演習2.
座標平面上の点 を通り, に平行な直線 を、
の形で表せ.
解答例1
上の点 について,ある実数 があって,
の座標を とすれば,
.
これから t を消去する. を考えると が消えることが容易に予想されるので,このまま を計算すると,
すなわち
(解答終わり)
解答例2
パラメータ を用いない方法を示す.
問題の直線 は
に平行であったが,これに垂直なベクトル
(成分を逆さにして片方にマイナスをつけた.すると [1].)
を用いれば次のように表現できる.
は を通り に垂直だから,この 上に をとり,
とすると, が 上にある.
…①
の座標を とすれば,
なので,①より
となり,同じ直線の式が得られた.
①のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある.
定義4
直線の方程式()
平面上の点 を通り, に垂直な直線を とする.
この 上に点 をとり, とすると,
は
を満たす. の座標を として成分を計算すると.
の形をしている.
次に,問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく.
演習3.
座標空間の点 を通り,
,
に平行な平面を とする.
上の点 について,
をパラメータ を用いて表せ.
また, の座標を をするとき,
が満たす等式を求めよ.
解答
とおく. は に含まれるベクトルだから,ある実数 を用いて と表すことができる[2].
すなわち として
これらからパラメータ を消去する.
これを に代入して
次に に垂直なベクトル(法線ベクトルという)を用いて,関係式を求めている.
に垂直なベクトル は のそれぞれに垂直だから,
は <math\vec{u} \times \vec{v}</math> に平行である.だから,
とおくことができる.
- ^
ベクトル
に対してベクトル を,
とすると .
あるいは
としても
で同様となる.
- ^ ただし が線形独立である必要がある.ここでは の向きは平行ではなく,これを満たす