小学校算数 5学年

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目次

式と計算[編集]

偶数と奇数[編集]

4年生までに、整数のことについて学びました。 ここで整数は偶数(ぐうすう)と奇数(きすう)に大きく分けることが出来ることを 学びます。

ここで、2で割り切って整数のみになる整数を偶数と呼び、 反対に2で割り切って小数が付く整数を奇数と呼びます。

1から順に数が2で割り切れるかどうかを調べて行くことが出来ます。 まず、 1は2で割ると0.5なので、奇数。 次に、2自身は、1なので偶数。 また、3は1.5なので奇数。 そして、4は2なので、偶数。

このまま続けて行くことも出来ますが、結果から言うと、整数の中で 奇数と偶数は交互に現われることが分かります。 なので、1から順に数えて行くことで、その数が偶数か奇数かを判別することが できます。

簡単な数え方として、10は、実際に数えてみることで偶数であることが分かります。 このとき、例えば12は、

12 = 10 + 2

なので、10のところから更に2つ後の数になっています。 そのため、10が偶数であることから12もまた偶数であることが分かります。

このことはさらに大きい数にも適用できます。例えば、

25

などについて

25 = 10+10+5

となることがわかります。このとき、10は偶数なので、

10+10

も偶数になります。なので、そこから5つだけ後の数なので、25は奇数であることが わかります。

結局結果をまとめると、偶数か奇数かどうかを決めるためには、1の位の数だけに 注目すればよいことがわかります。 つまり、1の位の数が

1,3,5,7,9

だったらその数は奇数で、

0,2,4,6,8

だったらその数は偶数です。 ただし、0自身は偶数と数えられます。これは

0 ÷ 2 =0

と考えられるからです。

ここまでのまとめとして、

偶数 + 偶数 = 偶数
偶数 + 奇数 = 奇数
奇数 + 奇数 = 偶数

が分かります。 例えば、

20

については、

20 = 10+10

が成り立ち、 10が偶数であることから20もまた偶数です。

  • 計算例
    • 問題

54,78,85,231がそれぞれ偶数か奇数かを判断してください。

    • 解答

1の位の数にだけ注目すればいい。 1のくらいの数を取ると それぞれ、

4,8,5,1

なので、これらの数の偶奇が決まります。

結果は、

54:偶数
78:偶数
85:奇数
231:奇数

となります。

数の書き方と計算法[編集]

第4学年までに大きな数と小さな数の書き方を学びました。 大きな数は、

12535000

のように数字をつらねて書き、 逆に小さい数は

0.00012535

のように小数点以下に数値が並ぶことを学びました。

このように、数は様々な大きさを取り得ますが、 しかし、これらはそれぞれ同じ数字の並びを持っています。 例えば、上の例ではどちらも

12535

という数字を取り、それに

10

または

\frac{1}{10}

を様々な回数だけかけたものになっています。 なので、ある数字の並びについてかけ算や割り算などの操作が出来れば、 それと似た計算で、大きい数や小さい数の計算も行なえると 考えられます。

ここでは、それらの計算について考えていきます。

例として

540 ÷ 30

の計算について考えてみます。

この計算は4学年までのやり方で行なうことができますが、ここでは少し工夫した やり方を行なってみます。 まず、

540

540 = 54 × 10

と書くことができます。 同じように

30

については

30 = 3 × 10

のように書くことができます。これらはそれぞれ 54を10倍した数を、3を10倍した数で割っていることになります。

しかし、例えば、540枚のカードを30人で分けても 54枚のカードを3人で分けても一人当りの枚数は同じになります。 これはカードの枚数が

\frac{1}{10}

になっても、受け取る人数もまた

\frac{1}{10}

となったため、それらの値が相殺(そうさい)したからです。

結局これらのことから

540 ÷ 30 = 54 ÷ 3

が得られます。これは、結局割り算をするときに0が右端にあるときには その0を取ってしまっても計算結果は変わらないということになります。

このことは複数回続けて用いることもできます。 例えば、

5400 ÷ 300

を考えます。ここで上のことから

5400 ÷ 300= 540 ÷ 30

がわかります。しかし、さらに上の結果から

540 ÷ 30 = 54 ÷ 3

であるので、結局

5400 ÷ 300= 54 ÷ 3

となります。つまり、割り算で割る数と割られる数の両方に0が複数並んでいるときには、 それらの0を取れるだけ取ってしまってもよいことになります。

  • 計算例
    • 問題
  1. 300 ÷ 60
  2. 4900 ÷ 30
  3. 3200 ÷ 200

を簡単にしてください。

    • 解答

それぞれ0を同じ数だけ打ち消すようにすればいい。 答は、

  1. 300 ÷ 60=30 ÷ 6
  2. 4900 ÷ 30 = 490 ÷ 3
  3. 3200 ÷ 200 = 32 ÷ 2

となります。

約数、倍数[編集]

ある整数を割り切る整数を、ある数のw:約数と呼びます。例えば、3は、6の約数で、4は8の約数です。ある整数を取った時、その整数の全ての約数を数え上げることができて、ここではその手順について順にまとめてみます。まず、慣習的に1とその数自身は、約数として数えることになっています。ここで、ある整数の約数が得られたとき、その整数をその約数で割った数も、その整数の約数となります。例えば、先ほどの例では、3は6の約数。このとき


6 \div 3 = 2

が成り立ちますが、このことから2もまた6の約数であることが考えられます。実際、


6 \div 2 = 3

となって、2は6を割り切るのでこのことは確かに成り立っています。実際にはこのことは


2 \times 3 = 6 = 3 \times 2

となることから割る数と割ることで得た数(w:商と呼ぶ)を入れ換えても変化しない関係があることからも確かめられます。

12の約数を全て数えてみる。

このときには、小さい整数から順に割っていって、割る数が商よりも大きくなったらやめにすればいいです。なぜなら、このときには商はそれまでの過程で割る数として現われているはずであるからです。次に実際に約数を数えてみます。まず、


1 \times 12 = 12

から、1と12は、12の約数です。このように、1とその数自身は常にその数の約数となっています。次に2について考えてみます。このときには


2 \times 6 = 12

となることから、2と6も12の約数となっています。更に3についても計算してみます。このとき、


3 \times 4 = 12

となり、3と4が12の約数となっていることが分かります。次に4について考えようとするかも知れなせんが、もうに上の式から、


4 \times 3 = 12

であることが知られているので、この約数は、3について考えたときに既に数えています。同じようにこれよりも大きい数による約数は、既に数えられているので、これ以上に探索を続ける必要はありません。実際、例えば6は12の約数ですが、これは2を考えたときに既に発見されているのでこれは順に考えて行く必要がありません。結局、約数を考えるときには、おおよそ


\Delta \times \Delta = 12

となるような\Deltaを見つけて、その数までの範囲で、約数を探せばよいことが分かります。


また、ある整数で割り切れる数をある数のw:倍数と呼びます。ある整数に対してその数の約数を得たとき、元の整数はその約数の倍数です。例えば、6は3の倍数です。これは、 
3 \times 2 = 6
となることから分かります。ある整数の倍数は、ある整数に他の整数をかけ算することで得ることができます。例えば、3の倍数は


3 \times 1,

3 \times 2,

3 \times 3,

3 \times 4,

\cdots

など無数に存在します。倍数という考えは、約数という考え方の反対のように考えることができます。

簡単な倍数の見分け方[編集]

2けた位の整数なら何の倍数であるかまたは素数(下のほうを見てください)かを見分けるには簡単ですがそれ以上になると難しくなります。ここでは、簡単に倍数を見分ける方法を教えます。

  • 2の倍数・・・下1けたが0,2,4,6,8のどれか
  • 3の倍数・・・各位の和が3で割り切れる
  • 4の倍数・・・下2けたが00か4の倍数
  • 5の倍数・・・下1けたが0,5のどちらか
  • 6の倍数・・・各位の和が3で割り切れるかつ下1けたが0,2,4,6,8のどれか
  • 7の倍数・・・方法は無い
  • 8の倍数・・・下3けたが000か8の倍数
  • 9の倍数・・・各位の和が9で割り切れる

最大公約数、最小公倍数[編集]

ある複数の整数を取ったとき、それらに共通している約数をw:公約数と呼びます。例えば、整数3,6を取ったとき


1,3

は、これらの2数の公約数です。もう少し複雑な例では、12と、16という2数を取ってみる。これらの約数はそれぞれ、12については


1,2,3,4,6,12

で、16については


1,2,4,8,16

です。このことから、これらの2数の公約数は、


1,2,4

であることが分かります。公約数のうちで、特に最大のものをw:最大公約数と呼びます。この量は次の分数の足し算の部分で重要になって来るので、きちんと計算できるようにしなければなりません。上の例では、12と16の最大公約数は


1,2,4

のうちで最大のものなので、


4

であることが分かります。最大公約数を求める方法としては、上のようにそれぞれの数の約数を求めそれらの最大のものを見つけ出す方法の他に、w:ユークリッドの計算と呼ばれる方法を用いることができます。

  • 計算例

2数27と42の最大公約数と最小公倍数(w:最小公倍数については後述)を求めてみる。27については約数は


1,3,9,27

の4つで、42については


1,2,3,6,7,14,21,42

の8つです。以上より最大公約数は3であることがわかります。この2数を割った商はそれぞれ9と14である。よって最小公倍数はこの三つを掛けた378である。 このことから2数27,42の最大公約数は


3

であることがわかります。ある2数を選んだとき、それらの共通の倍数をw:公倍数と呼びます。例えば、


6,12,18,\cdots

などは、2と3の公倍数です。公約数は有限個しかありませんが、公倍数は常に無限個存在します。これは、ある公倍数があったとき、その数の倍数は、常に元の数の公倍数となっているからです。公倍数のうちで最小のものをw:最小公倍数と呼びます。最小公倍数は、ある2数について最大公約数を求め、2数の積を最大公約数で割ることで求めることができます。例えば、2,4の最大公約数は2で、


2 \times 4 \div 2 = 4

であることを考えると、2数2,4の最小公倍数は4であることが分かります。実際、2,4の公倍数は


4,8,12,16,\cdots

などが挙げられますが、これらは全て4の倍数であることから4が2数の最小公倍数であることが分かります。実際には無数に候補がある中で、ある数が最小であることを示すことは必ずしも簡単な事ではありません。しかし、この場合には、最大公約数の性質からこのことは確かに正しいということがいえます。

  • 計算例

2数12と28の最小公倍数を求めます。2数の公約数を書き記すと、12については


1,2,3,4,6,12

で、28については


1,2,4,7,14,28

である。よって、2数の最大公約数は、4です。よって、2数の最小公倍数は、


12 \times 28 \div 4 = 84

となります。このように割合大きい数が得られた。しかし、


12 \times 7 = 84

28 \times 3 = 84

なので、84は12,28の公倍数になっています。また、上の式で7,3は1以外の公約数を持ちませんがこのことは84が2数の最小公倍数であることを示しています。これは、仮に2数が公約数を持ったとすれば、その2数をその公約数で割って得られる数を使って得られる数も、元の2数の公倍数となっていたはずです。このことから、そのような数が存在した場合には、ここで得られた84は2数12,28の最小公倍数では無いことが分かります。しかし、実際にはここではそのような事はなく、また、仮に最小公倍数ではなかったとすれば必ずそのような数があることが期待されるので、ここでいう84は確かに、この2数の最小公倍数であることが分かります。

最大公約数、最小公倍数の考え方は、3つ以上の数を取った場合にも適用することができます。3つの整数に関する最大公約数を考えます。このときには、ある2つの整数の公約数を考え、次にその公約数と残った1つの公約数を考えれば、正しい値が得られます。

  • 計算例

2,4,7の最大公約数を計算する。ここで、2,7については公約数が1しか存在しないことが分かれば、この3数の最大公約数は1であることが分かります。次に、これらの最小公倍数を考えてみます。ここでは、ある2数の最小公倍数を考え、その数と残った数の最小公倍数を考えればいい。2数の場合と違って、3数の最大公約数は計算の過程に現われないので注意が必要です。

  • 計算例

2,4,7の最小公倍数を計算します。2,4の最小公倍数は4です。次に4と残った7の最小公倍数を考えるとこれは


28

であることが分かります。よって、3数の最小公倍数は、


28

です。同様にして、最初に2,7を選んだときには、これらの最小公倍数は


14

となります。次に、14と4の最小公倍数を考えると、 その数は


28

で、ここでも28で、上の数と同じ結果が得られます。このことから、最小公倍数は数字を選んだ順によらない。

互いに素(応用)[編集]

ある2つの整数が1以外に公約数を持たない時、その2数は「互いに素である」と言います。

2つの整数がともに素数であれば必ず互いに素になりますが、14と15のように、それぞれ素数でないときも、1以外に公約数がなければ互いに素の関係になります。

素数[編集]

先ほど、約数というものを習いました。ここでは、素数という数を見てみましょう。

素数とは、1とその数自身以外に約数を持たない(約数が2つしかない)整数のことです。また、1は約数が1つしかないので素数には数えません

例えば、30以下の素数は 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 の10個となります。

また、それ以外の数( 4,6,8,9,10\cdots )は合成数といいます。

1は素数にも合成数にも入りません。

小数のかけ算、割り算[編集]

整数のかけ算、割り算の意味[編集]

小数のかけ算、割り算の意味[編集]

小数のかけ算と割り算も、整数の場合と同様に出来る。

小数のかけ算、割り算の計算[編集]

小数 × 整数[編集]

次のかけ算の問題を解いてみましょう。

  • 0.3リットルのジュースを6本買いました。ジュースは全部で何リットルありますか。

式は 0.3 \times 6 となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

0.3は0.1が3個あります。

したがって、0.1が 3 \times 6 で18個あります。

0.1が18個集まると、1.8となります。

なので、 0.3 \times 6 = 1.8 となります。答えは1.8リットルです。

小数 ÷ 整数[編集]

次のわり算の問題を解いてみましょう。

  • 3.9リットルのジュースを買いました。このジュースを3等分すると、1人分は何リットルになりますか。

式は 3.9 \div 3 となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

3.9は0.1が39個あります。

したがって、0.1が 39 \div 3 で13個あります。

0.1が13個集まると、1.3となります。

なので、 3.9 \div 3 = 1.3 となります。答えは1.3リットルです。


8.6 \div 3 を計算して、商は \frac{1}{10} の位まで求め、あまりを出しましょう。

計算のしかたを考えてみましょう。

8.6は0.1が86個あります。

86 \div 3 = 28 あまり 2 となります。

商は0.1が28個で2.8、あまりは0.1が2個で0.2となります。

なので、 8.6 \div 3 = 2.8 あまり 0.2 となります。


次のわり算の問題を解いてみましょう。

  • 6リットルのジュースを買いました。このジュースを4等分すると、1人分は何リットルになりますか。

式は 6 \div 4 となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

6 \div 4 = 1 あまり 2 となります。

あまり2を、0.1を20個と考えると、0.1が 20 \div 4 で5個あります。

0.1が5個集まると、0.5となります。

1リットルと0.5リットルで1.5リットルとなります。

なので、 6 \div 4 = 1.5 となります。答えは1.5リットルです。

小数 × 小数[編集]

次のかけ算の問題を解いてみましょう。

  • 1mの重さが2.3kgのパイプがあります。このパイプが2.8mあったら重さは何kgですか。

式は 2.3 \times 2.8 となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

パイプの重さを23kgと10倍にすると、求める重さも10倍になります。

パイプの長さが10倍になると、求める重さも10倍になります。

  • 1mの重さが23kgのパイプ28mの重さは 23 \times 28 =644

1mの重さが2.3kgのパイプ2.8mの重さを出すには、この積を\frac{1}{100} にすればよいので

2.3 \times 2.8 = 23 \times 28 \div 100 = 6.44

したがって、 2.3 \times 2.8 = 6.44 となります。答えは6.44kgです。

小数 ÷ 小数[編集]

次のわり算の問題を解いてみましょう。

  • 6.5mの重さが7.8kgの鉄のぼうがあります。この鉄のぼう1mの重さは何kgですか。

式は 7.8 \div 6.5 となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

同じぼうの長さを10倍にすれば、重さも10倍になります。

65mのぼうの重さは 7.8 \times 10 =78

鉄のぼう1mの重さは(7.8 \times 10) \div (6.5 \times 10) = 78 \div 65 =1.2

したがって、 7.8 \div 6.5 = 1.2 となります。答えは1.2kgです。

分数[編集]

分数のたし算とひき算[編集]

次のたし算の問題を解いてみましょう。

  • ジュースがパックに、\frac{3}{5}リットル、ペットボトルに\frac{4}{5}リットル入っています。合わせて何リットルありますか。

式は\frac{3}{5} + \frac{4}{5}となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

\frac{3}{5}\frac{1}{5}が3個、\frac{4}{5}\frac{1}{5}が4個あります。

したがって、\frac{1}{5}が(3+4=7)で7個あります。

\frac{1}{5}が7個集まると、\frac{7}{5}となります。

なので、\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}となります。答えは\frac{7}{5}リットルです。

答えを 1\ \frac{2}{5}リットルと帯分数に直しても構いません。


次のひき算の問題を解いてみましょう。

  • ジュースが\frac{7}{6}リットルあります。\frac{2}{6}リットル飲むと、残りは何リットルありますか。

式は\frac{7}{6} - \frac{2}{6}となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

\frac{7}{6}\frac{1}{6}が7個、\frac{2}{6}\frac{1}{6}が2個あります。

したがって、\frac{1}{6}が(7-2=5)で5個あります。

\frac{1}{6}が5個集まると、\frac{5}{6}となります。

なので、\frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}となります。答えは\frac{5}{6}リットルです。

大きさの等しい分数[編集]

わり算と分数[編集]

次の問題を解いてみましょう。

  • 2リットルのジュースを3等分します。1人分は何リットルですか。

式は 2 \div 3 となります。

小数で表すと 2 \div 3 = 0.666…… となり、わりきれません。

1リットルを3等分した量は、\frac{1}{3} リットルになります。

2リットルは1リットルの2つ分です。

2リットルの3等分は1リットルを3等分した量の2つ分であるから、\frac{2}{3} リットルになります。

したがって 2 \div 3 = \frac{2}{3} となります。

このように、整数\div整数 の商は、分数を使うと正確に表すことができます。


整数どうしのわり算の商は、分数で表すことができます。

\bigcirc \div \triangle = \frac{\bigcirc}{\triangle}

分数と小数,整数の関係[編集]

次の問題を解いてみましょう。

  • 3リットルのジュースを5等分します。1人分は何リットルですか。

式は 3 \div 5 となります。

小数で表すと 3 \div 5 = 0.6 となります。

分数で表すと 3 \div 5 = \frac{3}{5} となります。

したがって \frac{3}{5} = 0.6 となります。


\frac{3}{4}\frac{1}{3}を小数になおしましょう。

\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75
\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333333……

分数を小数になおすには、分子を分母でわります。


0.5と0.24を分数になおしましょう。

0.1 = \frac{1}{10} であるから、0.5 = \frac{5}{10}

0.01 = \frac{1}{100} であるから、0.24 = \frac{24}{100}

小数は、10、100などを分母とする分数になおすことができます。


5を分数になおしましょう。

5 = 5 \div 1 = \frac{5}{1}
5 = 10 \div 2 = \frac{10}{2}

整数は、1などを分母とする分数になおすことができます。


概数を用いた和や差の見積もり[編集]

小学校算数 4学年では概数というものを習いました。ここでは、どのように使うのかを学習しましょう。

次のたし算の問題を考えてみましょう。

  • ある球場の土曜日の入場者数は21423人,日曜日の入場者数は36945人でした。 2日間の入場者数は,約何万何千人といえばよいでしょう。

土曜日と日曜日の入場者数を千の位までで四捨五入すると

土曜日  21423 \longrightarrow 21000

日曜日  36945 \longrightarrow 37000

となります。

よって、2日間の入場者数はおよそ

 21000 + 37000 = 58000

となります。

実際の人数を求めると

 21423 + 36945 = 58368

と、実際の答えと概数を使った答えはだいたい同じになります。

このように、概数を使って和や差の見積もりができます。

図形[編集]

四角形[編集]

垂直と平行[編集]

垂直
垂直[編集]

2本の線が、互いに90°で交わる時、その2本の直線の関係を 垂直 (すいちょく)といいます。

平行
平行[編集]

2本の直線がどこまで行っても交わらない時、その2本の直線の関係を 平行 (へいこう)といいます。

左の図で線aと線bは平行になっています。

台形

台形[編集]

向かい合った1組の辺が平行な四角形を、 台形(だいけい) といいます。

左の図で、上の辺と下の辺は平行になっています。

平行四辺形

平行四辺形[編集]

向かい合った2組の辺が平行な四角形を、平行四辺形(へいこうしへんけい) といいます。

平行四辺形の、向かい合った辺の長さは等しくなっています。

また、向かい合った角の大きさも等しくなっています。となり合った角の角度をたすと、180°になります。

ひし形
ひし形

四角形の対角線[編集]

向かい合った頂点つないだ直線を、対角線(たいかくせん) といいます。左の図でABは対角線になっています。

四角形の対角線の数は2本です。

図形の角[編集]

三角形の内角の和[編集]

三角形の内角の和は、どんな三角形でも 180°になります。


四角形の内角の和[編集]

四角形の内角の和は、どんな四角形でも 360°になります。

四角形に対角線を一本、引けば、ふたつの三角形になるので、2つの三角形の、内角の和に等しくなります。

多角形の内角の和[編集]

多角形の内角の和は、(辺の数-2)×180°になります。 例えば、六角形の内角の和(6-2)×180°=720°になります。

Catalan-Hexagons-example.svg

六角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、ともかく六角形の内角の和は、4つの三角形の内角の和になります。

五角形になると、五角形の内角の和は、3つの三角形の内角の和になります。

Catalan number triangulation.png

五角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、ともかく五角形の内角の和は、3つの三角形の内角の和になります。 なので、五角形の内角の和は (5-2)×180°=540° より、五角形の内角の和は 540°になります。

おうぎ形[編集]

円と、おうぎ形.

ピザを切り分けた形のような円が2本の半径で区切られた形のことを おうぎ形 (おうぎがた)といいます。半径と半径にはさまれた角のことを 中心角 (ちゅうしんかく)といいます。

たとえば、右の図で、緑色の部分が おうぎ形 です。

角度θが中心角です。θは「シータ」と読みます。

Lの長さが おうぎ形の 弧長(こちょう) です。

円周の長さと円周率[編集]

例えば、

  • 直径7cmの円の円周は何cmですか?

という問題があります。

円周は曲がっているので、じょうぎでははかれません。でも、円はすべて同じかたちなので、「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを円周率といい、およそ3.14であることがわかっています。円周率は、分数で表すことはできない数で、小数で書くといつまでも終わらないことがわかっています。

円周÷直径=3.14

でしたから、

円周=直径×3.14

ですね。この公式を使ってはじめの問題を解くと、7×3.14=21.98(cm)というようになります。

では、直径197cmの円の円周は何cmでしょうか。さきほどと同じように計算すると、197×3.14=618.58(cm)ですね。でも、およその長さを知りたいだけならば、197cmはおよそ200cmですし、3.14はおよそ3ですので、200×3=600という計算で、およそ600cmであることはかんたんにわかります。

量と測定[編集]

面積[編集]

Rectangle 4x5.svg

面積は、物の広さを表すものです。例えば、

  • たて4cm・よこ5cmの長方形の面積はいくらでしょうか?

という問題があります。いままでの単位では、どうやって表せばいいかわかりません。

そこで、面積の単位をcm2としてあげましょう。cm2は、「平方センチメートル」と読みます。cmの上についている「2」は、「cmを2回かけました」という合図です。

そうすればさっきの問題の面積を求めることができます。

面積は長方形・正方形の場合は、たて×よこで表すことができます。

実際に問題を解いてみると、4×5=20(cm2)となります。


平行四辺形の面積[編集]

図1
図2

右の図で、青い平行四辺形の面積を求めて見ましょう。

ここで青い平行四辺形の下のほうの辺を「底辺(右の図でBと書かれてある線です)」と言っています、これは、平行四辺形の性質から上のほうの辺と長さが同じで平行になっています。底辺から向かい合った辺に垂直に引いた線の長さを「高さ(右の図でHと書かれてある線です)」と言っています(説明のために、底辺と向かい合う辺で以外の辺を「斜辺」(しゃへん)と、ここでは呼びます、これは覚えなくてもいいです)。

それぞれの底辺の両方のはしから向かい合った辺に線を垂直に引いてみましょう。平行四辺形の横にオレンジの三角形が2つできましたね。この2つの三角形は同じ形をしています。また、平行四辺形のなかの斜辺と垂直に引いた線でかこまれた三角形も同じ形です。

ここで、左側のオレンジの三角形と右側の青い三角形を入れ替えると、平行四辺形と同じ面積の長方形ができることがわかります(図2を見てください)。この長方形の「たて」は「高さ」、「よこ」は「底辺」なので、面積は「底辺×高さ」ということになります。

以上から、平行四辺形の場合は、面積は 底辺×高さ で表すということになります。

三角形の面積[編集]

三角形の場合は、面積は 底辺×高さ÷2 で表します。

台形とひし形の面積[編集]

台形[編集]
Aire trapeze decoupage.png

台形については、対角線を1本引いてあげて、三角形が2つ集まったものと考えれば次の公式が求められます。

(上底+下底)×高さ÷2 という公式になります。

ひし形[編集]

今から教える公式は、ひし形にだけに限らず、対角線が直角に交わればこの公式が使えます。(長方形の公式を応用したものです。)

ひし形の面積は 対角線×対角線÷2 という公式になります。

円の面積[編集]

Ennomennseki.jpg

円については、ピザを等分することを考えてください。(右の図といっしょに見てみましょう)

等分する人数が少ない時には、よく分かりませんが、人数を多くしていくと、切ったピザをならびかえた時の形は平行四辺形に限りなく近づきます。

その時の底辺は、 円周÷2 で、高さは 半径 とほぼ同じになります。

円周の値の求め方は前に学習しましたね。 円周=直径×円周率 です。ここでは、円周率を 3.14 として計算しましょう。

円周÷2=直径×3.14÷2=(直径÷2)×3.14=半径×3.14 となるので、円周÷2(「底辺」になります)は半径×3.14になります。

円の形を変えて、平行四辺形にしたものの面積は、

底辺×高さ=円周÷2×半径半径×3.14×半径となりますから、

円の面積は、 半径×半径×3.14 という式で求められることになります。


体積[編集]

2年生では、リットルについて、ならいました。

1リットルと、立方(りっぽう)センチメートルとの、かんけい。
1L=1000cm3である。

立体の、空間での大きさのことを 体積 (たいせき) といいます。

面積では、縦(たて)と横(よこ)が 1cm の正方形の面積のことを 1cm2 と いいました。

体積では、縦(たて) と 横(よこ) と 高さ(たかさ) が 1cm の 立方体 の 体積 を 1cm3 と 書き 、「 1 立方(りっぽう) センチメートル」といいます。

直方体(ちょくほうたい) は 長方形 が たくさん 積み 重なった もの 、 立方体は 正方形 が たくさん 積み 重なったもの と 考えてみると、体積は 底面 × 高さ の式で 求めることができます。

立方体(りっぽうたい) は 全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり 縦×横 の式で計算できます。

つまり、

  • 直方体の体積は 縦×横×高さ (cm3
  • 立方体の体積は 一辺の長さ×一辺の長さ×一辺の長さ(cm3

で求めることができます。

下の問題を見てみましょう。

  • 縦2cm 、 横3cm 、 高さ6cm の 直方体の 体積は いくら に なりますか?

という問題があります。

直方体の体積は 縦×横×高さ なので、2×3×6=36(cm3)と求められます。


  • 立方メートル

一辺が1mの立方体の体積を1立方メートル(いち りっぽうメートル)と言い 1m3 と書きます。1立方メートルを立方センチメートルで書いたとすると、1mは100cmですから、1m3

1m3 = 100cm × 100cm × 100cm = 1000000 cm3

です。(一立方メートルは、百万立方センチメートル)


  • 容積

コップや水槽(すいそう)など、水などの液体(えきたい)をいれる容器(ようき)について、その容器に入りきる液体の体積を 容積(ようせき) といいます。

容積の単位(たんい)は、体積と同じようにリットルやデシリットルや立方センチメートルや立方メートルなどを、つかいます。


なお、1リットルは 1000cm3 です。つまり

1L=1000cm3

です。

1デシリットルは 100cm3 です。つまり

1dL=100cm3

です。


1ミリリットルは 1cm3 です。つまり

1mL = 1cm3

です。

家庭科など料理をするときに「牛乳200cc(シーシー)」のように使われることがありますが、これはcm3やmLと同じ単位です。

角柱と円柱と錐[編集]

  • 三角柱
    同じ大きさの三角形が重なってできた立体を 三角柱 (さんかくちゅう)と言います。特にその三角形が正三角形であれば、 正三角柱 (せいさんかくちゅう)と言います。

三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。

三角柱には、頂点が 6個 あります。(数えてみてください。)

三角柱には、辺が 9本 あります。(数えてみてください。)

三角柱の上下の2つの三角形の面を 底面(ていめん) と言います。

底面の面積のことを 底面積(ていめんせき) と言います。

三角柱の底面積は、底面の円の面積とおなじです。


上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習(かんしゅう)で、こう呼びます。

三角柱の、2つの三角形である底面のあいだのきょりを、三角柱の 高さ といいます。

三角柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。

側面の面積のことを 側面積(そくめんせき) と言います。


三角柱の体積は、

(三角柱の体積)=(底面積)× (三角柱の高さ)

です。

  • 円柱
円柱(えんちゅう)
この図では、hが「円柱の高さ」です。
円柱の展開図
  • トイレットペーパーの しん の ような 同じ大きさの円 が 積み重なってできた立体を 円柱 (えんちゅう)と言います。

円柱には面が、3個、あります。(数えてみてください。)

円柱の面のうち、2個は円です。(数えてみてください。)


円柱の上下の2つの円の面を 底面(ていめん) と言います。

底面の面積のことを 底面積(ていめんせき) と言います。

円柱の底面積は、底面の円の面積とおなじなので、

(底面積) = (円の半径)×(円の半径)× 3.14

です。

上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習で、こう呼びます。

円柱の、2つの円である底面のあいだのきょりを、円柱の 高さ といいます。

円柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。

側面の面積のことを 側面積(そくめんせき) と言います。


展開図をみると、側面積の縦の長さを「円柱の高さ」にとった場合は、側面積の横の長さは、底面の円周です。

つまり、側面積は、

(側面積)=(円柱の高さ)×(底面の円周)

です。


円柱の表面積は、円柱の展開図の、各面の面積の合計です。 つまり、

(円柱の表面積)=(底面積)×2 + (側面積)

です。

円柱の体積は、

(円柱の体積)=(底面積)× (円柱の高さ)

です。

錐(すい)[編集]

錐(すい)とは、先がとがっている立体のことです。

  • 三角すい(さんかくすい)
三角すい
  • 底面が三角形で、先が とがっている 立体のことを 三角すい (さんかくすい)と言います。

三角すいには、面が 4個 あります。 三角すいの頂点は 4個 あります。 三角すいには、辺は 6本 あります。

正四面体

三角すいの、すべての辺の長さが等しいものを 正四面体(せいしめんたい) といいます。

正四面体の展開図のうち、展開の仕方のひとつは、つぎのように、なります。 Tetrahedron flat.svg

もうひとつ、正四面体のべつの展開のしかたがあるのですが、画像が見つからないので、必要なら外部のサイトなどで探してください。

  • 四角すい(しかくすい)
四角錐(しかくすい)の例。
  • 底面が四角形で、先が とがっている 立体のことを 四角すい (しかくすい)と言います。

四角すいには、面が 4個 あります。 四角すいの頂点は 5個 あります。 四角すいには、辺は 8本 あります。

四角錐の底面は、四角形の部分です。 四角錐の側面は4つある、三角形の部分です。

  • 円錐(えんすい)
いろんな、円錐(えんすい)
  • カラーコーンのような底面が円で先がとがっている立体のことを 円すい(えんすい) と言います。

円すいには、面が 2個 あります。

円すいの面のうち、1個は円です。

円すいの展開図


円すいの展開図で、扇形の部分の開いている角度を 中心角(ちゅうしんかく) と言います。

円すいの表面積は、円の面積と、おうぎ形の面積を合わせた合計です。

円すいの、円の面の部分を、底面と言います。 円すいの側面は、展開すると、おうぎ形になる曲面の部分です。

展開したときの、おうぎ形の半径を 母線(ぼせん) と言います。

円錐の側面積は、おうぎ形の面積なので、

(円錐の側面積) = (母線の長さ) × (母線の長さ) × 3.14 × (中心角/360°)

です。


数量関係[編集]

割合[編集]

はじめに[編集]

5年生は200人いて、そのうち音楽をよく聞く人は100人です。一方、6年生は50人いて、
そのうち音楽をよく聞く人は30人です。
5年生と、6年生では、どちらの方が音楽好きだと思いますか?

簡単には、分かりませんね。

それは、5年生と6年生で、全体の人数が違うからです。

そこで、全体の人数を合わせてから比べてみます。

たとえば、全体の人数を100人にしてみましょう。


5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを2で割って100人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も2で割ります。

<5年生>
全体の人数 :200人 --> 100人(2で割った)
音楽好きな人:100人 -->  50人(2で割った)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを2倍して100人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も2倍します。

<6年生>
全体の人数 : 50人 --> 100人(2倍した)
音楽好きな人: 30人 -->  60人(2倍した)

つまり、全体の人数が100人だったとすると、音楽好きな人は、5年生では50人、6年生では60人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽好きであると言えます。

ここでは全体の人数を100人にあわせましたが、もちろん他の数にしても同じ結果になるはずです。

それでは、全体の人数が1人だと仮定して、同じように計算してみましょう。

5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを200で割って1人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も200で割ります。

<5年生>
全体の人数 :200人 -->   1人(200で割った)
音楽好きな人:100人 --> 0.5人(200で割った)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを50で割って1人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も50で割ります。

<6年生>
全体の人数 : 50人 -->    1人(50で割った)
音楽好きな人: 30人 -->  0.6人(50で割った)

つまり、全体の人数が1人だったとすると、音楽好きな人は、5年生で0.5人、6年生では0.6人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽好きであると言え、先ほどと同じ結果になりました。

この2つめの例のように、ある量(基にする量という)を1としたときの別のある量(比べる量という)を 割合(わりあい) といいます。

また、1つめの例のように、ある量(基にする量という)を100としたときの別のある量(比べる量という)を 百分率 (ひゃくぶんりつ) といいます。

割合[編集]

一般的に、割合は

割合 = 比べられる数 ÷ もとにする数

という式で求めることができます。

つまり、割合というのは、「ある量(比べる数)が、ある別の量(もとにする数)の何倍かということなのです。

割合を表す単位[編集]

割合は例えば「この食塩水の濃度は7%です。」や「あるプロ野球の今シーズンの打率は3割(わり)1分(ぶ)5厘(りん)でした。」で表されます。この単位はどういう割合を表すか見てみましょう。

割・分・厘[編集]

例えば野球の打率はこのように表されます。野球では「.315」というふうに表されますがこれは1に対して0.315の割合でヒットしているということです。この時、小数第1位の位を(わり)、小数第2位の位を(ぶ)、小数第3位の位を(りん)と言います。

パーセント[編集]

先ほどやった百分率の単位は % と書き パーセント と言います。また、元の割合が100となるので百分率を使う場合は割合に100をかけなければいけません。例えば7%の食塩水の場合、「食塩水100にたいして食塩が7入っている」ということになります。

計算のきまり[編集]

計算の法則[編集]

次の問題を考えましょう。

●と○は全部で何個ありますか。

 \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
 \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
 \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
 \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
 \circ \circ \circ \circ \circ \circ
 \circ \circ \circ \circ \circ \circ
 \circ \circ \circ \circ \circ \circ

 \bullet  \circ を全部あわせて考えると

 (4+3) \times 6 = 42

 \bullet の数と \circ の数をそれぞれ求めてあわせると

 4 \times 6 + 3 \times 6 = 42

よって

 (4+3) \times 6 = 4 \times 6 + 3 \times 6

が成り立ちます。

( )を使った式の計算には次のような法則(ほうそく)があります。

 ( \Box + \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times \triangle + \bigcirc \times \triangle
 ( \Box - \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times \triangle - \bigcirc \times \triangle

このような法則(ほうそく)を 分配法則(ぶんぱいほうそく) といいます。


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。

\begin{align}
 27 \times 9 + 33 \times 9  & = ( 27 + 33 ) \times 9 \\
                            & = 60 \times 9\\
                            & = 540\\
\end{align}
\begin{align}
 98 \times 27  & = ( 100 - 2 ) \times 27 \\
               & = 100 \times 27 - 2 \times 27\\
               & = 2700 - 54\\
               & = 2646\\
\end{align}


たし算とかけ算には、次のようなきまりがあります。

 \Box + \bigcirc = \bigcirc + \Box

これを たし算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。

 ( \Box + \bigcirc ) + \triangle = \Box + ( \bigcirc  + \triangle )

これを たし算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。

 \Box \times \bigcirc = \bigcirc \times \Box

これを かけ算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。

 ( \Box \times \bigcirc ) \times \triangle = \Box \times ( \bigcirc  \times \triangle )

これを かけ算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。

\begin{align}
 (8+16)+84  & = 8+(16+84) \\
            & = 8+100 \\
            & = 108\\
\end{align}
\begin{align}
 (80 \times 12) \times 5  & = 80 \times (12 \times 5) \\
                          & = 80 \times 60 \\
                          & = 4800 \\
\end{align}


比(ひ)[編集]

ある2つの数を取ったとき、その間にある関係が存在することがある。 例えば、たくさんあるビー玉を左に3つずつ、右に2つずつ並べて行くことを 考える。

このとき、並べられたビー玉の数は常に左側の方が多い。 また、このときビー玉が増えていく割合が変化しないことから、 両側にあるビー玉のもう片側に対する数の割合も変化しないことが 予想される。

実際、左側のビー玉の数で右側のビー玉の数を割ると、 最初は、左3個、右2個であるので、


\frac 2 3

が右に対する左の割合として得られる。

次にビー玉を増やしてもう一度計算してみる。 このとき、左6個、右4個であるので、


\frac 4 6 = \frac 2 3

となり、やはりこのときも右に対する左の割合は変化しない。

さらにもう一度だけビー玉を増やして計算してみる。 このとき、左9個、右6個であるので、


\frac 6 9 = \frac 2 3

となり、やはりこのときも右に対する左の割合は変化しない。

このように右と左の数の割合が変化しないような情况では、 数の割合をもっとも簡単な仕方で表わしておくと便利である。 今の場合では


\frac 2 3

が割合として使える。しかし、慣習的にこのような割合を指す記法として


2 : 3

が用いられることが多い。

ここで、


2 : 3

は2対3と読まれ、このような関係を2数(にすう)の (ひ) と呼ぶ。


  • 計算例
    • 問題

15個のクッキーを AさんとBさんの比が


2:3

になるように分けたい。 AさんとBさんはそれぞれ何枚受け取ればよいか。

    • 解答

AさんとBさんがそれぞれ2単位、3単位ずつ受け取るとしたら AさんとBさんを合わせたときには5単位受け取ることになる。

実際には、クッキーは15枚あるので、1単位は3枚のクッキーに対応することが 分かる。そのため、Aさんは6枚、Bさんは9枚のクッキーを受け取ることになる。



比を簡単にする[編集]

問題

  • 169:507を簡単にしなさい


このように難しい比になると、よくわかりません。たとえば、この比は大体何対何くらいなのか、まったくわかりませんよね。そこで、比は簡単にすることもできます。

みなさんは、「約分」をしたと思います。約分のルールは、共通因数で割ることでした。比も共通因数で割って簡単にできます。

たとえば、15:3

これを簡単にしてみましょう。

15と3の共通因数は、3です。なので、3で両辺を割ります

15:3=5:1

5と1には共通因数がありませんので、これ以上簡単にはなりません

ちなみに、169:507は、

507=169×3

なので、

1:3になります


比を求める[編集]

問題 次のxにあてはまる数を答えよ

3:x=6:4

答え

xの値を求めることは、実は簡単です。

比には、

外側の項(外項)の積と内側の項(内項)の積は等しい

というルールがあります。

つまり、

a:b=c:d

となっているとき、

ad=bc

です。

これをこの問題に当てはめると、

6x=3×4

これは、上の法則を当てはめたものです

6x=12

つまり、x=2です。

伴って変わる2つの数量[編集]

上で扱ったクッキーの例では左のクッキーの数と右のクッキーの数は 互いに伴って増加していった。このように互いに関連を持って変化する 量は様々なものが考えられる。

例えば、ひもの長さと振り子が戻って来るまでにかかる時間は互いに関連している。 また、一般に家電製品などある程度寿命が長い製品は、発売されてから時間がたつに つれて、値段が下がっていく傾向がある。

ここではこのように、互いに関連しあって変化していく数量の関係を 見ていく。


比例[編集]

代表的な2つの数の関係として、比例関係がある。 比例関係とは、2つの数がある割合を保って増減することである。

例えば、先ほどのクッキーの例のように左の数と右の数が 比3:2を保ちながら変化する場合、2数は比例しているという。

比例関係を持つものは非常に多い。買い物をするときにあるものを買った個数と それらの合計の値段は比例関係にある。ただし、多く買ったときに値段が安くなる ようなものに対してはこの限りではない。もしくは抽選でおまけがつくような 場合にもこのこととははずれることになる。

しかし、大雑把に考えることで、ある2つの関連の無さそうな量が単純な 比例関係があるようにとらえられることもある。例えば、子どもの数と 教育費にかかる値段はおおよそ比例する。


比例の関係を見るために、比例関係にある2数を用いて、表とグラフを 作ってみる。ここでは、ある量ともう1つの量が互いに2倍だけ異なる 比例の表、グラフを作る。

このとき、この比例の表は

比例の表
x 1 2 3 4 5
y 2 4 6 8 10

一方比例のグラフは

  • グラフ

となる。

グラフを見ると分かる通り、比例のグラフは両方が0になる点を通る直線に なる。例えば、1つもものを買わなかった場合、それにかかる値段は当然0円である。 このことは購入にかかる代金と、購入した個数が比例しているために、 満たされている必要がある関係である。

    • 問題

互いの比が1:5であるような比例関係の表とグラフを 小さい方の数が0から10までの範囲で作製せよ。

    • 解答

表は

比例の表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

となる。

また、グラフは

  • グラフ

となる。

平均[編集]

似たような値が数多く得られたときにそれを代表するような値を 取って、その集団全体の傾向を扱うことがある。 例えば、試験の成績はそのように扱われることが多い。

集団を代表するような値には様々なものがあるが、ここでは平均値を 代表値として取り、これを説明する。

平均値とは各々の数を足して、それを足した数の個数で割ったものである。 例えば、なんらかのゲームを行ないその結果として、


12,18,15,12,13

の5つの数が得られたとする。この数値はどれも10から20までにおさまっており、 割合近い数であるといえる。

一方で別の1人が同じことを行ない、


15,15,13,14,18

の値を得たものとする。ここでも数値はどれも10から20までにおさまっており、 上の数値とよく似た値であるといえる。

仮に上の結果と下の結果でどちらが優れているかを定めたいと考えたとしよう。 このとき、用いるべき値としてはそれぞれの結果の合計値が考えられる。 実際、それでよいのだが、合計値はしばしば大きい数になり、また1度ごとの 値とも近くない値が現われるため使い勝手がよくない。 そのため、合計値を求めた後それらを足した数で割っておおよそ1回ごとの値と 近い値にする。

このようにして得たものが1回ごとの 平均値(へいきんち) である。

実際に計算を行なってみる。 上の場合では平均値は


\frac {12+18+15+12+13} 5

= \frac {70}5

=14

となり、最初にゲームを行なった人は おおよそ1回ごとに14点を稼ぎ出すことが分かる。

一方、次にゲームを行なった人は、


\frac{15+15+13+14+18}5

= \frac {75} 5

=15

となり、おおよそ1回ごとに15点を手に入れることが出来ることがわかる。 このため、このゲームについては上の人より下の人の方が成績がよかったことが 分かる。

ここでは、平均値は整数になったが値によってはこの値は小数や分数に なることもある。このような値は実際のゲームでは出て来ていなかった。 このように平均値は実際の値とは異なった性質を持っていることが あるので、これを代表値として扱う場合には十分な注意が必要である。

  • 計算例
    • 問題

算数の試験を行なったところ、点数は


75,87,50,38,68,84,72,78

となった。この試験の平均点は何点か?

    • 解答

平均は各々の数を足して、それを足した数の個数で割ったものなので、 平均点の場合は点数を足して、のべ人数で割ればよい。 具体的には、


\frac {75+87+50+38+68+84+74+78}8

を計算すればよい。 実際に計算を行なうと、


= 69.25

が得られる。

よって、試験の平均点は69.25点である。


文字と式[編集]

同じ値段のえん筆を6本買います。

えん筆1本の値段を50円としたとき、式は50 \times 6 = 300となります。

えん筆1本の値段を\Box円、6本の代金を\triangle円として、\Box\triangleの関係を式に表すと、\Box \times 6 = \triangleとなります。

えん筆1本の値段をx(エックス)円、6本の代金をy(ワイ)円として、xとyの関係を式に表すと、x \times 6 = yとなります。

x=60のときは、x \times 6 = yのxに60をあてはめて計算すると、60 \times 6 = 360となります。

合同[編集]

図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。

2つの図形が、その図形の位置や向きをかえるだけで、形と大きさをかえずに、かさねることが出来る場合、その2つの図形は合同(ごうどう)である、という。

合同条件[編集]

2つの図形が合同であるために、満たすべき条件を 合同条件(ごうどうじょうけん) という。

三角形[編集]

2つの三角形において、つぎの条件のいずれかが成り立つとき、その2つの三角形は合同である。

  1. 3組の辺がそれぞれ等しい       (三辺相等 、さんぺん そうとう)
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい (二辺夾角相等 、にへん きょうかく そうとう)
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい(一辺両端角相等 、いっぺん りょうたんかく そうとう)

2個の三角形が、上記の3つの条件のいずれかを満たすと、その2個の三角形は合同である。 この3つの条件が 三角形の合同条件(さんかっけい の ごうどうじょけん) である。


ある三角形について、それらの性質が全て同じであるための条件は、 三角形の辺の長さや角の大きさなどの少数の量で書かれることが知られています。 ここでは、三角形が同じ形をしているための条件を学びましょう。

まず、ある図形の性質が等しいことを述べるための用語を定義します。 あるいくつかの図形について、それらの図形が持つ性質が全て同一であるとき、つまり、全く同じ大きさで同じ形の図形であるとき、 それらの図形は、「たがいに 合同(ごうどう) である」といいます。

たとえば図のような三角形ABCと三角形CDAは、向きがちがっていても、合同である。三辺の長さが等しいので。

ただし、同じ形をしていれば、位置や向きは関係ありません

三角形ADCと三角形ABCは、二辺とあいだの角が等しいので、合同である。

合同であるための条件を 合同条件(ごうどうじょうけん) というが、合同条件がどのようなものであるかはその図形の性質によって決めることができます。例えば、 円について考えれば、円はその中心の位置と半径だけで定められる図形ですから、 半径が等しい円は常に合同となります。

ここでは、多角形の例として三角形の合同条件を学習します。 三角形には3つの辺と3つの角があります。しかし、三角形が合同であることを述べるために それら全てが等しいことを述べる必要はありません。

一般に三角形には3つの合同条件があることが知られています。

  • 3辺の長さがそれぞれ同じであること。
  • 2辺が同じ長さでその間の角の大きさが等しいこと。
  • 1辺の長さが等しく、両端の2つの角の大きさが等しいこと。

しかし、本当にこれだけで合同であるといえるのでしょうか。それぞれの場合について調べてみましょう。

まず、3辺の長さがそれぞれ同じである場合について調べてみましょう。 ある三角形があるとします。このように一般的な図形を調べるとき、三角形はどんな形をしているかは書きません。正三角形かも知れませんし、全く辺の長さがばらばらのものかもしれません。 そのうちの1つの辺の長さを取りだし、それと等しい長さの線分を 取ります。次に線分の両端の点から、残りの2つの辺の長さに等しい半径を持った円を 描きます。これらの円は普通2つの交点を持ちますが、これらの点と 線分の2つの端点をつないで得られた三角形はどちらも、元の三角形と全ての辺の長さが等しく、 上で述べた条件を満たしています。また、ここで得た2つの三角形は どちらも全く同じ形をしているので互いに合同であるといえます。よって、 3つの辺の長さが等しい三角形は1通りしかないことが分かりました。 よって、3辺の長さが等しい三角形は互いに合同であるといえるのです。

次に、2辺が同じ長さでそのあいだの角の大きさが等しい場合について調べてみましょう。 ある三角形があるとします。 このとき、2本の半直線をその間の角が元の三角形のひとつの角になるように引きます。また、それぞれの辺の 長さが、三角形でその角を作っている辺の長さに等しくなるように点を取ります。残りの辺はその点をつないだ線分となるしか無いため、上の条件をもつ三角形は常に1通りに決まることになります。 よって、2辺が同じ長さでそのあいだの角の大きさが等しい三角形は 互いに合同となっていることになります。

最後に、1辺の長さがひとしくまわりの2つの角の大きさが等しい場合について調べてみましょう。 ある三角形があるとします。 このとき、三角形のある1辺の長さと等しい長さの線分を取り、 その辺の両端の角と等しい大きさの角をその線分の両方の端点から取り、 その角度を持つような直線を取ります。ここで、三角形のもうひとつの頂点はそれらの直線の 交点となるから、三角形は1つに定まります。 よって、1辺の長さが等しく、まわりの2つの角の大きさが等しい場合も、三角形は 互いに合同となっていることがわかります。

以上で3つの条件全てについて、それらが三角形の合同条件となっていることがわかりました。


平均[編集]

いくつかの数がある1組の資料(しりょう)で、その数の合計を、資料の個数で割ったものを平均(へいきん)または平均値(へいきんち)と言う。

たとえば、10人いるクラブの各メンバーの体重が、つぎの場合について、平均を説明する。

  • 資料1
計測順 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重(kg) 60.3 57.9 65.4 56.1 53.6 62.7 70.0 55.8 67.1 63.1


例えば、資料1の、体重の平均は


\frac{60.3+57.9+65.4+56.1+53.6+62.7+70.0+55.8+67.1+63.1} {10} = 61.2 (kg)

なので、つまり 61.2 kg が平均の体重となる。



資料の平均値

n個の資料x_1 , x_2 , \cdots , x_nの平均値\overline{x}(エックスバーと読む)は

\overline{x} =  \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} n



算数ドリル[編集]

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