写像，演算

4.1　 $\rho$ は集合 $A$ の元と集合 $B$ の元との関係とする．もし

一価律： $a\rho b$ かつ $a\rho b'$ ならば $b=b'$

がみたされるならば， $\rho$ は $A$ から $B$ への半写像，または半関数といい， $a\rho b$ となる唯一の $b$ を $\rho (a)$ で表し，これを $a$ における $\rho$ の値という．また $A$ はこの半写像の域， $B$ は余域という． $\rho$ の逆がまた一価律をみたすとき、 $\rho$ は一対一であるという．

$\rho$ が $A$ から $B$ への半写像であるとき、 $a\rho b$ である $b$ である $b$ が存在するような $a$ の集合を $\rho$ の定義域， $a\rho b$ である $a$ の存在するような $b$ の集合を $\rho$ の像という． $\rho$ の定義域が $A$ と一致するとき， $\rho$ は $A$ から $B$ への写像，または関数といい， $\rho$ が $A$ から $B$ への写像であることを $\rho :A\to B$ で表す．写像 $\rho$ の像が $B$ と一致するとき， $\rho$ は $B$ の上への写像，または全射的な写像という． $\rho$ が全射的な一対一写像のとき， $\rho$ は $A$ と $B$ の間の一対一対応といい，このことを $\rho :A\equiv B$ で表す．

再び $\rho$ は $A$ から $B$ への半写像として， $X\subset A,Y\subset B$ とする．このとき $B$ の部分集合 $\{\rho (a)|a\in X\}$ を $X$ の $\rho$ による像といい， $\rho (X)$ で表す． $\rho$ の像とは $\rho$ による $A$ の像のことであった．また $A$ の部分集合 $\{a|\rho (a)\in Y\}$ は $\rho$ による $Y$ の逆像といい， $\rho ^{-1}(Y)$ で表す．ただし $b\in B$ のとき $\rho ^{-1}(\{b\})$ は単に $\rho ^{-1}(b)$ と書く．

4.2　 $A,B,C$ は集合， $f:A\to B,g:B\to C$ は写像とする．このとき各 $a\in A$ に対してただ一つの $c=g(f(a))\in C$ が定まる．この $c$ を $k(a)$ で表せば $k$ は写像 $k:A\to C$ を定義する．この $k$ を $g\circ f$ または $gf$ で表し， $f$ と $g$ の合成という．さらに $h:C\to D$ ならば $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ である．この両辺は括弧を省略して $h\circ g\circ f$ で表される．次の定理は容易に証明できる．

定理 $A,B,C$ は集合， $f:A\to B,g:B\to C$ とする．

(i) $f$ と $g$ が共に一対一ならば $g\circ f$ も一対一である。

(ii) $f$ と $g$ が共に全射的ならば $g\circ f$ も全射的である．

(iii) $g\circ f$ が一対一ならば $f$ も一対一である ^[1]．

(iv) $g\circ f$ が全射的ならば $g$ も全射的である． ^[2]．

4.3　 $A$ は集合， ${\mathfrak {U}}$ は $A$ の類別とするとき，各 $a\in A$ に対して $a\in X$ である $X\in {\mathfrak {U}}$ がただ一つ定まる．この $X$ を $p(a)$ とおけば $p$ は $A$ から ${\mathfrak {U}}$ の上への写像となる．この $p$ を類別 ${\mathfrak {U}}$ への標準射影という．

$f$ が集合 $A$ から $B$ への写像のとき， $A$ の二元 $a,a'$ に対して $f(a)=f(a')$ のとき $a\sim a'$ と定義すれば $\sim$ は $A$ 上の同値関係となる．これによる類別を ${\mathfrak {U}}$ とすれば各 $X\in {\mathfrak {U}}$ に対して $b\in B$ が定まり， $a\in X$ ならば $f(a)=b$ である．この $b$ を $q(X)$ とおけば $q$ は ${\mathfrak {U}}$ から $B$ の写像で，これは一対一である．また $p:A\to {\mathfrak {U}}$ は ${\mathfrak {U}}$ への標準写像とすれば $f=q\circ p$ ．この対 $(p,q)$ を $f$ の右標準全単分解という．

4.4　 $X$ が集合 $B$ の部分集合のとき、各 $x\in X$ に対して $i(x)=x$ とおけば， $i$ は $X$ から $B$ への写像となり，これは一対一である．この $i$ を $X$ の $B$ への理蔵または標準射入という．さらに $g:B\to C$ のとき，合成 $g\circ i$ を $g$ の $X$ への制限といい， $g{\upharpoonright _{X}}$ で表す．また $h=g{\upharpoonright _{X}}$ に対して $g$ を $h$ の拡張という．

特に $X=B$ のとき， $B$ の $B$ への埋蔵を $B$ 上の恒等写像といい， $1_{B}$ で表す．任意の $f:A\to B,g:B\to A$ に対して $1_{B}\circ f=f,g\circ 1_{B}=g$ である．また $g\circ f=1_{A}$ のとき $g$ は $f$ の左逆写像， $f$ は $g$ の右逆写像といい，さらに $f\circ g=1_{B}$ ならば $f$ と $g$ とは互いに他の逆写像という．このとき $f$ は $A$ と $B$ との間の一対一対応となる．逆に $f$ が一対一対応ならば $f$ は逆写像 $g$ を持つ．これを $f^{-1}$ で表す．

任意の写像 $f:A\to B$ に対して $f$ の像を $X$ とし， $s(a)=f(a)$ で $s:A\to X$ を定義すれば $s$ は $X$ の上への写像である．さらに $r:X\to B$ を埋蔵とすれば $f=r\circ s$ ．この対 $(s,r)$ を $f$ の左標準全単分解という．さらに $(p,q)$ が $s$ の右標準全単分解ならば $f=r\circ q\circ p$ で $q$ は一対一対応である．この三つ組 $(p,q,r)$ を $f$ の両標準全単分解という．

4.5　 ${\mathfrak {V}}=\{A_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ を集合の族とし， $A=\bigcup {\mathfrak {V}}$ とする．写像 $\varphi :\Lambda \to A$ ですべての $\lambda \in \Lambda$ について $\varphi (\lambda )\in A_{\lambda }$ となるようなものを集合族 ${\mathfrak {V}}$ 上の選択関数という． ${\mathfrak {V}}$ 上の選択関数全体の集合を ${\mathfrak {V}}$ の直積といい， $\prod {\mathfrak {V}}$ ，または $\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$ で表す．各 $A_{\lambda }\in {\mathfrak {V}}$ はこの直積の成分という．また写像 $\pi _{\lambda }:\prod {\mathfrak {V}}\to A_{\lambda }$ で，各 $\varphi \in \prod {\mathfrak {V}}$ における値 $\pi _{\lambda }(\varphi )$ が $\varphi (\lambda )$ であるものを直積の $A_{\lambda }$ 成分への標準射影という．

普通，集合論においては

選択公理：どの成分も空でなければそれらの直積も空でない

を仮定している．以下の議論もこの仮定のもとに行う．

特に $\Lambda$ が有限集合 $\{1,2,\cdot \cdot \cdot ,n\}$ のとき $\prod {\mathfrak {V}}$ は有限直積といい，また $A_{1}\times A_{2}\times \cdot \cdot \cdot \times A_{n}$ で表され，その元 $\varphi$ で $\lambda =1,2,\cdot \cdot \cdot ,n$ に対して $\varphi (\lambda )=a_{\lambda }$ となるものは $(a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ,a_{n})$ で表される． §2 の始めに現れた二つの集合の直積 $A\times B$ も $\Lambda =\{1,2\}$ の特別な場合であった．また $A_{1}=A_{2}=\cdot \cdot \cdot =A_{n}=A$ のとき $\prod {\mathfrak {V}}$ は $A^{n}$ で表される．

2.1 で定義したように集合 $A$ の元と集合 $B$ の元との間の関係とは直積 $A\times B$ の部分集合のことであったが，この概念を拡大して一般に $A_{1}\times A_{2}\times \cdot \cdot \cdot \times A_{n}$ の部分集合のことをこれらの集合の元の間の $n$ 元関係といい，特に $A_{1}=A_{2}=\cdot \cdot \cdot A_{n}=A$ の場合は集合 $A$ の上の $n$ 元（内部）関係という．

集合の有限直積 $A_{1}\times A_{2}\times \cdot \cdot \cdot \times A_{n}$ から集合 $B$ への写像 $f$ は $n$ 項写像，または $n$ 変数の写像といわれ $f:A_{1},A_{2},\cdot \cdot \cdot ,A_{n}\to B$ で表される．またこのとき直積の元 $(a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ,a_{n})$ における $f$ の値は $f(a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ,a_{n})$ で表される．この $a_{k}$ を写像 $f$ の第 $k$ 項という．二項以上の写像は一般に多項写像といわれる．

$f$ が有限直積からの半写像のときも同様の定義と表記法とを用いる．

4.6　集合 $A$ において $A^{n}$ から $A$ への写像，または半写像はそれぞれ $A$ 上の $n$ 項演算，または $n$ 項半演算ともいわれる．ただし $n=1$ のときは単項演算，単項半演算といい，このとき $f(x)$ のかわりにしばしば $x^{f}$ の形で表す． $f$ が $A$ 上の二項演算（または二項半演算，以下同様）のときは §1 で例示したように，これに適当な演算記号 $\bot$ 等を与え， $f(x,y)$ のかわりに $x\bot y$ の形で表すのが普通である．