解析学基礎/ロピタルの定理

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ロピタルの定理Ⅰ[編集]

ここでは微分法の応用の一つであるロピタルの定理に関して述べる事にします。この定理は0/0及び∞/∞の形の不定形の極限に関する定理です。

  • 関数近傍で微分可能であり、を満たすならば

 が成り立つ。

証明
コーシーの平均値の定理

に於いてを代入すれば

が成り立ちます。ここで極限をとれば

となって定理が成立する事が分かります。(証明終)

ロピタルの定理Ⅱ[編集]

 次に極限をとった時に不定形0/0となる場合について考察します。

  • 関数が原点から十分遠い点で微分可能であるとする。この時以下の命題が成り立つ。;
 。

証明
  まず二つの関数を考えると

が成り立ちます。ここでF(x)、G(x)を微分すれば

が成立します。これらの等式より

 及び 

が言えますので上述のロピタルの定理ⅠをF(x)、G(x)に適用する事により

が成り立つ事が分かります。(証明終)

ロピタルの定理Ⅲ[編集]

 ここでは∞/∞型不定形極限に関するロピタルの定理について議論する事にします。

  • 関数近傍で微分可能であるとする。この時以下の命題が成り立つ。;

証明
題意の結論の右辺の極限値をと書いてε‐δ論法で表すと

が成り立ちます。またコーシーの平均値の定理より

、(ただしまたはのいずれかが成立)

が言えます。ここでの近くにとればよりも更にに近くなるので上述のε‐δ論法より

 及び 

が成立します。これに上記のコーシーの平均値の定理を代入して極限をとれば仮定のより

、()

となりますから

が得られます。これはを表しており、が導かれた事になります。(証明終)