解析学基礎/三角関数

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ここでは、三角関数について解説する。

高等学校数学I/図形と計量及び高等学校数学II/三角関数も参照。

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基本事項

ここでは、高校数学の「三角関数」で学習した事項を再確認すると共に、高校では触れなかった幾つかの概念を補完する。また、高等学校とは違う流儀で解説する箇所もある。

三角比

まずは素朴な定義を紹介する。

直角三角形ABCを考える。角Cが直角であるとき、角Aを$\theta$とおく。このとき、三角形の直角に対向する辺ABを斜辺(しゃへん)、角Aに対向する辺BCを対辺(たいへん)、残りの辺CAを隣辺(りんぺん)という。斜辺をr、対辺をy、隣辺をxとおくと、三角比は以下のように定義される。

正弦(せいげん)：$\sin \theta :={\frac {y}{r}}$（sinは「sine」の略）

余弦(よげん)：$\cos \theta :={\frac {x}{r}}$（cosは「cosine」の略）

正接(せいせつ)：$\tan \theta :={\frac {y}{x}}$（tanは「tangent」の略）

余接(よせつ)：$\cot \theta :={\frac {x}{y}}$（cotは「cotangent」の略）

正割(せいかつ)：$\sec \theta :={\frac {r}{x}}$（secは「secant」の略）

余割(よかつ)：$\csc \theta :={\frac {r}{y}}$（cscは「cosecant」の略）

$\theta$は三角形の内角なので、定義域は当然$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$である。$\theta =0^{\circ }$のときはcsc・cot、$\theta =180^{\circ }$のときはsec・tanがそれぞれ定義不能になる（ゼロ除算が発生するため）。

それぞれの定義から、以下の公式が導かれる。

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}$

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$

$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}$

$x=r\cos \theta =y\cot \theta$

$y=r\sin \theta =x\tan \theta$

また、余角(よかく)（$90^{\circ }-\theta$）に対して正弦・正接・正割を定義すると、以下が成り立つことがわかる。（余角の公式）

$\sin(90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$

$\tan(90^{\circ }-\theta )=\cot \theta$

$\sec(90^{\circ }-\theta )=\csc \theta$

余弦・余接・余割の「余」はここからきている。英語の「co-」は「補」という意味の接頭辞なので、和名と英語名がある程度対応していることがわかる。

逆に、余角に対して余弦・余接・余割を定義すると以下が成り立つ。（余角の公式）

$\cos(90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$

$\cot(90^{\circ }-\theta )=\tan \theta$

$\csc(90^{\circ }-\theta )=\sec \theta$

有名角における三角比の値

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$
$0^{\circ }$	$0$	$1$
$30^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$45^{\circ }$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$
$60^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$
$90^{\circ }$	$1$	$0$

最低限これを覚えておけば、他の公式で使いたい値を導き出すことができる。

また、三角比では値を必ずしも有理化する必要はない。

一般角・弧度法

一般の(実)三角関数を考える前に、角の概念を拡張する。

平面上で点Oを中心として半直線OPを回転させるとき、OPを動径(どうけい)、その最初の位置を示す半直線OXを始線(しせん)という。

動径が左回転のときの回転角を正の角、右回転のときの回転角を負の回転角と定める。

このようにして、角を回転の向きと大きさを表す量として拡張したものを一般角という。一般角$\theta$に対して始線OXから角$\theta$だけ回転した位置にある動径OPをθの動径という。動径は一周（360°回転）すると元の場所に戻ることから、動径の一致する角を動径の表す角という。動径の表す角θのうち、$-180^{\circ }\leqq \theta <180^{\circ }$または$0^{\circ }\leqq \theta <360^{\circ }$の範囲にあるものを偏角という。

半径1の扇形において、孤の長さが$\theta$であるときの角度を$\theta [\mathrm {rad} ]$と定める。「rad」は「ラジアン」と読むが、無次元量なので特に断りがない限り省略することとする。このようにして角度を定める方法を弧度法(こどほう)という。今まで用いてきた、一周を360°とする角度の定め方は度数法(どすうほう)という。角度θに対する弧長を$\mathrm {arc} \,\theta$と書く場合があるが、弧度法においては常に$\mathrm {arc} \,\theta =\theta$である。

円周長の公式より$360^{\circ }=2\pi$であるが、一周を表す弧度の係数が2なのは気持ち悪いので、$\tau =2\pi$と定めてτ(タウ)を用いることにする。則ち、$\tau =360^{\circ }$である。

弧度法から度数法への変換は上の関係式を用いてできる。

偏角をαとしたとき、弧度法を用いると動径の表す角は$\alpha +n\tau$（$n$は整数）と表せる。

三角関数

xy平面上で原点Oを中心とする半径rの円を考える。円上の点A(x, y)からx軸に下ろした垂線の足をBとする。このとき、$\angle AOB=\theta$とすると直角三角形AOBを考えることにより先ほどと同様の三角比の定義ができる。ただし、先程とは違い定義域は実数全体である（ゼロ除算が発生する場合を除く）。

三角比は$\theta$のみに依存するため、$\theta$の関数である。関数$y=\sin \theta$を正弦関数、以下余弦関数、正接関数、余接関数、正割関数、余割関数という。6つを総称して三角関数（円関数とも）という。後ろの3つは前の3つの逆数であることから特に割三角関数と呼ばれる。

半径1（単位円）の場合を考えると、$x=\cos \theta ,y=\sin \theta$が常に成り立つ。

単位円の図.$(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$

単位円の図を書くことにより、以下が直ちに導かれる。

$\sin \theta$の値域：$[-1,1]$

$\cos \theta$の値域：$[-1,1]$

$\tan \theta$の値域：$(-\infty ,\infty )$

$\cot \theta$の値域：$(-\infty ,\infty )$

$\sec \theta$の値域：$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$

$\csc \theta$の値域：$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$

$\sin \theta ={\frac {y}{r}},\cos \theta ={\frac {x}{r}},x^{2}+y^{2}=r^{2}$より以下が導かれる。（ピタゴラスの基本三角関数公式）

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

但し、三角関数$T(\theta )$について$T^{2}(\theta )=\{T(\theta )\}^{2}$であることに注意。（通常の関数とは異なり、$T^{2}(\theta )=(T\circ T)(\theta )$ではない。）

両辺を$\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta$で割るとそれぞれ以下を得る。

$\sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta$

$\csc ^{2}\theta =1+\cot ^{2}\theta$

単位円の図から、以下の公式が導かれる。（負角(ふかく)の公式・補角(ほかく)の公式）

$\sin(-\theta )=-\sin \theta$

$\cos(-\theta )=\cos \theta$

$\tan(-\theta )=-\tan \theta$

$\sin({\frac {\tau }{2}}-\theta )=\sin \theta$

$\cos({\frac {\tau }{2}}-\theta )=-\cos \theta$

$\tan({\frac {\tau }{2}}-\theta )=-\tan \theta$

ここから、正弦関数・正接関数が奇関数、余弦関数が偶関数であることがわかる。

また、動径の周期性より以下が成り立つ。

$\sin(\theta +n\tau )=\sin \theta$

$\cos(\theta +n\tau )=\cos \theta$

$\tan(\theta +n\tau )=\tan \theta$

更に、以下の公式が成り立つ。

$\sin(\theta +{\frac {\tau }{2}})=-\sin \theta$

$\cos(\theta +{\frac {\tau }{2}})=-\cos \theta$

$\tan(\theta +{\frac {\tau }{2}})=\tan \theta$

$\sin(\theta +{\frac {\tau }{4}})=\cos \theta$

$\cos(\theta +{\frac {\tau }{4}})=-\sin \theta$

$\tan(\theta +{\frac {\tau }{4}})=-\cot \theta$

これらの公式は後述の加法定理を用いることで容易に証明できる。

正弦関数・余弦関数のグラフは下のように特徴的なカーブを描く。これを正弦曲線（サインカーブ）という。

正接関数のグラフは以下のようになる。

漸近線は直線$\theta ={\frac {\tau }{4}}+{\frac {n}{2}}\tau$（nは整数）

先程の公式とグラフの双方から、正弦関数と余弦関数の周期は$\tau$、正接関数の周期は${\frac {\tau }{2}}$であることがわかる。

三角関数の引数$\theta$を$k$倍すると、周期は${\frac {1}{k}}$倍される。

加法定理

回転行列を$R(\theta )$とする。

θだけ回転してからφだけ回転するのとθ+φだけ回転するのは同じ操作なので、

$R(\theta )R(\phi )=R(\theta +\phi )$

$\mathrm {rhs} ={\begin{pmatrix}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{pmatrix}}$

$\mathrm {lhs} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi &-(\cos \theta \sin \phi +\sin \theta \cos \phi )\\\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi &\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi \end{pmatrix}}$

(1,1)成分と(2,1)成分を見ると、以下が成り立つことがわかる。ただし、複合同順である。（三角関数の加法定理）

$\sin(\theta \pm \phi )=\sin \theta \cos \phi \pm \cos \theta \sin \phi$

$\cos(\theta \pm \phi )=\cos \theta \cos \phi \mp \sin \theta \sin \phi$

(上の式)/(下の式)を考えると、簡単な式変形により以下を得る。

$\tan(\theta \pm \phi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \phi }{1\mp \tan \theta \tan \phi }}$

上の3つの式の逆数をとることで割三角関数の加法定理を得る。

$\phi =\theta ,2\theta ,3\theta ,\cdots$を考えることで倍角の公式を得る。

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta$

$\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$

$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$

$\vdots$

3倍角まではよく使うので、自然に覚えるだろう。

2倍角の式を変形することで、以下を得る。（半角の公式）

$\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

$\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$

$\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

加法定理の式の和や差を考えることで、以下を得る。（積和の公式）

${\begin{aligned}\sin \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \sin \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\}\\\sin \alpha \sin \beta &=-{\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\}\end{aligned}}$

更に変形することで以下を得る。（和積の公式）

${\begin{aligned}\sin A+\sin B&=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\sin A-\sin B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\end{aligned}}$

三角関数の和$a\sin \theta +b\cos \theta$について、実数平面上に点$P(a,b)$をとる。 このとき、Pが半径${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$の円周上にあると考えて${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}(\sin \theta \cdot {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\cos \theta \cdot {\frac {b}{{\sqrt {a^{2}}}+b^{2}}})$と変形したとき、線分OPを動径とみた回転角を$\alpha$とおくと$\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$が成り立つ。よって、加法定理の逆より$a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\theta +\alpha )$である。

このように、正弦と余弦の和を正弦関数で表すことを正弦合成という。

平面上にとる点を$Q(b,a)$に変えたとき、動径OQの回転角を$\beta$とおくと同様にして$a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(\theta -\beta )$を得る。

このように、正弦と余弦の和を余弦関数で表すことを余弦合成という。

合成した式は加法定理で展開すると元に戻る。

動径の回転角の値は、三角方程式$\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\tan \beta ={\frac {b}{a}}$を解くことにより簡単に求まる。

$t=\tan {\frac {x}{2}}$とおく（ワイエルシュトラス置換）と、2倍角の公式より三角関数の媒介変数表示を得る。

$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\tan x\cos ^{2}x={\frac {2\tan x}{\sec ^{2}x}}={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\therefore \sin x={\frac {2\tan {\frac {x}{2}}}{1+(\tan {\frac {x}{2}})^{2}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}}-{\frac {\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{\sec ^{2}x}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\therefore \cos x={\frac {1-(\tan {\frac {x}{2}})^{2}}{1+(\tan {\frac {x}{2}})^{2}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

$\tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

$\therefore \tan x={\frac {2\tan {\frac {x}{2}}}{1-(\tan {\frac {x}{2}})^{2}}}={\frac {2t}{1-t^{2}}}$

割三角関数の媒介変数表示は各関数の逆数を考えれば得られる。

その他の三角比

点Oを中心とする単位円において、始線をOD、動径をOA、$\angle AOD=\theta$とする。

AからODに下ろした垂線の足をCとすると、三角関数の定義より${\overline {OC}}=\cos \theta ,{\overline {AC}}=\sin \theta$である。

半直線ODと点Aにおける単位円の接線の交点を$E$とすると、$\triangle OAE$の正接について考えることで${\overline {AE}}=\tan \theta$であることがわかる。これが「正接」という名の由来である。

また、${\overline {OE}}\sin \theta =\tan \theta$より${\overline {OE}}={\frac {1}{\cos \theta }}=\sec \theta$が導かれる。$OE$が円の割線であることが「正割」という名前の由来である。

点OからOEに垂直な直線を引き、直線AEとの交点をFとする。このとき、二角相等より$\triangle AOE$ ∽ $\triangle OFE$なので$1:{\overline {OF}}=\tan \theta :\sec \theta$であり、${\overline {OF}}=\sec \theta \cot \theta =\csc \theta$と求まる。

$\triangle AOF$について$\angle AOE=\theta$より、 ${\overline {AF}}={\overline {OF}}\cos \theta ={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}=\cot \theta$である。

これにて、6つの三角比を単位円の図に図示することができた。

三角比は更に幾つか存在する。

嘗て重要視された三角比として、正矢(せいし)と余矢(よし)がある。

それぞれの定義は以下である。

正矢：$\mathrm {versin} \,\theta :=1-\cos \theta$（versinは「versed sine」の略）

余矢：$\mathrm {cvs} \,\theta :=1-\sin \theta$（cvsは「coversed sin」の略）

線分OFと単位円の交点をHとすると、${\overline {CD}}=\mathrm {versin} \,\theta ,{\overline {GH}}=\mathrm {cvs} \,\theta$である。

正弦・余弦・正接・余接・正割・余割・正矢・余矢の8つの三角比は日本では八線と呼ばれ、値を記した数表が作られたり伊能忠敬が測量の計算に用いたりした。

なお、曲率をr、弧長をθとすると曲線の矢高(しこう)（やだか、円弧の高さ、弦と弧の最長距離を表す）は$r\,\mathrm {versin} \,\theta$と表される。また、単振り子の回転角をθとするとその位置エネルギーは$mgl\,\mathrm {versin} \,\theta$である。

あまり使われないが以下のような三角比も定義されている。

$\mathrm {vercos} \,\theta :=1+\cos \theta$（vercosは「versed cosine」の略）

$\mathrm {cvc} \,\theta :=1+\sin \theta$（cvcは「coversed cosine」の略）

$\mathrm {versin} \,\theta$の値域は$[0,2]$であったため、実際には半分にした値が数表・計算に用いられていた。

$\mathrm {hav} \,\theta :={\frac {1}{2}}\mathrm {versin} \,\theta$（havは「half versed sine」の略）

$\mathrm {hcv} \,\theta :={\frac {1}{2}}\mathrm {cvs} \,\theta$（hcvは「half coversed sine」の略）

$\mathrm {havercos} \,\theta :={\frac {1}{2}}\mathrm {vercos} \,\theta$（havercosは「half versed cosine」の略）

$\mathrm {hacovercos} \,\theta :={\frac {1}{2}}\mathrm {cvc} \,\theta$（hacovercosは「half coversed cosine」の略）

更に、以下のような三角比も存在する。

$\mathrm {exsec} \,\theta :=\sec \theta -1$（exsecは「exterior secant」の略）

$\mathrm {excsc} \,\theta :=\csc \theta -1$（excscは「exterior cosecant」の略）

中心角θ、半径Rの扇形の端点における二本の接線の交点と弧との距離は$R\,\mathrm {exsec} {\frac {1}{2}}\theta$と表される。この式は鉄道のレールを敷設する際に利用された。

先程の単位円においては${\overline {DE}}=\mathrm {exsec} \,\theta ,{\overline {HF}}=\mathrm {excsc} \,\theta$である。

中心角θに対する弦の長さを$\mathrm {crd} \,\theta$と書き、三角比のように扱った時代もあった。（crdは「chord」の略。）

$\mathrm {crd} \,\theta$

$={\sqrt {\sin ^{2}\theta +\mathrm {versin} ^{2}\,\theta }}$

$={\sqrt {\sin ^{2}\theta +(1-\cos \theta )^{2}}}$

$={\sqrt {2-2\cos \theta }}$

$={\sqrt {4\cdot {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$

$={\sqrt {4\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}$

$=2\sin {\frac {\theta }{2}}$

これらの三角比は計算機の無かった時代、三角関数表を用いて大量に手計算をする必要があった時代に需要があったものである。何れも正弦・余弦・正接を用いて簡単に表せるため、現在は関数電卓やコンピュータの発達により態々これらの関数を定義したり各関数の数表を利用する必要は無くなった。（余接・正割・余割も高校範囲から消え、大学においても活躍の機会が減りつつある）。

最後に、単位円と各関数に対応する辺の図を載せる。

単位円と各三角関数に対応する辺

解析的な取り扱い

幾何的な取り扱いは高等学校数学及び幾何学の各分野を参照。

逆三角関数

三角関数の逆関数を逆三角関数という。三角関数の周期性からわかるように三角関数は単射でなく、逆三角関数は多価関数であるので、通常は定義域を制限する。

逆三角関数の記法は二通りある。

一つは、通常の関数のようにインバースを用いて書く記法である。三角関数においては$T^{n}(\theta )=\{T(\theta )\}^{n}$なので$T^{-1}(\theta )$は三角関数の逆数なのか逆関数なのか分かりづらいという問題がある。しかし、正弦・余弦・正接の逆数を余割・正割・余接で表すことで区別することができ、更に多価関数の定義域を制限していることを強調するために1文字目を大文字にする流儀（例：$\mathrm {Sin} ^{-1}\,\theta$）を採用すると誤解の可能性を更に減らすことができる。

もう一つは、逆三角関数で出力の出力値が角度であることと弧度法において常に$\mathrm {arc} \,\theta =\theta$であることから、関数の前に「arc」という接頭辞をつける記法である。記述量が増えるというデメリットはあるが、こちらを採用するとインバース記法のような誤解の可能性は0である。なお、コンピュータプログラミング等では「arc」を「a」と省略した記法も見られる。

このページでは、接頭辞を用いる記法を採用する。

通常、定義域と主値の終域は以下のように設定される。

関数	定義域	主値の終域
$\arcsin x$	$x\in [-1,1]$	$[-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}}]$
$\arccos x$	$x\in [-1,1]$	$[0,{\frac {\tau }{2}}]$
$\arctan x$	$x\in \mathbb {R}$	$(-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}})$
$\operatorname {arccot} x$	$x\in \mathbb {R}$	$(0,{\frac {\tau }{2}})$
$\operatorname {arcsec} x$	$x\notin (-1,1)$	$[0,{\frac {\tau }{4}})$ or $({\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{2}}]$
$\operatorname {arccsc} x$	$x\notin (-1,1)$	$[-{\frac {\tau }{4}},0)$ or $(0,{\frac {\tau }{4}}]$

三角関数に逆三角関数を代入すると以下のようになる。ただし、$x\in [0,1]$である。

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	図
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

逆三角関数に関して、以下の公式が成り立つ。

余角：

$\arccos x={\frac {\tau }{4}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\tau }{4}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\tau }{4}}-\operatorname {arcsec} x$

負角：

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$

$\arccos(-x)={\frac {\tau }{2}}-\arccos x$

$\arctan(-x)=-\arctan x$

$\operatorname {arccot}(-x)={\frac {\tau }{2}}-\operatorname {arccot} x$

$\operatorname {arcsec}(-x)={\frac {\tau }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x$

逆数：

$\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x$

$\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\tau }{4}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x\quad (x>0)$

$\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\tau }{4}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x\quad (x<0)$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\tau }{4}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x\quad (x<0)$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3}{4}}\tau -\operatorname {arccot} x={\frac {\tau }{2}}+\arctan x\quad (x<0)$

$\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$

$\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

また、正接の加法定理より以下が導かれる。

$\arctan u+\arctan v\equiv \arctan {\frac {u+v}{1-uv}}{\pmod {\pi }}\quad (uv\neq 1)$

三角関数の極限

三角関数の極限を扱ううえで最も重要な式$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$（基本極限）を（天下り的だが）証明する。

二階線型常微分方程式${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+y=0$の解となる関数$y=f(x)$を考える。${\begin{cases}f(0)=0\land f'(0)=1\implies f(x)=\sin x\\f(0)=1\land f'(0)=0\implies f(x)=\cos x\end{cases}}$と定める。この初期値に於いて、与えられた二階線型常微分方程式の解が一意に定まることはw:ピカール＝リンデレーフの定理の定理により示される。こうして定義された三角関数がこれまで述べた基本性質（及び幾何的性質）を満たすことは容易に証明される。

$\sin x,\cos x$は係数が全て$C^{\infty }$級（無限回微分可能）な線型常微分方程式の解なので$C^{\infty }$級である。よって関数${\frac {\sin x}{x}}$は$[-\infty ,0),(0,\infty ]\ni x$で微分可能、すなわち連続である。

ここで微分係数の定義より$\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=f'(0)$であるが、$f(x)=\sin x$だとすると初期値$f(0)=0,f'(0)=1$より、$1=f'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\sin 0}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$が成り立つ。//

この証明では$(\sin x)'=\cos x$を用いずとも微分係数が1であることを用いれるのがポイントである。なお、後述の定積分による定義やテイラー展開を用いて証明する方法も考えられ、高校数学の範疇で証明することも可能である。

三角関数の微積分

上で求めた極限値を用いることで、正弦関数の導関数を求めることができる。

$(\sin x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}$（$\because$和積の公式）

$=\lim _{h\to 0}\{\cos(x+{\frac {h}{2}})\cdot {\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\}$

$=\lim _{h\to 0}\cos(x+{\frac {h}{2}})\times \lim _{h\to 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}$（$\because$各項が収束）

$=\cos x\cdot 1$

$=\cos x$

余弦関数、正接関数の導関数は以下のように求まる。

$(\cos x)'=(\sin(x+\tau ))'$

$=\cos(x+\tau )\cdot (x+\tau )'$（$\because$合成関数の微分）

$=\cos(x+\tau )$

$=-\sin x$

$(\tan x)'=({\frac {\sin x}{\cos x}})'$

$={\frac {\cos x(\sin x)'-(\cos x)'\sin x}{\cos ^{2}x}}$（$\because$商の微分）

$={\frac {\cos x\cos x-(-\sin x)\sin x}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}$

$=({\frac {1}{\cos x}})^{2}$

$=\sec ^{2}x$

正接関数と同様の方法で、正割関数、余割関数、余接関数の導関数も求まる。

$(\sec x)'=({\frac {1}{\cos x}})'$

$={\frac {\cos x\cdot (1)'-(\cos x)'\cdot 1}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {\cos x\cdot 0-(-\sin x)\cdot 1}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}$

$=\sec x\tan x$

$(\csc x)'=({\frac {1}{\sin x}})'$

$={\frac {\sin x\cdot (1)'-(\sin x)'\cdot 1}{\sin ^{2}x}}$

$={\frac {\sin x\cdot 0-\cos x\cdot 1}{\sin ^{2}x}}$

$=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}$

$=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}$

$=-\csc x\cot x$

$(\cot x)'=({\frac {\cos x}{\sin x}})'$

$={\frac {\sin x(\cos x)'-(\sin x)'\cos x}{\sin ^{2}x}}$

$={\frac {\sin x(-\sin x)-\cos x\cos x}{\sin ^{2}x}}$

$={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}$

$=-({\frac {1}{\sin x}})^{2}$

$=-\csc ^{2}x$

逆三角関数の導関数は以下のように求まる。

$y=\arcsin x\iff x=\sin y\quad (y\in [-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}}])$

${\frac {d}{dx}}x=\cos y\cdot {\frac {d}{dx}}y$

$\therefore {\frac {1}{\cos y}}={\frac {dy}{dx}}$

$y\in [-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}}]\implies \cos y\geq 0$

$\therefore \cos y={\sqrt {1-\sin y^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\therefore (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$y=\arccos x\iff x=\cos y\quad (y\in [0,{\frac {\tau }{2}}])$

${\frac {d}{dx}}x=-\sin y\cdot {\frac {d}{dx}}y$

$\therefore -{\frac {1}{\sin y}}={\frac {dy}{dx}}$

$y\in [0,{\frac {\tau }{2}}]\implies \sin y\geq 0$

$\therefore \sin y={\sqrt {1-\cos y^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\therefore (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$y=\arctan x\iff x=\tan y\quad (y\in [-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}}])$

${\frac {d}{dx}}x=\sec ^{2}y\cdot {\frac {d}{dx}}y$

$\therefore {\frac {1}{\sec ^{2}y}}={\frac {dy}{dx}}$

$\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y=1+x^{2}$

$\therefore (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$(\operatorname {arcsec} x)'=(\arccos {\frac {1}{x}})'$（$\because$逆三角関数の逆数公式）

$=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot ({\frac {1}{x}})'$

$=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$

$={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}$

$={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$（$|x|=|\sec y|\geq 1$）

$(\operatorname {arccsc} x)'=(\arcsin {\frac {1}{x}})'$（$\because$逆三角関数の逆数公式）

$={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot ({\frac {1}{x}})'$

$={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$

$=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}$

$=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$（$|x|=|\csc y|\geq 1$）

$y=\operatorname {arccot} x\iff x=\cot y\quad (y\in [0,{\frac {\tau }{2}}])$

${\frac {d}{dx}}x=-\csc ^{2}y\cdot {\frac {d}{dx}}y$

$\therefore -{\frac {1}{\csc ^{2}y}}={\frac {dy}{dx}}$

$\csc ^{2}y=1+\cot ^{2}y=1+x^{2}$

$\therefore (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

三角関数の第n次導関数は以下のような形で表される。

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sin x=\sin(x+{\frac {n}{4}}\tau )$

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\cos x=\cos(x+{\frac {n}{4}}\tau )$

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\tan x=\sum _{k=1}^{n}T_{n,k}\tan ^{2k-1}x$（ただし$T_{n,k}$は再帰関係式$T_{n+1,k}=(2k-1)T_{n,k-1}+(2k+1)T_{n,k+1}$と初期条件で定まるタンジェント数）

上で述べた各関数の微分公式から以下の積分公式を得る（ただし、定義域・積分区間・定数項に注意）。

$\sin x=\int _{0}^{x}\cos t\,dt$

$\cos x=\int _{x}^{0}\sin t\,dt$

$\tan x=\int _{0}^{x}\sec ^{2}t\,dt\quad (\cos x\neq 0$が成り立つ範囲$)$

$\sec x=\int _{0}^{x}\sec t\tan t\,dt+1\quad (\cos x\neq 0$が成り立つ範囲$)$

$\csc x=\int _{x}^{0}\csc t\cot t\,dt+1\quad (\sin x\neq 0$が成り立つ範囲$)$

$\cot x=\int _{x}^{\frac {\tau }{4}}\csc ^{2}t\,dt\quad (\sin x\neq 0$が成り立つ範囲$)$

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}\quad (|x|\leq 1)$

$\arccos x=\int _{x}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}\quad (|x|\leq 1)$

$\arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+x^{2}}}$

$\operatorname {arcsec} x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\quad (x\geq 1)$

$\operatorname {arccsc} x=\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\quad (x\geq 1)$

$\operatorname {arccot} x=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}$

※逆三角関数に関する上の定積分を三角関数の定義とする流儀も存在する。この流儀を採用した場合、三角関数は双曲線関数とともにヤコビの楕円関数の特殊な場合として統一的に扱われる。

$C$を積分定数とすると、各関数の原始関数は以下のように得られる。

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$

$\because \sin x=(-\cos x)'$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C$

$\because \cos x=(\sin x)'$

$\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {(\cos x)'}{\cos x}}=-\ln |\cos x|+C$

$\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}\,dx=\int {\frac {-dt}{1-t^{2}}}={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)={\frac {1}{2}}(-\ln |1-t|+\ln |1+t|)+C={\frac {1}{2}}\ln |{\frac {1+t}{1-t}}|+C$

ここで$|\sin x|\leq 1$より${\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\geq 0$^※なので

$=\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C\quad (=\ln \left({\frac {\csc x+1}{\csc x-1}}\right)+C)$

※$\sin x=1$のとき積分の値は存在しない。

$\int \csc x\,dx=\int {\frac {dx}{\sin x}}=\int {\frac {1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |\tan {\frac {x}{2}}|+C\quad (=\ln {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}+C)$

$\int \cot x\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx=\int {\frac {(\sin x)'}{\sin x}}=\ln |\sin x|+C$

$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=x\arcsin x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}\,du=x\arcsin x-(-{\sqrt {1-x^{2}}})+C=x\arcsin x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arccos x\,dx=\int ({\frac {\tau }{4}}-\arcsin x)\,dx={\frac {\tau }{4}}x-(x\arcsin x-{\sqrt {1-x^{2}}})+C=x({\frac {\tau }{4}}-\arcsin x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C=x\arccos x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arctan x\,dx=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {(1+x^{2})'}{1+x^{2}}}\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

$\int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\int {\frac {x}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=x\operatorname {arcsec} x-\int {\frac {dt}{t}}=x\operatorname {arcsec} x-\ln |t|+C=x\operatorname {arcsec} x-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C$

$\int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x-\int {\frac {-x}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C$

$\int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x-\int {\frac {-x}{1+x^{2}}}\,dx=x\operatorname {arccot} x+\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

なお、余割関数の積分にはワイエルシュトラス置換（$t=\tan {\frac {x}{2}}$）、逆正割関数の積分にはオイラー置換（$t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$）を用いた。

更に、以下が成り立つ（証明は初等数学公式集/微積分を参照）。

$\int \cot ^{2}x=-\cot x-x+C$

${\displaystyle }$

$\int {\frac {dx}{\sin x\cos x}}=\ln |\tan x|+C$

$\int {\frac {dx}{1\pm \sin x}}=\tan x\mp \sec x+C$

$\int {\frac {dx}{1\pm \cos x}}=-\cot x\pm \csc x+C$

三角関数の有名な積分結果として、ウォリス積分が知られている。

$\int _{0}^{\frac {\tau }{4}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\tau }{4}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {\tau }{4}}\prod _{k=2}^{n}{\frac {k-1}{k}}={\frac {\tau }{4}}\cdot {\frac {(n-1)!!}{n!!}}$

導出法を簡単に説明する。

左辺を$I_{n}$とおいて2回部分積分すると、階比数列型漸化式$I_{n}={\frac {n-1}{n}}I_{n-2}$を得る。

$I_{0}$を求め、$n\equiv 1,0(\mathrm {mod} 2)$で場合分けしてそれぞれについて漸化式を繰り返し計算して$I_{n}$を求める。

最右辺の記号$!!$はw:二重階乗を表す。

三角関数のテイラー展開

近似式の次数を上げていくことを考える。

近似式ではある関数を任意次の多項式で近似している。精度よく近似するために、例えば$a$近傍で近似したいときは、$x=a$における「関数の値」「接線の傾き」「曲率」・・・が一致するようにしたい。故に、n次で近似したいなら0～n階微分した微分係数が全て一致するようにしたい。よって、n次の項の係数には$f^{(n)}(a)$が含まれる。また、a近傍で多項式近似するのでn次の項に$(x-a)^{n}$を含む。故に、n次の項をn階微分して出てくる$n!$を打消すために近似多項式全体を$n!$で割る。

これを踏まえて、n次近似式のn次の項は${\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$と予想できる。故に、n次近似式全体は$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$と考えられる 。一次近似式・二次近似式はこの形である。そのため、近似式のこの拡張は妥当であると判断する。

このn次多項式の次数を無限に大きくした（$n\to \infty$）とき、この多項式の極限は元の関数に一致する。

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

これを関数のテイラー展開という。右辺の無限級数をテイラー級数という。

$a$は任意の実数であるので、扱いやすくするため0に置き換えてもよい。

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

これを特に関数のマクローリン展開という。右辺の無限級数をマクローリン級数という。

無限級数の扱いや収束条件については別頁に譲るが、テイラー級数やマクローリン級数のように、冪関数の線型結合で表される無限級数$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$（$\{a_{n}\}$は$x$に無関係な無限数列）を冪級数という。また、定数$c$を冪級数の中心という。

三角関数のテイラー展開を考える。

正弦関数と余弦関数のテイラー展開がわかれば他の関数はその商で得られる。ここで「無限級数の商を考えてよいのか」という疑問が湧くだろうが、テイラー級数は絶対収束（別頁参照）するので分母が0にならなければ商を考えてよい。

よって、正弦関数と余弦関数のみについて考える。

$\sin x\xrightarrow {\frac {d}{dx}} \cos x\xrightarrow {\frac {d}{dx}} -\sin x\xrightarrow {\frac {d}{dx}} -\cos x\xrightarrow {\frac {d}{dx}} \sin x$に注意すると、

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

とマクローリン展開できる。

逆三角関数のマクローリン展開は以下のように導出される。

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}\quad (|x|\leq 1)$

被積分関数のマクローリン展開を考えると、一般二項係数の性質^※より

${\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}=(1-t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{}_{-{\frac {1}{2}}}\!\mathrm {C} _{n}(-t^{2})^{n}=\sum _{0}^{\infty }{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}\left({\frac {t^{2}}{4}}\right)^{n}$

よって、

$\arcsin x=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}\left({\frac {t^{2}}{4}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}{\frac {1}{4^{n}}}\int _{0}^{x}t^{2n}\,dt$（$\because$被積分関数が一様収束より積分操作と総和をとる操作を交換しても良い）

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}}{4^{n}}}\left[{\frac {t^{2n+1}}{2n+1}}\right]_{0}^{x}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}x^{2n+1}}{(2n+1)4^{n}}}$//

被積分関数のマクローリン展開を積分するという通常のマクローリン展開とは異なる方法で導出したが、最終的に求まった式はマクローリン展開の一般式を満たし、これは逆正弦関数のマクローリン展開といってよい。マクローリン展開の一般式に$f(x)=\arcsin x$を代入しても求まるが、そちらは非常に煩雑な手順を踏む必要がある。

※具体的には、${}_{-{\frac {1}{2}}}\!\mathrm {C} _{n}={\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}={}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}\left(-{\frac {1}{4}}\right)^{n}$という変形を用いた。

$\arccos x={\frac {\tau }{4}}-\arccos x$より、

$\arccos x={\frac {\tau }{4}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}x^{2n+1}}{(2n+1)4^{n}}}$//

これもマクローリン展開の一般式を満たすため逆余弦関数のマクローリン展開である。

$\arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t^{2}}}\quad (|x|\leq 1)$

$=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }(-t^{2})^{n}\,dt$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$

これも（以下略）。

$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}$

$={\frac {\tau }{4}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}}{(2n+1)4^{n}}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2n+1}$

$={\frac {\tau }{4}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}}{(2n+1)4^{n}}}\cdot {\frac {1}{x^{2n+1}}}$

$\operatorname {arccsc} x=\arcsin {\frac {1}{x}}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}}{(2n+1)4^{n}}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2n+1}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{}_{2n}\!\mathrm {C} _{n}}{(2n+1)4^{n}}}\cdot {\frac {1}{x^{2n+1}}}$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\tau }{4}}-\arctan x$

$={\frac {\tau }{4}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$

三角関数のマクローリン展開を用いた定義による各性質の証明は以下の節に記す。

複素三角関数

複素解析学も参照。

無限級数による定義

三角関数のテイラー展開をそのまま三角関数の定義と見做すことで、三角関数の定義域を複素数に拡張することができる。

一般に関数のテイラー展開をその関数の定義と見做すことで、定義域を実数から更に拡張したり演算子に関する関数や行列値関数を形式的に定義することができる。

つまり、複素三角関数は以下のように定義される。

$\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}$

ここで、この複素冪級数の収束半径は$\infty$であることから、収束半径の定義より右辺は複素数平面上の全ての点$z$において絶対収束することが保証される。

また、これらの値域は任意の複素数である。

一般に、複素関数は非常に強く美しい性質を持つことが知られている。

他の複素三角関数は以下のように定義される。

$\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}$

$\sec z={\frac {1}{\cos z}}$

$\csc z={\frac {1}{\sin z}}$

$\cot z={\frac {1}{\tan z}}$

このように定義された三角関数が先述した基本性質を満足することを以下に証明する。

• 加法定理

$z,w$は任意の複素数なので、

$\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w,\;\cos(z-w)=\cos z\cos w+\sin z\sin w$

を証明すれば充分。

$\sin z\cos w+\cos z\sin w$

$=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}w^{2n}}{(2n)!}}\right)+\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}w^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}}+\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}w^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {(-1)^{n}z^{2k+1}w^{2(n-k)}}{(2k+1)!(2(n-k))!}}+{\frac {(-1)^{n}z^{2k}w^{2(n-k)+1}}{(2k)!(2(n-k)+1)!}}\right]$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\sum _{k=0}^{2n+1}{}_{2n+1}\!\mathrm {C} _{k}z^{k}w^{(2n+1)-k}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z+w)^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$=\sin(z+w)$//

$\cos z\cos w+\sin z\sin w$

$=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}w^{2n}}{(2n)!}}\right)+\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}w^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}}+\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}w^{2(n-k)+1}}{(2(n-k+1))!}}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {(-1)^{n}z^{2k}w^{2(n-k)}}{(2k)!(2(n-k))!}}+{\frac {(-1)^{n}z^{2k+1}w^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!}}\right]$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{}_{2n}\!\mathrm {C} _{k}z^{k}z^{(2n)-k}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z-w)^{2n}}{(2n)!}}$

$=\cos(z-w)$//

加法定理から余角・不角・補角・倍角・積和・和積の公式、周期性、合成も実関数の場合と同様に証明される。

• ピタゴラスの基本三角関数公式

半角の公式を用いて$\sin ^{2}z+\cos ^{2}z={\frac {1-\cos 2z}{1}}+{\frac {1+\cos 2z}{2}}=1$//

• 極限$\lim _{z\to 0}{\frac {\sin z}{z}}=1$

${\frac {\sin z}{z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n+1)!}}$

$=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots$

$z\to 0$のとき第二項以降は明らかに$0$に収束するので、

$\lim _{z\to 0}{\frac {\sin z}{z}}=1$//

なお、$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}0^{2n}}{(2n+1)!}}=1$が成り立つためには$0^{0}=1$と定義されなくてはいけない。

$0^{0}$は通常$\lim _{x\to 0}x^{0}=1,\lim _{x\to 0}0^{x}=0$と不定形であるが、実は解析学の文脈で（特に級数を扱うとき）は$0^{0}=1$と定義した方が合理的な場合が多い。

微分・積分公式の証明は実関数の場合と同様、この極限を基になされる。

以上により、無限級数により定義された三角関数が三角関数の基本性質を満たし、且つ複素数範囲でも基本性質が成り立つことを確認できた。

オイラーの公式

テイラー級数は収束半径が$\infty$なので、任意の$z\in \mathbb {C}$に関して絶対収束する。

$e^{ix}$のテイラー展開を考えると、

$e^{ix}=1+xi-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3!}}i+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}i-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}i+\cdots$

$=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \right)+\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)i$（$\because$絶対収束より和の順番を入れ替えてよい）

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$=\cos x+i\sin x$

この関係式、$e^{ix}=\cos x+i\sin x$をオイラーの公式という。また、$x=\pi$を代入して移項した$e^{i\pi }+1=0$をオイラーの等式という。

オイラーの等式は世界一美しい数式として有名である。理由は、加法単位限の0、乗法単位元の1、幾何学の基礎定数$\pi$、代数学の基礎定数$i$、解析学の基礎定数$e$が一堂に会する式だからである。

オイラーの公式を幾何学的に解釈する。高等学校数学C/複素数平面で扱ったように、$\cos \theta +i\sin \theta$は回転行列$R(\theta )$に対応する回転複素数を表す。つまり、$e^{i\theta }z$は点$z$を原点中心に$\theta$回転した点を表す。$z=1$を考えると、$e^{i\theta }$は基本ベクトル${\vec {e}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$の$\theta$回転を表す。

ここでオイラーの等式に立ち戻ると、$e^{i\pi }=-1$よりも$e^{i\tau }=1$の方が美しいのではないか、という視点が見えてくる。

$e^{i\pi }+1=0$は「点1から単位円周上を半回転して実軸正方向に1進むと原点に戻る」ことを表すが、$e^{i\tau }=1$は「点1から単位円周上を一回転すると点1に戻る」ことを表す。後者の方が美しいと感じるのは自然なことではないか。

閑話休題(それはさておき)、オイラーの公式を用いることでド・モアブルの定理が容易に証明される。

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=(e^{i\theta })^{n}=e^{i(n\theta )}=\cos n\theta +i\sin n\theta$//

先程も述べたように、点$e^{i\theta }$は${\vec {e}}$を原点中心に$\theta$回転させた点を表す。そのため、$e^{i\theta }$を$\angle \theta$のように書くことがある。

また、$\cos \theta +i\sin \theta$を略して$\mathrm {cis} \,\theta$と、三角関数のように書くこともある。この関数$\mathrm {cis} \,\theta$は$e$の肩が純虚数であることに由来して純虚指数関数と呼ばれる。

纏めると、$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }=\angle \theta =\mathrm {cis} \,\theta$である。

これらは全て複素数の極形式（フェーザ表示）に用いられる。

$z=a+bi$の極形式は、

$r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }=r\angle \theta =r\mathrm {cis} \,\theta$

但し$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\;\theta =\arg z=\arctan {\frac {b}{a}}$

$e^{i\theta },e^{-i\theta }$の和・差を考えることで、（実）三角関数の（複素）指数関数表示を得る。

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

これを三角関数の定義とする場合もある。先ほどの複素三角関数における加法定理の証明は、$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$を用いた方が簡便である。