「線型代数学/計量ベクトル空間」の版間の差分
線型代数学/ベクトル 2009年6月11日 (木) 00:58 (UTC) より「ノルム」「内積」セクションを移動; 執筆者: 61.210.160.13, 122.18.219.134, 61.121.74.171, 122.18.219.134, 61.121.73.226 ほか |
一般のノルム・内積 |
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このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ(ノルム)や内積を定義する。 |
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2、3次元の数ベクトルの場合は、[[高等学校数学B ベクトル#ベクトルの長さ|高等学校数学B ベクトル]]を参照のこと。 |
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== 数ベクトルのノルム・内積 == |
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ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、 |
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、 |
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:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math> |
:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math> |
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\end{pmatrix}</math> |
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== 内積 == |
=== 内積 === |
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ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。 |
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。 |
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:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math> |
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math> |
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注)そのようなベクトルはただひとつではない。 |
注)そのようなベクトルはただひとつではない。 |
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==一般の線型空間でのノルム・内積== |
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次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。 |
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===定義=== |
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<math>\ V</math> を <math>\bold K</math>上の線型空間とする。 |
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<math> \bold x,\bold y \in \ V </math> に対して、<math> \bold K </math> の元をかえすような演算<math> (\bold x, \bold y)</math>が次の'''(Ⅰ)'''~'''(Ⅳ)'''の性質をみたすとき、<math> (\bold x, \bold y)</math>を'''内積'''という。 |
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;(Ⅰ)<math>(\bold x,\bold y_1 + \bold y_2) = (\bold x,\bold y_1) + (\bold x,\bold y_2)</math> :<math>(\bold x_1 +\bold x_2, \bold y) = (\bold x_1,\bold y) + (\bold x_2,\bold y) </math> |
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;(Ⅱ)<math>(c\bold x,\bold y) = c(\bold x,\bold y) ,(\bold x,c\bold y) = \bar c(\bold x,\bold y) </math> :(<math>\bar c </math>は<math>\ c</math> の複素共役) |
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;(Ⅲ)<math>(\bold x,\bold y) = \overline {(\bold y,\bold x)} </math> |
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;(Ⅳ)<math>(\bold x, \bold x) \geq 0 </math> :<math>(\bold x,\bold x) = 0 </math> が成り立つのは、<math>\bold x = \bold 0 </math> のときに限る。 |
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また、 |
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:<math>|| \bold x || = \sqrt{(\bold x ,\bold x)}</math> |
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で定義される量を'''x'''の'''ノルム'''という。 |
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このように、内積が定義された線型空間を'''計量ベクトル空間'''('''計量線型空間''')という。 |
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===例=== |
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1.<math> \ V = \C^n ,\bold x,\bold y \in \C^n</math> のとき、 |
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:<math> (\bold x,\bold y) = \sum^{n}_{i=1} x_i\bar y_i </math> |
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とすれば、これは内積になっている。 |
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2.<math>\ V = \ M(m,n;\R) ,\ A,\ B \in \ M(m,n;\R)</math> のとき、 |
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:<math>(\ A,\ B) = \ Tr(^tA \ B)</math> |
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とすれば、これは内積になっている。(Trについては[[線型代数学/行列概論#その他|行列概論]]を参照) |
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3.<math>\ V = </math>{<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数} ,<math>\ f(x),\ g(x)</math> は<math>0 \leq x \leq 1 </math>上連続な関数のとき、 |
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:<math>(\ f(x),\ g(x)) = \int^{1}_{0} f(x)g(x) dx </math> |
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とすれば、これは内積になっている。 |
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===三角不等式・シュワルツの不等式=== |
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ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。 |
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''定理'' <math>\forall \bold x,\forall \bold y \in \ V </math> に対して、次の(1),(2)の不等式が成り立つ。 |
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(1)<math> |(\bold x,\bold y)| \leq ||\bold x|| \cdot ||\bold y|| </math>(シュワルツの不等式) |
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等号が成り立つのは、<math>\bold x = \ a\bold y</math>と書ける場合のみ。 |
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(2)<math>|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y || </math> |
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等号が成り立つのは、<math> \ a \geq 0 </math> を用いて、<math> \bold x = \ a\bold y</math> と書ける場合のみ。 |
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(証明)(1) |
2009年6月20日 (土) 10:40時点における版
このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ(ノルム)や内積を定義する。
2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。
数ベクトルのノルム・内積
ノルム
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、
と定義される。これをaのノルムと言う。
例
演習
- 次のベクトルのノルムを求めよ
内積
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
をaとbの内積という。
特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、
と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。
内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
- (a,a)=||a||2
- aとbが直交する⇔(a,b)=0[1]
- c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
- (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
- (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
- (a,b)=(b,a)
- ||a||+||b||≧||a+b||(三角不等式)
- |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式)
- ^ なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。
演習
空間ベクトル
とのなす角がであり、かつ
とのなす角がであるようなノルムが1のベクトルを求めよ。
注)そのようなベクトルはただひとつではない。
一般の線型空間でのノルム・内積
次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
定義
を 上の線型空間とする。
に対して、 の元をかえすような演算が次の(Ⅰ)~(Ⅳ)の性質をみたすとき、を内積という。
- (Ⅰ)
- (Ⅱ)
- (は の複素共役)
- (Ⅲ)
- (Ⅳ)
- が成り立つのは、 のときに限る。
また、
で定義される量をxのノルムという。
このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間(計量線型空間)という。
例
1. のとき、
とすれば、これは内積になっている。
2. のとき、
とすれば、これは内積になっている。(Trについては行列概論を参照)
3.{上連続な関数} , は上連続な関数のとき、
とすれば、これは内積になっている。
三角不等式・シュワルツの不等式
ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。
定理 に対して、次の(1),(2)の不等式が成り立つ。
(1)(シュワルツの不等式)
等号が成り立つのは、と書ける場合のみ。
(2)
等号が成り立つのは、 を用いて、 と書ける場合のみ。
(証明)(1)