中学校数学 2年生-数量/連立方程式

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[編集] 連立方程式とは何か

まず、この問題を考えてみてほしい。

例題1

一本30円の鉛筆と一個50円の消しゴムをそれぞれいくつか買ったら、合計で290円になった。

鉛筆と消しゴムをそれぞれいくつ買ったのだろうか。

解説

ここで、鉛筆をx本、消しゴムをy個買ったとすると、次の等式が成り立つ。

30x+50y=290

このような、文字が2種類あり、一次である方程式を二元一次方程式という(元、というのは文字の種類と考えればよい)。ここで、xとyにどのような数が当てはまるか考えると、

(1, ${26 \over 5}$ ),(2, ${23 \over 5}$ ),(3,4)・・・

と、x,yの組が求められる。このような、x,yについての二元一次方程式の当てはまるx,yの組のことを、その方程式の解という。上に挙げたものは、すべてこの方程式の解である。解がいくつもあるため、このままでは本当に求めたい答えが定まらない((8,1)という解もあるからである)。

しかし、この例題に、

また、鉛筆と消しゴムをあわせて7個買った

という条件がつくとどうだろう。これは、

x+y=7

という式で表せる。この二元一次方程式の解は、

(0,7),(1,6),(2,5)・・・

と考えられる。このことから、

$\left\{ \begin{matrix} 30x+50y=290 \\ x+y=7 \end{matrix}\right.$

この2つに共通する解である、(3,4)が答えだとわかる。

上のような方程式の組を連立方程式という。また、その連立方程式に当てはまる文字の値の組を連立方程式の解といい、それを求めることを連立方程式を解くという。上の連立方程式の解は、(x,y)=(3,4)と表せる。

問題: 次の二元一次方程式を解き、解を3つ答えなさい。

4x +2y =13
x +2y =8
${2 \over 3}x + 2y = \frac{2}{9}$

解答 1(x,y)=(3,1/2),(2,5/2),(1,9/2) 2(x,y)=(2,3),(4,2),(6,1) 3(x,y)=(0,1/9),(1/3,0),(2/3,-1/9)

[編集] 連立方程式の解き方

[編集] 代入法

まずは、この連立方程式を考えることにする。

$\left\{ \begin{matrix} y=2x+7 \\ 2x+3y=45 \end{matrix}\right.$

このような連立方程式は、文字がひとつの、つまり、1年生で学習した一次方程式の形にして解くことができる。

上の式を（１）、下の式を（２）とする。（１）の式では、"y"と"2x+7"の２つが等しいことを示しているわけであり、また、（１）と（２）のxとyにはまったく同じ物が解として入る。そこで、（２）のyを（１）の2x+7で置き換える。つまり、（１）の式を（２）に代入するのである。このとき、（２）のyという文字は消える。このように、連立方程式からyを含まない方程式にすることを、yを消去する、という。この方法を使って上の式を解いてみよう。

（１）を（２）に代入して、

2 x + 3(2 x + 7) = 45

これで、yが消去された。これを解いて、

$\begin{matrix}2x+3(2x+7)=45 &\Longrightarrow & 2x+6x+21=45 \\ \ & \Longrightarrow & 8x+21=45 \\ \ &\Longrightarrow & 8x=24 \\ \ &\Longrightarrow & x=3 \end{matrix}$