線型代数学/二次形式

二次形式

二次形式の定義

二次形式とはすべての項の次数が2である多項式のことであり、一般に次のように表すことができる。
$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

これは、対称行列 $A=(a_{ij})$ 列ベクトル$x=(x_{i})$ を用いて、
${}^{t}xAx=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}){\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{cc}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)$

と表すことができる。

例えば、$x^{2}+4z^{2}+3xy-yz$は二次形式であるが、$3x^{3}+xy^{2}+4yz+8$は二次形式ではない。

二次形式の標準形

$4x^{2}+6y^{2}+8z^{2}$のように、変数の混じった項がない二次形式を標準形といい、次のように表せる。
$\sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}$

主軸変換

2つの変数$x,y$の一般の二次形式を用いて$ax^{2}+by^{2}+cxy=d$と表された二次曲線を、変数変換によって$a'x'^{2}+b'y'^{2}=d$のような標準形の二次形式を用いた形に変換することを、主軸変換という。