overline {OQ}}\sin \phi =r\sin \theta \sin \phi }
{
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
z
=
r
cos
θ
⟺
{
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
θ
=
arctan
x
2
+
y
2
z
ϕ
=
arctan
y
x
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}\iff {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\phi =\arctan {\frac {y}{x}}\end{cases}}}
−
90
∘
≦
θ
≦
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }\leqq \theta \leqq 90^{\circ }}
−
180
∘
≦
ϕ
≦
180
∘
{\displaystyle -180^{\circ }\leqq \phi \leqq 180^{\circ }}
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
θ
∈
[
−
π
4
,
τ
4
]
,
ϕ
∈
[
−
τ
2
,
τ
2
]
{\displaystyle \theta \in [-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\tau }{4}}],\phi \in [-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}]}
θ
<
0
{\displaystyle \theta <0}
r曲線：原点を通る半直線。
θ曲線：原点中心でz軸上の一点から出る半円弧。
φ曲線：z軸を法線とする平面内でz軸上に中心を持つ円周。
{
d
r
→
=
(
sin
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
cos
θ
)
d
r
d
θ
→
=
(
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
θ
)
r
d
θ
d
ϕ
→
=
(
−
sin
ϕ
cos
ϕ
0
)
r
sin
θ
d
ϕ
{\displaystyle {\begin{cases}d{\vec {r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{pmatrix}}dr\\d{\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \phi \\\cos \theta \sin \phi \\-\sin \theta \end{pmatrix}}rd\theta \\d{\vec {\phi }}={\begin{pmatrix}-\sin \phi \\\cos \phi \\0\end{pmatrix}}r\sin \theta d\phi \end{cases}}}
と求まる。
これらは（内積の結果から）互いに直交するので、円柱座標の場合と同様の議論により
(
sin
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
cos
θ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
θ
−
sin
ϕ
cos
ϕ
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{pmatrix}}}
と変換テンソルが求まる。
これも直交行列であるので、逆変換テンソルは
(
sin
θ
cos
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
ϕ
−
sin
θ
cos
θ
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &\cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \phi \\-\sin \theta &\cos \theta &0\end{pmatrix}}}
と求まる。
力学 の解析でよく使用される。
例えば、赤道平面における角運動量保存則は
m
r
2
d
ϕ
d
t
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle mr^{2}{\frac {d\phi }{dt}}=\mathrm {const} .}
球面座標系は特に機械制御に応用されている。
直交曲線座標系 （orthogonal curvilinear coordinate system）と呼ぶ場合がある。直交曲線座標系には、他にも放物柱座標系や楕円座標系などがある。
スカラー場の勾配 （gradient）を以下のように定義する。
g
r
a
d
F
=
(
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
∂
F
∂
z
)
=
∂
F
∂
x
e
x
+
∂
F
∂
y
e
y
+
∂
F
∂
z
e
z
{\displaystyle \mathrm {grad} \,F={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}\\{\frac {\partial {F}}{\partial {z}}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial {F}}{\partial {z}}}\mathbf {e} _{z}}
勾配は、幾何的にはスカラー場の各点に於ける傾きを表す。これは、最右辺の式が「各軸方向の傾きを表すベクトルの和」になっていることからわかる。「スカラー場の各点の傾き」とは、則ち「スカラー場上の変化が最も急峻な方向及び変化の速さ」のことである。このことから、「gradient」の和訳として「勾配」が充当されたのは妥当である。
F
{\displaystyle F}
f
(
x
)
,
g
(
y
)
,
h
(
z
)
{\displaystyle f(x),g(y),h(z)}
空間偏微分演算子
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
=
(
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
)
=
∂
∂
x
e
x
+
∂
∂
y
e
y
+
∂
∂
z
e
z
{\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial {x}}}\\{\frac {\partial }{\partial {y}}}\\{\frac {\partial }{\partial {z}}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial }{\partial {x}}}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial }{\partial {y}}}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial {z}}}\mathbf {e} _{z}}
この演算子自体は偏微分作用素の対象を後接しないと意味を成さない。しかし、便宜的にベクトル量と考えてベクトルと同様の演算則が成り立つと見做す。そのため、この演算子に関する演算はw:記号の濫用 （symbol abuse）であることを註しておく。
∇
{\displaystyle \nabla }
ナブラ （nabla）であるが、
∆
{\displaystyle {\text{∆}}}
アルテッド （alted）とも読まれる。なお、ナブラの由来は「竪琴」を意味する古代ギリシャ語「νάβλα」である。
g
r
a
d
F
=
∇
F
{\displaystyle \mathrm {grad} \,F=\nabla F}
F
{\displaystyle F}
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
F
{\displaystyle \nabla F}
電位
ϕ
{\displaystyle \phi }
E
{\displaystyle E}
E
:=
−
g
r
a
d
ϕ
{\displaystyle E:=-\mathrm {grad} \,\phi }
d
F
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
+
∂
F
∂
z
d
z
{\displaystyle dF={\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}dx+{\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}dy+{\frac {\partial {F}}{\partial {z}}}dz}
で定義された。
これを内積の成分表示とみると、ベクトル表示は
d
F
=
(
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
∂
F
∂
z
)
⋅
(
d
x
d
y
d
z
)
{\displaystyle dF={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}\\{\frac {\partial {F}}{\partial {z}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}
である。
すなわち、スカラー場の全微分は
d
F
=
∇
F
⋅
d
v
{\displaystyle dF=\nabla F\cdot d\mathbf {v} }
と表される。
一般に、任意方向Sの単位ベクトルが方向余弦ベクトル
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
d
X
=
∂
(
X
x
,
X
y
,
X
z
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
v
{\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial {(X_{x},X_{y},X_{z})}}{\partial {(x,y,z)}}}\cdot d\mathbf {v} }
で定義された。
ここでn次行列
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
(
A
⊛
a
)
i
j
=
(
A
i
j
)
a
i
{\displaystyle (\mathbf {A} \circledast \mathbf {a} )_{ij}=(\mathbf {A} _{ij})a_{i}}
⊛
{\displaystyle \circledast }
(
P
)
i
j
{\displaystyle (\mathbf {P} )_{ij}}
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
この記法を用いると、ヤコビ行列
∂
(
X
x
,
X
y
,
X
z
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\frac {\partial {(X_{x},X_{y},X_{z})}}{\partial {(x,y,z)}}}}
∇
⊛
X
{\displaystyle \nabla \circledast \mathbf {X} }
則ち、ベクトル場の全微分は
d
X
=
(
∇
⊛
X
)
⋅
d
v
{\displaystyle d\mathbf {X} =(\nabla \circledast \mathbf {X} )\cdot d\mathbf {v} }
と表される。
例えば、
d
f
d
r
=
(
∂
f
∂
r
x
∂
f
∂
r
y
∂
f
∂
r
z
)
{\displaystyle {\frac {df}{d\mathbf {r} }}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {f}}{\partial {r_{x}}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {r_{y}}}}\\{\frac {\partial {f}}{\partial {r_{z}}}}\end{pmatrix}}}
である。
これは
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
ベクトル場の発散 （divergence）を以下のように定義する。
d
i
v
X
=
∂
X
x
∂
x
+
∂
X
y
∂
y
+
∂
X
z
∂
z
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {X} ={\frac {\partial {X_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {X_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {X_{z}}}{\partial {z}}}}
発散は、ベクトル場の各点における指力線ベクトルの流出入量の収支を表す。これは、右辺の式が「各軸方向のベクトルの大きさの変化率の和」になっていることからわかる。「発散」の辞書的定義は「自身から何かを湧出すること」であり、ベクトル場の発散の正負は夫々其の点に於ける指力線ベクトル全体としての流出・流入に対応している。故に、「divergence」を「発散」と訳出したことは妥当と考えられる。
X
=
(
X
x
X
y
X
z
)
{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{x}\\X_{y}\\X_{z}\end{pmatrix}}}
d
i
v
X
=
∇
⋅
X
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {X} =\nabla \cdot \mathbf {X} }
電荷密度
ρ
{\displaystyle \rho }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
d
i
v
E
=
ρ
ε
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}}
極座標で考えることにより、この式の重要な性質「荷電粒子の座標を原点にとると原点以外では
d
i
v
E
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {E} =0}
∆
v
{\displaystyle {\text{∆}}v}
閉曲面の有向微小表面積を
d
S
→
{\displaystyle d{\vec {S}}}
X
n
d
S
=
X
⋅
d
S
→
{\displaystyle \mathbf {X} _{n}dS=\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}}
X
n
{\displaystyle \mathbf {X} _{n}}
である。
この閉曲面全体を出入りする指力線の総量は面積分
∮
S
X
⋅
d
S
→
{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}}
で与えられる。
発散は単位体積当たりの指力線ベクトルの湧出量とも考えられるので、上式を規格化（体積で除）し体積を0に近づけた極限は発散に等しい。
d
i
v
X
=
lim
∆
V
→
0
1
∆
V
∮
S
X
⋅
d
S
→
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {X} =\lim _{{\text{∆}}V\to 0}{\frac {1}{{\text{∆}}V}}\oint _{S}\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}}
これを積分形に変形すると、以下のガウスの発散定理 （Gauss' divergence theorem）を得る。
∫
∆
V
d
i
v
X
d
V
=
∮
S
X
⋅
d
S
→
{\displaystyle \int _{{\text{∆}}V}\mathrm {div} \,\mathbf {X} dV=\oint _{S}\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}}
d
i
v
X
=
t
r
(
∇
⊛
X
)
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {X} =\mathrm {tr} (\nabla \circledast \mathbf {X} )}
回転運動は、以下の3つにより一意に定まる。
回転軸の方向
回転の速さ
回転方向（軸に対して右回転か左回転か） 「回転方向」を（暗黙の諒解として）回転軸に対して右螺子の向きにとることにする（右手系 ）。すると、回転運動を表すのに必要な情報は「方向」と「速さ（=スカラー量）」のみとなる。
従って、任意の回転運動はベクトルで表示される （ベクトルの大きさは「回転の速さ」で定める）。このようなベクトルを角速度ベクトル という。
回転 （curl、rotation、rotor）を以下のように定義する。
c
u
r
l
X
=
r
o
t
X
=
(
∂
X
z
∂
y
−
∂
X
y
∂
z
∂
X
x
∂
z
−
∂
X
z
∂
x
∂
X
y
∂
x
−
∂
X
x
∂
y
)
{\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {X} =\mathrm {rot} \,\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {X_{z}}}{\partial {y}}}-{\frac {\partial {X_{y}}}{\partial {z}}}\\{\frac {\partial {X_{x}}}{\partial {z}}}-{\frac {\partial {X_{z}}}{\partial {x}}}\\{\frac {\partial {X_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {X_{x}}}{\partial {y}}}\end{pmatrix}}}
c
u
r
l
{\displaystyle \mathrm {curl} }
r
o
t
{\displaystyle \mathrm {rot} }
z軸方向の回転はフレミングの左手の法則からxy平面内の成分のみが寄与すると考えられる。z軸の正方向の回転を生むには、x軸方向の変化率を大きくしてy軸方向の変化率を小さくすればよい。
ある軸方向の変化率とはその軸の変数に関する偏導関数のことであったので、回転のz成分を
∂
X
y
∂
x
−
∂
X
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial {X_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {X_{x}}}{\partial {y}}}}
x軸方向・y軸方向も同様であるので、回転は上の式で表されるとわかる。
回転の正式な定義は「微小領域境界を線積分した値の微小面積密度を並べたベクトル」である。これは以下のように陰に表示される。
(
c
u
r
l
X
)
⋅
n
:=
lim
S
→
0
1
|
S
|
∮
∂
S
X
⋅
d
l
→
{\displaystyle (\mathrm {curl} \,\mathbf {X} )\cdot \mathbf {n} :=\lim _{S\to 0}{\frac {1}{|S|}}\oint _{\partial {S}}\mathbf {X} \cdot d{\vec {l}}}
但し、
S
{\displaystyle S}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
l
(
l
→
)
{\displaystyle l({\vec {l}})}
∂
S
{\displaystyle \partial {S}}
|
S
|
{\displaystyle |S|}
S
{\displaystyle S}
定義に従ってz軸方向の回転の式を導く。
C
{\displaystyle C}
(
c
u
r
l
X
)
z
=
lim
∆
S
→
0
1
|
∆
S
|
∮
C
X
⋅
d
l
→
{\displaystyle (\mathrm {curl} \,\mathbf {X} )_{z}=\lim _{{\text{∆}}S\to 0}{\frac {1}{|{\text{∆}}S|}}\oint _{C}\mathbf {X} \cdot d{\vec {l}}}
=
lim
∆
x
→
0
∆
y
→
0
1
∆
x
∆
y
∮
C
X
⋅
d
l
→
{\displaystyle =\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}x\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}y\to 0}{\frac {1}{{\text{∆}}x{\text{∆}}y}}\oint _{C}\mathbf {X} \cdot d{\vec {l}}}
=
lim
∆
x
→
0
∆
y
→
0
1
∆
x
∆
y
(
∫
∆
x
X
x
(
x
,
y
,
z
)
d
l
+
∫
∆
y
X
y
(
x
+
∆
x
,
y
,
z
)
d
l
−
∫
∆
x
X
x
(
x
,
y
+
∆
y
,
z
)
d
l
−
∫
∆
y
X
y
(
x
,
y
,
z
)
d
l
)
{\displaystyle =\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}x\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}y\to 0}{\frac {1}{{\text{∆}}x{\text{∆}}y}}\left(\int _{{\text{∆}}x}X_{x}(x,y,z)dl+\int _{{\text{∆}}y}X_{y}(x+{\text{∆}}x,y,z)dl-\int _{{\text{∆}}x}X_{x}(x,y+{\text{∆}}y,z)dl-\int _{{\text{∆}}y}X_{y}(x,y,z)dl\right)}
=
lim
∆
x
→
0
∆
y
→
0
1
∆
x
∆
y
(
X
x
(
x
,
y
,
z
)
∆
x
+
X
y
(
x
+
∆
x
,
y
,
z
)
∆
y
−
X
x
(
x
,
y
+
∆
y
,
z
)
∆
x
−
X
y
(
x
,
y
,
z
)
∆
y
)
{\displaystyle =\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}x\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}y\to 0}{\frac {1}{{\text{∆}}x{\text{∆}}y}}\left(X_{x}(x,y,z){\text{∆}}x+X_{y}(x+{\text{∆}}x,y,z){\text{∆}}y-X_{x}(x,y+{\text{∆}}y,z){\text{∆}}x-X_{y}(x,y,z){\text{∆}}y\right)}
=
lim
∆
x
→
0
∆
y
→
0
(
X
x
(
x
,
y
,
z
)
∆
y
+
X
y
(
x
+
∆
x
,
y
,
z
)
∆
x
−
X
x
(
x
,
y
+
∆
y
,
z
)
∆
y
−
X
y
(
x
,
y
,
z
)
∆
x
)
{\displaystyle =\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}x\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}y\to 0}\left({\frac {X_{x}(x,y,z)}{{\text{∆}}y}}+{\frac {X_{y}(x+{\text{∆}}x,y,z)}{{\text{∆}}x}}-{\frac {X_{x}(x,y+{\text{∆}}y,z)}{{\text{∆}}y}}-{\frac {X_{y}(x,y,z)}{{\text{∆}}x}}\right)}
=
lim
∆
x
→
0
∆
y
→
0
(
X
y
(
x
,
y
+
∆
y
,
z
)
−
X
y
(
x
,
y
,
z
)
∆
x
−
X
x
(
x
+
∆
x
,
y
,
z
)
−
X
x
(
x
,
y
,
z
)
∆
y
)
{\displaystyle =\lim _{\scriptstyle {\text{∆}}x\to 0 \atop \scriptstyle {\text{∆}}y\to 0}\left({\frac {X_{y}(x,y+{\text{∆}}y,z)-X_{y}(x,y,z)}{{\text{∆}}x}}-{\frac {X_{x}(x+{\text{∆}}x,y,z)-X_{x}(x,y,z)}{{\text{∆}}y}}\right)}
=
∂
X
y
∂
x
−
∂
X
x
∂
y
{\displaystyle ={\frac {\partial {X_{y}}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {X_{x}}}{\partial {y}}}}
成分に着目すると外積の形式なので、
c
u
r
l
X
=
∇
×
X
{\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {X} =\nabla \times \mathbf {X} }
と表されることが判る。
外積の性質から、回転は行列式
det
(
e
x
e
y
e
z
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
X
x
X
y
X
z
)
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\{\frac {\partial }{\partial {x}}}&{\frac {\partial }{\partial {y}}}&{\frac {\partial }{\partial {z}}}\\X_{x}&X_{y}&X_{z}\end{pmatrix}}}
でも表示される。
電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
r
o
t
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {E} =-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}}
流体の渦の記述にも応用されている。
ストークスの定理 （Stokes' theorem）が成り立つと判る。
∫
S
c
u
r
l
X
⋅
d
S
→
=
∮
C
X
⋅
d
l
→
{\displaystyle \int _{S}\mathrm {curl} \,\mathbf {X} \cdot d{\vec {S}}=\oint _{C}\mathbf {X} \cdot d{\vec {l}}}
但し、
C
{\displaystyle C}
S
{\displaystyle S}
r
o
t
X
=
2
a
x
l
(
∇
⊛
X
−
t
(
∇
⊛
X
)
2
)
{\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {X} =2\mathrm {axl} \left({\frac {\nabla \circledast \mathbf {X} -{}^{t}\!(\nabla \circledast \mathbf {X} )}{2}}\right)}
ここで
∇
⊛
X
−
t
(
∇
⊛
X
)
{\displaystyle \nabla \circledast \mathbf {X} -{}^{t}\!(\nabla \circledast \mathbf {X} )}
a
x
l
{\displaystyle \mathrm {axl} }
以下のようにラプラス演算子 （ラプラス作用素 、Laplacian）を定義する。但し、
∆
{\displaystyle {\text{∆}}}
増分記号 （Unicode文字名：INCREMENT, U+2206）である（が通常のデルタで書かれることが多い）。
∆
=
∇
⋅
∇
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle {\text{∆}}=\nabla \cdot \nabla ={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {z^{2}}}}}
第二式は通常、w:記号の濫用 により単に
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
ラプラシアン を以下のように定義する。
∆
F
=
∂
2
F
∂
x
2
+
∂
2
F
∂
y
2
+
∂
2
F
∂
z
2
{\displaystyle {\text{∆}}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial {z^{2}}}}}
ラプラス演算子の定義により、左辺は以下のように変形される。
∆
F
=
∇
2
F
=
∇
⋅
(
∇
F
)
=
d
i
v
(
g
r
a
d
F
)
{\displaystyle {\text{∆}}F=\nabla ^{2}F=\nabla \cdot (\nabla F)=\mathrm {div} \,(\mathrm {grad} \,F)}
スカラー場のラプラシアンは、各成分方向の曲率の和、すなわちスカラー場の各点に於ける突出・沈み込みの度合いを表す。
∆
X
=
(
∆
X
x
∆
X
y
∆
X
z
)
{\displaystyle {\text{∆}}\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}{\text{∆}}X_{x}\\{\text{∆}}X_{y}\\{\text{∆}}X_{z}\end{pmatrix}}}
ベクトル場では以下の等式が成り立つ。
∆
X
=
g
r
a
d
(
d
i
v
X
)
−
r
o
t
(
r
o
t
X
)
{\displaystyle {\text{∆}}\mathbf {X} =\mathrm {grad} \,(\mathrm {div} \,\mathbf {X} )-\mathrm {rot} \,(\mathrm {rot} \,\mathbf {X} )}
回転が
0
{\displaystyle {\boldsymbol {0}}}
∆
X
=
∇
(
∇
⋅
X
)
{\displaystyle {\text{∆}}\mathbf {X} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {X} )}
(
∇
⋅
)
∇
=
∇
(
∇
⋅
)
=
∇
2
{\displaystyle (\nabla \cdot )\nabla =\nabla (\nabla \cdot )=\nabla ^{2}}
ラプラシアンは、ポアソン方程式やシュレディンガー方程式、拡散方程式・波動方程式など、物理学の様々な局面で登場する。
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
ϕ
{\displaystyle \phi }
d
i
v
(
ϕ
X
)
=
g
r
a
d
ϕ
⋅
X
+
ϕ
d
i
v
X
{\displaystyle \mathrm {div} \,(\phi \mathbf {X} )=\mathrm {grad} \,\phi \cdot \mathbf {X} +\phi \mathrm {div} \,\mathbf {X} }
ここで、
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
ψ
{\displaystyle \psi }
g
r
a
d
ψ
{\displaystyle \mathrm {grad} \,\psi }
d
i
v
(
ϕ
g
r
a
d
ψ
)
=
g
r
a
d
ϕ
⋅
g
r
a
d
ψ
+
ϕ
d
i
v
(
g
r
a
d
ψ
)
{\displaystyle \mathrm {div} \,(\phi \mathrm {grad} \,\psi )=\mathrm {grad} \,\phi \cdot \mathrm {grad} \,\psi +\phi \mathrm {div} \,(\mathrm {grad} \,\psi )}
空間偏微分演算子及びラプラス演算子を用いて表記すると、
∇
⋅
(
ϕ
∇
ψ
)
=
∇
ϕ
⋅
∇
ψ
+
ϕ
∆
ψ
{\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\phi {\text{∆}}\psi }
両辺を三次元領域Vに関して体積分すると、
∫
V
∇
(
ϕ
∇
ψ
)
d
V
=
∫
V
(
∇
ϕ
⋅
∇
ψ
+
ϕ
∆
ψ
)
d
V
{\displaystyle \int _{V}\nabla (\phi \nabla \psi )dV=\int _{V}(\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\phi {\text{∆}}\psi )dV}
Vの境界曲面をSとして左辺にガウスの発散定理を適用すると、
∮
S
(
ϕ
∇
ψ
)
⋅
d
S
→
=
∫
V
(
ϕ
∆
ψ
+
∇
ϕ
⋅
∇
ψ
)
d
V
{\displaystyle \oint _{S}(\phi \nabla \psi )\cdot d{\vec {S}}=\int _{V}(\phi {\text{∆}}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )dV}
これをグリーンの第一定理 （Green's first theorem）という。
グリーンの第一定理に於いて、
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
{\displaystyle \psi }
∮
S
(
ψ
∇
ϕ
)
⋅
d
S
→
=
∫
V
(
ψ
∆
ϕ
+
∇
ψ
⋅
∇
ϕ
)
d
V
{\displaystyle \oint _{S}(\psi \nabla \phi )\cdot d{\vec {S}}=\int _{V}(\psi {\text{∆}}\phi +\nabla \psi \cdot \nabla \phi )dV}
元の式との差をとると
∫
S
(
ϕ
∇
ψ
−
ψ
∇
ϕ
)
⋅
d
S
→
=
∫
V
(
ϕ
∆
ψ
−
ψ
∆
ϕ
)
d
V
{\displaystyle \int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\vec {S}}=\int _{V}(\phi {\text{∆}}\psi -\psi {\text{∆}}\phi )dV}
これをグリーンの第二定理 （Green's second theorem）という。
S
{\displaystyle S}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
n
{\displaystyle n}
(
ϕ
∇
ψ
)
⋅
d
S
→
=
(
ϕ
∇
ψ
)
⋅
n
d
S
=
ϕ
∂
ψ
∂
n
d
S
{\displaystyle (\phi \nabla \psi )\cdot d{\vec {S}}=(\phi \nabla \psi )\cdot \mathbf {n} dS=\phi {\frac {\partial {\psi }}{\partial {n}}}dS}
グリーンの第二定理の左辺を書き換えて
∫
S
(
ϕ
∂
ψ
∂
n
−
ψ
∂
ϕ
∂
n
)
d
S
=
∫
V
(
ϕ
∆
ψ
−
ψ
∆
ϕ
)
d
V
{\displaystyle \int _{S}\left(\phi {\frac {\partial {\psi }}{\partial {n}}}-\psi {\frac {\partial {\phi }}{\partial {n}}}\right)dS=\int _{V}(\phi {\text{∆}}\psi -\psi {\text{∆}}\phi )dV}
これをグリーンの定理 （Green's theorem）という。
この節は書きかけです。この節を編集してくれる方 を心からお待ちしています。
補足事項 一般に
r
o
t
(
g
r
a
d
F
)
=
d
i
v
(
r
o
t
X
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {rot} \,(\mathrm {grad} \,F)=\mathrm {div} \,(\mathrm {rot} \,\mathbf {X} )=0}
r
o
t
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {x} ={\boldsymbol {0}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
層状ベクトル場 （lamellar vector field）という。回転を持たないことから非回転的ベクトル場 （irrotational vector field）ともいう。
上記の性質から、
x
=
g
r
a
d
f
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathrm {grad} \,f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
スカラーポテンシャル （scalar potential）という。
d
i
v
y
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {y} =0}
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
管状ベクトル場 （solenoidal vector field）という。発散を持たないことから回転的ベクトル場 （rotational vector field）ともいう。
上記の性質から、
y
=
r
o
t
g
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathrm {rot} \,\mathbf {g} }
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
ベクトルポテンシャル （vector potential）という。
w:ポアンカレの補題 の特別な場合であり、ユークリッド空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
演習問題
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
y
z
z
x
x
y
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}yz\\zx\\xy\end{pmatrix}}}
∫
−
1
1
∫
−
1
−
z
2
1
−
z
2
∫
−
1
−
z
2
−
y
2
1
−
z
2
−
y
2
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-z^{2}}}}^{\sqrt {1-z^{2}}}\int _{-{\sqrt {1-z^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {1-z^{2}-y^{2}}}dxdydz}
r
o
t
(
X
+
Y
)
=
r
o
t
X
+
r
o
t
Y
{\displaystyle \mathrm {rot} \,(\mathbf {X} +\mathbf {Y} )=\mathrm {rot} \,\mathbf {X} +\mathrm {rot} \,\mathbf {Y} }
c
u
r
l
(
g
r
a
d
F
)
=
d
i
v
(
c
u
r
l
X
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {curl} \,(\mathrm {grad} \,F)=\mathrm {div} \,(\mathrm {curl} \,\mathbf {X} )=0}
∆
X
=
g
r
a
d
(
d
i
v
X
)
−
r
o
t
(
r
o
t
X
)
{\displaystyle {\text{∆}}\mathbf {X} =\mathrm {grad} \,(\mathrm {div} \,\mathbf {X} )-\mathrm {rot} \,(\mathrm {rot} \,\mathbf {X} )}
線素ベクトル・面素ベクトル・体素を円筒座標系の基本ベクトルを用いて表せ。
極座標系に於ける勾配・発散・回転・ラプラシアンを導出せよ。
層状ベクトル場上の線積分は積分経路に依存せず、始点と終点のみに依存することを証明せよ。
f
=
(
3
x
5
y
7
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}3x\\5y\\7z\end{pmatrix}}}
x
2
+
y
2
=
1
,
−
2
≤
z
≤
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,-2\leq z\leq 2}
複素解析学 も参照。
この節は書きかけです。この節を編集してくれる方 を心からお待ちしています。
この節は書きかけです。この節を編集してくれる方 を心からお待ちしています。
Wikipedia 多様体論
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}]'={\boldsymbol {a}}'(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}'(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\cdot \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}'(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6206e7f70b03f1b51ac8131937e4d4d8e3337f5)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}]'={\boldsymbol {a}}'(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}'(x)\times {\boldsymbol {c}}(x)\}+{\boldsymbol {a}}(x)\times \{{\boldsymbol {b}}(x)\times {\boldsymbol {c}}'(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e61ece356cfbcf90c82dd43947b47dbdee0cc5)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [t_{n-1},t_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d450d9eeea6bff57ac8f425fc862f2e1a4496d03)
![{\displaystyle {\boldsymbol {p}}(u)={\begin{pmatrix}x(t(u))\\y(t(u))\\z(t(u))\end{pmatrix}},u\in [c,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0b4552dfc15a3190d06b848a26293e223c2b8f)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}[\kappa ,\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51c65c77f5e89ffda6631c022e1df8d343c115d)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}[c_{1},c_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907e018e7fa3f0b0f39f5854039ba91958d2dbda)
![{\displaystyle {\text{∆}}T_{i}=[s_{i},s_{i}+{\text{∆}}s_{i}]\times [t_{i},t_{i}+{\text{∆}}t_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bb6aa8e50da12423d155ad9bb61452657c6745)
![{\displaystyle \theta \in [-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\tau }{4}}],\phi \in [-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3448ce2a8a1b9e5ce3c083228291b0136b7656d1)
