中学校数学 1年生-数量/一次方程式

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[編集] 一次方程式とは

まずは、この問題を考えてみてください。

例題: みかん40個を300gの箱に入れると、合計の重さが4.1kgでした。; みかん1個の重さは何gでしょうか？

解説

まず、方程式を学習する上で重要な点をひとつおさらいしておきましょう。

わからない数の表し方

わからない数はいろいろな文字に置き換えて表す。

現時点でみかんの重さはわかりません。

そこでみかんの重さを、xとおきます。合計が4.1kgなので、次の式が成り立ちます。

40x + 300 = 4100(単位が統一されていないのでgになおす)

xはこれから求めようとする数なので、まだわかっていない数を表します。

上の式のように、まだわかっていない数(未知数)を表す文字を含む等式を方程式といいます。

またこの式は、1次の項と定数の項で成り立っているので、1次式になります。

1次式でできた方程式を、一次方程式といいます。

1次方程式の一般的な式は、

ax + b = 0(aは0以外の数)

もしくは、

ax = b

です。

また、小学校で習った「虫食い算」も一次方程式と同じです。

[編集] 等式の性質

方程式を解く前に、等式の性質について知っておく必要があります。

まず、以下の式が成り立つとします。

x=y

このとき、"="の周りにある式を、辺といいます。

ここで、先に導かれる性質を出しておきましょう。

等式の性質

1. 等式の両方の辺(両辺)に同じ数を加えても、等式は成り立つ。

2. 等式の両辺から同じ数を引いても、等式は成り立つ。

3. 等式の両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立つ。

4. 等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ（割る数が0の場合を除く）。

実際にxとyに値を代入して、定数を四則演算してみましょう。

xに6を代入します。

x=yなので、yも6になります。

そして両辺に2を四則させると、

x+a = y+a

6 + 2 = 6 + 2 = 8

x-a = y-a

6 - 2 = 6 - 2 = 4

ax = ay

6 × 2 = 6 × 2 = 12

$\begin{matrix} \frac{x}{a} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \frac{y}{a} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{6}{2} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} \frac{6}{2} \end{matrix}$ = 3

等式の性質は、xやaが7であれ243であれ-44であれどんな数であれ通用します。ただし、分母の時のa=0は通用しません。

[編集] 一次方程式の解き方

[編集] 等式の性質を利用する

例題の一次方程式を考えてみましょう。

求めるのはxですから、x=Aの形にする必要があります。

先ほどの式は、

40x + 300 = 4100

等式の性質では、両辺に同じ数を四則しても等式は成り立つというものでした。

そこで、左辺にある300を取るため、両辺から300を引きます。すると、

40x + 300 - 300 = 4100 - 300

40x = 3800

となりました。

そしてやはり等式の性質を利用して、両辺をxの係数40で割ります。

$\begin{matrix} \frac{40x}{40} = \frac{3800}{40} \end{matrix}$

x = 95

みかん1個の重さは95gということが分かりました。この95を、この方程式の解といい、解を求めることを、方程式を解くといいます。

これが正しいことを証明するために、検算をしてみましょう。

(左辺)40 × 95 + 300 = 4100

(右辺)4100

(左辺) = (右辺)なので、95は正しい解です。

[編集] 移項

先ほどの方程式では、

40x + 300 = 4100 … ①

40x + 300 - 300 = 4100 - 300

40x = 4100 - 300 … ②

と式を変形しました。

①と②の式を比べると、左辺にあった+300が、-300となって右辺に移ったと見ることができます。

この、等式の片方の辺にある項を、符号を変えてもう片方の辺に移すことを、移項といいます。

方程式x - 23 = 0 を解いてみましょう。

移項を利用すると、

x - 23 = 0

x = 23

となります。

[編集] 一次方程式の利用

一次方程式にかかわらず、方程式を利用する時は、方程式を解くことよりも、方程式を組み立てたり、正しい答えを導き出す作業のほうが重要になります。

例題: Aさんが600m離れた駅に向かって、徒歩で自宅を出ました。; 家を出た12分後に、Bさんが自転車でAさんの家を出ました。; Aさんの歩く速さを50m/分、Bさんの自転車の速さを200m/分とすると、BさんはAさんが駅に着くまでにAさんに合流できるでしょうか。

要素が複雑に絡み合っているので、表や図に表すと分かりやすくなります。今回は、Bさんがx分後にAさんに追いつくとしてまとめます。

数量の関係
	Aさん	Bさん
速さ(m/分)	50	200
追いつくまでの時間(分)	12+x	x
追いつくまでの道のり(m)	50(12+x)	200x

BさんがAさんに追いつくということは、

(Aさんが歩いた道のり) = (Bさんが走った道のり)

ということになります。この方程式を解くと、

50(12+x) = 200x

600 + 50x = 200x

150x = 600

x = 4

つまり、4分後に追いつくということになります。 Bさんは200m/分で移動しているので、

200 × 4 = 800

駅まで600mなので、BさんはAさんに追いつけません。

A.追いつけない

このように、方程式の解が問題の答えでないこともあります。

[編集] 一次方程式の解の公式

一次方程式を整理すると次のような形になります。

ax + b = c

定数項であるbを移項します。

ax = c-b

両辺をaで割ります。

x = - $\begin{matrix} \frac{c-b}{a} \end{matrix}$

これが一次方程式の解の公式です。

分かりやすくいえば、　　　　　　　　（変形してから）移項－まとめる－係数で割る　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ことで、一次方程式は解けます。

[編集] 比と比例式

[編集] 比の値

比 $a\ :\ b$ に対し、aをbで割った値 $\frac{a}{b}$ を、 $a\ :\ b$ の比の値という。

例えば、 $9\ :\ 15$ の比の値は、 $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ である。

[編集] 比例式

比 $a\ :\ b$ と比 $c\ :\ d$ の比の値が等しいとき、 $a\ :\ b = c\ :\ d$ と書く。このような、2つの比の比の値が等しいことを示す等式を比例式という。

$a\ :\ b = c\ :\ d$ であるということを表す別の表し方を考えてみよう。

両辺の比の値は等しいから

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

両辺にbdをかけると

$\frac{a}{b} \times bd = \frac{c}{d} \times bd$

すなわち

a d = b c

よって、次のことが成り立つ。

$a\ :\ b = c\ :\ d$ ならば

a d = b c

例題: 縦と横の長さの比が $3\ :\ 4$ の長方形がある。縦の長さが18cmのとき、横の長さは何cmか。

横の長さをx cmとすると、

$3\ :\ 4 = 18\ :\ x$

が成り立つ。上の性質を使うと、

$3 \times x = 18 \times 4$

3 x = 72

x = 24

となり、答えは24cmとなる。